高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-3.doc

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1、【练 30】已知函数 221212f xaxax的定义域和值域分别为 R 试分别确定满足条件的 a 的取值范围。答案：（1）1a 或3a （2）31a 或1a 【易错点 31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。例 31、已知 a0，b0，且 a+b=1.求证：(a+a1)(b+b1)425.【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然 a+a1和 b+b1不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。证法一：(分析综合法）欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证 4(ab)233(ab)+80，即证 ab41或

2、ab8.a0，b0，a+b=1，ab8 不可能成立1=a+b2ab，ab41，从而得证.证法二：(均值代换法)设 a=21+t1，b=21+t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|21，|t2|21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122tttttttttttttttttttttbbaabbaa显然当且仅当 t=0，即 a=b=21时，等号成立.证法三：(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2a

3、b，ab41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222bbaaabababababbabbaabbaa证法四：(综合法)a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222abababababab425)1)(1(bbaa即证法五：(三角代换法)a0，b0，a+b=1，故令 a=sin2，b=cos2，(0，2).425)1)(1(4252sin4)2sin4(412sin125162sin24.3142sin4,12sin2sin416)sin4(2sin42cossin2cossin)co

4、s1)(cossin1(sin)1)(1(2222222222222442222bbaabbaa即得【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合

5、法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【练 31】（2002 北京文）数列 nx由下列条件确定：Nnxaxxaxnnn,21,011（1）证明：对于2n 总有nxa,（2）证明：对于2n，总有1nnxx.【易错点 32】函数与方程

6、及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。例 32、已知二次函数()f x满足(1)0f，且21()(1)2xf xx对一切实数x恒成立.(1)求(1)f；(2)求()f x的解析式；(3)求证：112()2ninf kn ().nN【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。解：（1）由已知令1x 得：211(1)(11)12f(1)1.f（2）令2()(0)f xaxbxc a由1)1(,0)1(ff得：01abcabc 11,22bca即211()22f xaxxa则21()

7、(1)2xf xx对任意实数x恒成立就是2211022(12)20axxaa xxa 对任意实数恒成立，即：21220,1201(2)02(41)0aaaa 11,44ac则2111()424f xxx（3）由（2）知21()(1)4f xx故2144()(1)(2)(1)f kkkk 114()12kk11111114()23341nif kn 1)2n 22nn 故原不等式成立【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等

8、式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。【练 32】（2005 潍坊三月份统考）已知二次函数2()f xaxbxc(,)a b cR，满足(1)0f；且对任意实数 x 都有()0f xx；当(0,2)x 时有2(1)(),4xf x （1）求(1)f的值；

9、（2）证明0,0;ac（3）当 1,1x 时，函数()g x ()()f xmx mR是单调的，求证：0m 或1.m （1）(1)1.f（2）运用重要不等式（3）略【易错点 33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。例 33、记 2f xaxbxc，若不等式 0f x 的解集为1,3，试解关于 t 的不等式282ftft。【易错点分析】此题虽然不能求出 a,b,c 的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知 1,3 是方程20axbxc的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在2,上是增函数。解析：由题意知 1213f xa xxxa xx

10、，且0a 故二次函数在区间2,上是增函数。又因为288,22tt，故由二次函数的单调性知不等式282ftft等价于282tt即260tt故3t 即不等式的解为：33t。【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。【练 33】（1）（2005 辽宁 4 月份统考题）解关于x的不等式 1)2(log)1(log42xax)1(a答案：当21 a时，解集为212|xaxax或当2a时，解集为223|xxx且

11、当2a时解集为212|axxax或。（2）（2005 全国卷）设函数 f x|1|1|2xx,求使 f x的22的 x 取值范围。答案：x 取值范围是),43【易错点 34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。例 34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用nx表示某鱼群在第 n 年年初的总量，nN，且1x0。不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与nx成正比，死亡量与2nx成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（

12、）求1nx与nx的关系式；（）猜测：当且仅当1x，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a2，b1，为保证对任意1x（0,2），都有nx0，*nN，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005 年高考主要涉及两种类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用性,我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合，这是将来高考的方向，【解析】（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼

13、群的繁殖量为ax，被捕捞量为bx，死亡量为2ncx因此21nnnnnxxaxbxcx即*11nnnxxabcxnN。（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则nx恒等于1x，*nN，从而由上式得nnxabcx恒等于零,*nN故10abcx即1abxc因为1x0，所以ab.猜测：当且仅当ab，且cbax1时，每年年初鱼群的总量保持不变.（）若 b 的值使得nx0，*nN，由13nnnxxbx知03nxb,*nN特别地，有103xb.即103bx，而1x(0,2)，所以 1,0(b，由此猜测 b 的最大允许值是 1.下证 当1x(0,2)，b=1 时，都有nx(0,2),*nN。当 n=1 时，结论显

