【中考知识点梳理】第12讲-二次函数的图象与性质.pdf

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1、1第 12 讲 二次函数的图象与性质一、一、知识清单梳理知识清单梳理知识点一:二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如 yax2bxc(a,b,c 是常数,a0)的函数,叫做二次函数.例:如果函数 y=(a1)x2是二次函数,那么 a 的取值范围是 a0.2.解析式(1)三种解析式:一般式:y=ax2+bx+c;顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k);交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2为抛物线与 x 轴交点的横坐标.(2)待定系数法:巧设二次函数的解析式;根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);解方程(组),

2、求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值,可设一般式;若已知顶点坐标或对称轴方程与最值,可设顶点式;若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标,可设交点式.知识点二:二次函数的图象与性质图象xyy=ax2+bx+c(a上 0)Oxyy=ax2+bx+c(a上 0)O开口向上向下对称轴 x 2ba顶点坐标24,24bacbaa增减性当 x2ba时,y 随 x 的增大而增大;当 x2ba时,y 随 x 的增大而减小.当 x2ba时,y 随 x 的增大而减小;当 x2ba时,y 随 x 的增大而增大.3.二次函数的图象和性质最值x=2ba,y最小244acba.x

3、=2ba,y最大244acba.(1)比较二次函数函数值大小的方法:直接代入求值法;性质法:当自变量在对称轴同侧时,根据函数的性质判断;当自变量在对称轴异侧时,可先利用函数的对称性转化到同侧,再利用性质比较;图象法:画出草图,描点后比较函数值大小.失分点警示(2)在自变量限定范围求二次函数的最值时,首先考虑对称轴是否在取值范围内,而不能盲目根据公式求解.例:当 0 x5 时,抛物线 y=x2+2x+7 的最小值为7 .a决定抛物线的开口方向及开口大小当 a0 时,抛物线开口向上;当 a0 时,抛物线开口向下.a、b决定对称轴(x=-b/2a)的位置当 a,b 同号,-b/2a0,对称轴在 y

4、轴左边;当 b0 时,-b/2a=0,对称轴为 y 轴;当 a,b 异号,-b/2a0,对称轴在 y 轴右边3.系数a、b、cc决定抛物线与 y 轴当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在正半轴上;某些特殊形式代数式的符号:ab+c 即为 x=1时,y的值;4a2b+c 即为x=2 时,y 的值.2的交点的位置当 c0 时,抛物线经过原点;当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在负半轴上.b24ac决定抛物线与 x 轴的交点个数b24ac0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;b24ac0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;b24ac0 时,抛物线与 x 轴没有交点 2a+b 的符号,需判断对称

5、轴-b/2a 与 1 的大小.若对称轴在直线 x=1 的左边,则-b/2a1,再根据a 的符号即可得出结果.2a-b 的符号,需判断对称轴与-1 的大小.知识点三:二次函数的平移4.平移与解析式的关系上 上|k|上 上 上上 上|h|上 上 上上 上(k上 0)上 上 上(k上 0)上 上(h上 0)上 上 上(h上 0)y=a(x上 h)2上 k 上 上 上y=a(x上 h)2上 上 上y=ax2上 上 上注意:二次函数的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示:抛物线平移规律是“上加下减,左加右减”,左右平移易弄反.例:将抛物线 y=x

6、2沿 x 轴向右平移 2 个单位后所得抛物线的解析式是 y=(x2)2知识点四:二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程二次函数 y=ax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.当 b24ac0,两个不相等的实数根;当 b24ac0,两个相等的实数根;当 b24ac0,无实根6.二次函数与不等式抛物线 y=ax2bxc0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的 x 的所有值就是不等式 ax2bxc0 的解集;在 x 轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的 x 的值就是不等式 ax2bxc0 的解集.例:已经二次函数 y=x2-3x+m(m 为常数)的图象与 x轴的一个交点为(1,0),则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两个实数根为2,1.