《多元函数极值以及其求法.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《多元函数极值以及其求法.ppt(23页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、关于多元函数的极值关于多元函数的极值及其求法及其求法第一张,PPT共二十三页,创作于2022年6月一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义第二张,PPT共二十三页,创作于2022年6月例1例例(3)(2)(1)第三张,PPT共二十三页,创作于2022年6月2、多元函数取得极值的条件证第四张,PPT共二十三页,创作于2022年6月第五张,PPT共二十三页,创作于2022年6月仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题:如何判定一个驻点是否为极值点?注意:第六张,PPT共二十三页,创作于2022年6月第七张,PPT共二十三页,创作于2022年6月
2、第八张,PPT共二十三页,创作于2022年6月例4 求函数的极值。解求解方程组:得驻点因此,驻点第九张,PPT共二十三页,创作于2022年6月因此,驻点因此,驻点第十张,PPT共二十三页,创作于2022年6月与一元函数类似,可能的极值点除了驻点之外,偏导数不存在的点也可能是极值点。例如,显然函数不存在。第十一张,PPT共二十三页,创作于2022年6月求最值的一般方法:将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中 最大者即为最大值,最小者即为最小值.与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值第十二张,PPT共二十三
3、页,创作于2022年6月解令第十三张,PPT共二十三页,创作于2022年6月无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件.第十四张,PPT共二十三页,创作于2022年6月实例:小王有 200 元钱,他决定用来购买两种急 需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购 买 x 张磁盘,y 盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为 U(x,y)=lnx+lny 设每张磁 盘 8 元,每盒磁带 10 元,问他如何分配这 200 元以达到最佳效果问题的实质:求 在条件 下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法第十五张,PPT共二十三页,创作于2022年6月条件极值:对自变量有附加条件的
4、极值第十六张,PPT共二十三页,创作于2022年6月求解方程组解出 x,y,z,t 即得可能极值点的坐标.第十七张,PPT共二十三页,创作于2022年6月解则例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为 x,y,z.体积为 V.则问题就是条件求函数的最大值.令下,第十八张,PPT共二十三页,创作于2022年6月则令即由(2),(1)及(3),(2)得第十九张,PPT共二十三页,创作于2022年6月由(2),(1)及(3),(2)得于是,代入条件,得解得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知,所以,最大值就在此点处取得。故,最大值最大值一定存在,第二十张,PPT共二十三页,创作于2022年6月解则由(1),(2)得由(1),(3)得第二十一张,PPT共二十三页,创作于2022年6月将(5),(6)代入(4):于是,得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知,最大值一定存在,所以,最大值就在这个可能的极值点处取得。故,最大值第二十二张,PPT共二十三页,创作于2022年6月感谢大家观看第二十三张,PPT共二十三页,创作于2022年6月2022/9/17