14、然成立.假设当 n=k 时结论成立，即kx(0,2),则当 n=k+1 时，120kkkxxx.又因为2121112kkkkxxxx .所以1kx(0,2)，故当 n=k+1 时结论也成立.由、可知，对于任意的*nN，都有nx(0,2).综上所述，为保证对任意1x(0,2),都有nx0，*nN，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全

15、部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n1(或 n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在 nk 时命题成立，再证明 nk1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 nn0且 nN）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是nk1 时命题成立

16、的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。【练 34】（2005 年全国卷统一考试理科数学）（）设函数)10()1(log)1(log)(22xxxxxxf，求)(xf的最小值；（）设正数npppp2321,满足12321npppp，证明nppppppppnn222323222121loglogloglog答案：（）112f（）用数学归纳法证明。（2）（2005 高考辽宁）已知函数

17、).1(13)(xxxxf设数列na满足)(,111nnafaa，数列nb满足).(|,3|*21NnbbbSabnnnn（）用数学归纳法证明12)13(nnnb；（）证明.332nS【易错点 35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。例 35、下列命题：422|)()(aaabcacba)()(|ab|=|a|b|若abb,c则acab，则存在唯一实数，使ab若cbca，且co，则ba 设21,ee是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使21eyexa成立。若|a+b|=|ab|则ab=0。ab=0，则a=0或b=0真命题个数为（）A1B2

18、C3D3 个以上【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。解析：正确。根据向量模的计算2aaa判断。错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义()a cb表示和向量b共线的向量，同理()a bc表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故()()a bca cb不一定成立。错误。应为aba b错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。错误。应加

19、条件“非零向量a”错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量21,ee是不共线的向量即一组基底。正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故ab=0。错误。只需两向量垂直即可。答案：B【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知，和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(交换律)（）（）（）(数乘结合律)()(分配律)说

20、明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性质：，（）（），()【练 35】（1）（2002 上海春，13）若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bcC.m（a+b）=ma+mbD.（ab）c=a（bc）（2）(2000 江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（a b）c（c a）b=0|a|b|0 的x的取值范围.答案：)4,2()43,2(x，(kZ)【易错点 42】向量与解析几何的交汇例 42、（03 年新课程高考）已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），

21、经过原点 O 以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。解析：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值.i=（1，0），c=（0，a），c+i=（，a），i2c=（1，2a）因此，直线OP和AP的方程分别为axy 和ax

22、ay2.消去参数，得点),(yxP的坐标满足方程222)(xaayy.整理得.1)2()2(81222aayx 因为,0a所以得：（i）当22a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；（ii）当220 a时，方程表示椭圆，焦点)2,2121(2aaE和)2,2121(2aaF为合乎题意的两个定点；（iii）当22a时，方程也表示椭圆，焦点)21(21,0(2aaE和)21(21,0(2aaF为合乎题意的两个定点.【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中

23、向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【练 42】（1）（2005 全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在x轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于 A、B 两点，OBOA与)1,3(a共线。（）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值。答案：（1）63e（2）22=1（2）（02年新课程高考天津卷）已知两点M（-1，0），N

24、（1，0），且点P使MPMN，PMPN,NMNP成公差小于零的等差数列（1）点 P 的轨迹是什么曲线？（2）若点 P 坐标为（,ooxy），记为PM与PN的夹角，求tan；答案：点 P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆tan=|y0|（3）（2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则OBOA等于（）A.43B.43C.3D.3 答案：B【易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。例 43、已知椭圆 C：22142xy上动点P到定点,0M m,其中02m的距离PM的最小值为 1.（1）请确定 M 点的坐

25、标（2）试问是否存在经过 M 点的直线l,使l与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件OAOBAB（O 为原点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。【思维分析】此题解题关键是由条件OAOBAB知0OA OB从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。解析：设,p x y，由22142xy得222 14xy故2222 14xPMxm22212 12242xxmm由于02m且22x 故当022m时，2PM的最小值为221m此时1m，当224m时，2x 取得最小值为22421mm解得1,3m 不合题意舍去。综上所知当1m 是满足题意此时 M 的坐标为（1，0）。（2）由题意知条件OAOBA

26、B等价于0OA OB，当l的斜率不存在时，l与 C 的交点为61,2，此时0OA OB，设l的方程为1yk x，代入椭圆方程整理得2222124240kxk xk，由于点 M 在椭圆内部故0 恒成立，由0OA OB知12120 x xy y即222122110kx xkxk，据韦达定理得2122412kxxk，21222412kx xk代入上式得2222221244120kkkkkk得24k 不合题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真

27、体会、融会贯通。【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点2F为圆心，过另一焦点1F的圆被右准线截的两段弧长之比 2:1,2,1P为此平面上一定点，且121PFPF.（1）求椭圆的方程（2）若直线10ykxk与椭圆交于如图两点 A、B，令 120f kABF Fk。求函数 f k的值域答案：（1）22142xy（2）0,8易错点 44牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.例 44、函数1 cosxyx e的导数为。易错点分析复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即xuxyyu。解析：1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1cosxxxxxyex eexexe 1 cossinxxex1 cos1sinxxx e【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。