2018年中考数学分类汇编考点22勾股定理.pdf

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1、20182018 中考数学试题分类汇编：考点中考数学试题分类汇编：考点 2222 勾股定理勾股定理一选择题（共一选择题（共 7 7 小题）小题）1（2018滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（）A5B6C7D8【分析】直接根据勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾为 3，股为 4，弦为故选：A2（2018枣庄）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（）ABCD【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对

2、顶角相等得出CEF=CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：过点 F 作 FGAB 于点 G，ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF 平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF，AF 平分CAB，ACF=AGF=90，FC=FG，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC，=，=5AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4，=，FC=FG，=，解得：FC=，即 CE 的长为故选：A3（2018XX）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四

3、个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b若 ab=8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（）A9B6C4D3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以与题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为：ab=8=4，4ab+（ab）2=25，（ab）2=2516=9，ab=3，故选：D4（2018XX）我国古代伟大的数学家 X 徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所

4、得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A20B24CD【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为 x，在直角三角形 ACB 中，利用勾股定理可建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而可求出该矩形的面积【解答】解：设小正方形的边长为 x，a=3，b=4，AB=3+4=7，在 RtABC 中，AC2+BC2=AB2，即（3+x）2+（x+4）2=72，整理得，x2+7x12=0，解得 x=或 x=（舍去），+3）（+4）=24，该矩形的面积=（故选：B5（2018XX）如图，由四个全等的直角三角形

5、围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为 49，则 sincos=（）ABCD【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出 AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求 sin 和 cos 的值，进而可求出 sincos的值【解答】解：小正方形面积为 49，大正方形面积为 169，小正方形的边长是 7，大正方形的边长是 13，在 RtABC 中，AC2+BC2=AB2，即 AC2+（7+AC）2=132，整理得，AC2+7AC60=0，解得 AC=5，AC=12（舍去），BC=sin=12，cos=，sincos=故选：D6（2018XX）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书

6、九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（）A7.5 平方千米B15 平方千米 C75 平方千米 D750 平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案【解答】解：52+122=132，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形，这块沙田面积为：550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）故选：A7（2018

7、东营）如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是（）A BCD【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A、C 的最短距离为线段 AC 的长在 RtADC 中，ADC=90，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5，所以 AC=故选：C二填空题（共二填空题（共 8 8 小题）小题）8（2018XX）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的

8、负半轴于点 C，则点 C 坐标为（1，0）【分析】求出 OA、OB，根据勾股定理求出 AB，即可得出 AC，求出 OC 长即可【解答】解：点 A，B 的坐标分别为（4，0），（0，3），OA=4，OB=3，在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB=AC=AB=5，OC=54=1，点 C 的坐标为（1，0），=5，故答案为：（1，0），9（2018XX）如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，A=60，AB=4，则 AD 的取值 X 围是2AD8【分析】如图，延长BC 交 AD 的延长线于 E，作BFAD 于 F解直角三角形求出 AE、AF 即可判断；【解答】解：如图，延长 BC 交 AD 的

9、延长线于 E，作 BFAD 于 F在 RtABE 中，E=30，AB=4，AE=2AB=8，在 RtABF 中，AF=AB=2，AD 的取值 X 围为 2AD8，故答案为 2AD810（2018襄阳）已知 CD 是ABC 的边 AB 上的高，若 CD=则 BC 的长为2或 2AD=1，AB=2AC，【分析】分两种情况：当ABC 是锐角三角形，如图 1，当ABC 是钝角三角形，如图 2，分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可【解答】解：分两种情况：当ABC 是锐角三角形，如图 1，CDAB，CDA=90，CD=，AD=1，AC=2，AB=2AC，AB=4，BD=41=3，BC=2；当ABC

10、是钝角三角形，如图 2，同理得：AC=2，AB=4，BC=或 2=2；综上所述，BC 的长为 2故答案为：2或 211（2018XX）如图，在直角ABC 中，C=90，AC=6，BC=8，P、Q 分别为边 BC、AB 上的两个动点，若要使APQ 是等腰三角形且BPQ 是直角三角形，则 AQ=或【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当 AQ=PQ，QPB=90时，当 AQ=PQ，PQB=90时；【解答】解：如图 1 中，当 AQ=PQ，QPB=90时，设 AQ=PQ=x，PQAC，BPQBCA，x=AQ=，=，当 AQ=PQ，PQB=90时，设 AQ=PQ=yBQPBCA，=y=或=，综上所

11、述，满足条件的 AQ 的值为12（2018黔南州）如图，已知在ABC 中，BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE 交于点 F，且BAC=45，BD=6，CD=4，则ABC 的面积为60【分析】首先证明AEFBEC，推出 AF=BC=10，设 DF=x由ADCBDF，推出=，构建方程求出 x 即可解决问题；【解答】解：ADBC，BEAC，AEF=BEC=BDF=90，BAC=45，AE=EB，EAF+C=90，CBE+C=90，EAF=CBE，AEFBEC，AF=BC=10，设 DF=xADCBDF，=，=，整理得 x2+10 x24=0，解得 x=2 或12（舍弃），AD=AF+DF=

12、12，SABC=BCAD=1012=60故答案为 6013（2018滨州）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E、F 分别在 BC、CD 上，若 AE=，EAF=45，则 AF 的长为【分析】取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明AMEFNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出 x 的值，在直角三角形 ADF 中利用勾股定理即可求出 AF 的长【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，四边形 ABCD 是矩形，D=BAD=B=90，

13、AD=BC=4，NF=x，AN=4x，AB=2，AM=BM=1，AE=，AB=2，BE=1，ME=EAF=45，MAE+NAF=45，MAE+AEM=45，MEA=NAF，AMEFNA，=，解得：x=，AF=故答案为：=14（2018XX）九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，ACB=90，AC+AB=10，BC=3，求 AC 的长，如果设 AC=x，则可列方程为x2+32=（10 x）2【分析】设 AC=x，可知 AB=10 x，再根据勾股定理即可得出结论【

14、解答】解：设 AC=x，AC+AB=10，AB=10 x在 RtABC 中，ACB=90，AC2+BC2=AB2，即 x2+32=（10 x）2故答案为：x2+32=（10 x）215（2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作 A 关于 EF

15、 的对称点 A，连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB=故答案为 20三解答题（共三解答题（共 2 2 小题）小题）16（2018XX）如图，在ABC 中，ACB=90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D；以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC=20（cm）于点 E，连结 CD（1）若A=28，求ACD 的度数（2）设 BC=a，AC=b线段 AD 的长是方程 x2+2axb2=0 的一个根吗？说明理由若 AD=EC，求的值【分析】（1）根据三角形内角和定理求出B，根据等腰三角形的性质求出BCD，计算即可；（2）根据勾股定理求出 AD，利用求根公式解方程

16、，比较即可；根据勾股定理列出算式，计算即可【解答】解：（1）ACB=90，A=28，B=62，BD=BC，BCD=BDC=59，ACD=90BCD=31；（2）由勾股定理得，AB=AD=a，=a，=，解方程 x2+2axb2=0 得，x=线段 AD 的长是方程 x2+2axb2=0 的一个根；AD=AE，AE=EC=，由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，整理得，=17（2018XX）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在55 的方格棋盘上从 A 点行走至 B 点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径 R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：路径第一条路径第二条路径第三条路径编号R1R2R3图例_行径位置ACDBAEDFBAGB已知 A、B、C、D、E、F、G 七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断 R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得【解答】解：第一条路径的长度为第二条路径的长度为第三条路径的长度为2+2+1+=2+1，+=，+=2+，+1，最长路径为 AEDFB；最短路径为 AGB