2022年高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【练习 58（2005 浙江）如图,在三棱锥P ABC中,ABBC ABBCkPA ,点 O, D分别为 AC, PC的中点, OP平面 ABC 求证： OD/ 平面 PAB A P D C 证明：QO D分别为 AC、PC的中点OD/PA,又 PA平面PAB,OD/平面PABO B PA平面PAB OD平面PAB【易错点 59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“ 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”,简单导致证明过程跨步太大；/BD例 59、如图,在正方体ABCDA B C D 中, M、 N、P 分别是C

2、C B C C D 的中点,求证：平面 MNP/平面A BD【易错点分析】此题简单证得MN/1A D ,MP/BD ,而直接由此得出面MNP/面A BD解析：连结B D1,B C, QP N分别是D C1,B C 的中点,PN/B D 1,B D1/BD,PN又PN面ABD,PN/平面A BD同理：MN/平面A BD,又PNIMNN平面DMN/平面A BD；【学问点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题,即“ 线面平行就面面平行”定理中的条件缺一不行；,必需留意这里的“ 线面” 是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面,【练 59】正方体ABCD

3、A B C D 中,（1）M, N分别是棱A B 1,A D 的ACBD,同理中点, E、F 分别是棱B C C D 的中点,求证：E、F、 B、D共面；平面 AMN/平面 EFDB平面AB D / 平面C BD证明：（ 1）QEF/B D 1,B D 1/BDEF/BD,就 E、F、 B、 D共面；易证： MN/EF,设AC1IMNP AC1IEFQ ACIBDOQPQ/AO PQAOPA/OQ平面AMN/平面EFDB连结 AC,QABCDA B C D1为正方体,ACDBQAA 1平面ABCD,可证A CBC 于是得AC平面C BD,同理可证AC平面ABD1面AB D 1/面C BD【易错

4、点 60】求异面直线所成的角,如所成角为0 90 ,简单忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法；例 60、（2001 全国 9）在三棱柱ABCA B C 中,如AB2BB ,就 1AB 1 与C B所成角的大小为（） A、0 60 B 、0 90 C 、0 105 D 、750【易错点分析】忽视垂直的特别求法导致方法使用不当而铺张许多时间；解析：如图D1,D分别为B C BC中点,2,连结AD D C ,设BB 11,就AB2就 AD为AB 在平面BC 上的射影；又BE3,BD

5、2,cosC BCBC32BC 13DE2BE2BD22BE BDcosC BC11232210 90 时,可323236而BE2DE2111BD2,BED900AB 1 与C B垂直；362【学问点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时,对特别的角,如以采纳证明垂直的方法来求之；【练 60】（ 2005 年浙江 12）设 M, N是直角梯形 ABCD两腰的中点, DE AD于 E （如图）,现将 ADE沿 DE折起,使二面角0A DE B 为 45 ,此时点 A 在平面 BCDE内的射影恰为点 B,就 M,N的连线与 AE所成的角的大小等于；10 45 ,ABE0 90

6、,ABBE取AE中点Q ,连MQ ,解析：易知AEBBQ QMQ/1DE MQDE DE/BC DEBC,N为 BC的中点22MQ/BN MQBN,BQ/MNQBQAE,MNAE,即 M,N连线与 AE成0 90 角；【易错点 61】在求异面直线所成角,直线与平面所成的角以及二面角时,简单忽视各自所成角的范畴而出现错误；名师归纳总结 例 61、如图,在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中, M,N,P 分别为A B 1,BB CC1的中点；第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求异面直线D P 与AM CN与AM所成的角； 易

7、错点分析 异面直线所成角的范畴是0 0 ,900,在利用余弦定理求异面直线所成角时,如显现角的余弦值为负值,错误的得出异面直线所成的角为钝角,此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角；解析：如图,连结A N ,由N P为BB CC 中点,D1 C1 M B 1 A1 就PN/A D PNA D 1,从而A N/D PP N 故 AM和D P 所成的角为AM和D P所成的角；D C 易证Rt AA M Rt A B N ；所以A NAM ,A B 故D P与AM所成的角为0 90 ；B P,从而 CN与 AM所成的角又设 AB的中点为 Q,就B Q/AM B QAM.又QCN/B P

8、CN就是PB Q （或其补角） ；PB Q2,易求得B QB P5,PQ6.在PB Q 中,由余弦定理得cos225故 CN与AM所成的角为arccos 25；【学问点归类点拨】在历届高考中,求夹角是不行缺少的重要题型之一,要牢记各类角的范畴,两条异面直线所成的角的范畴：0 090 ；直线与平面所成角的范畴：00 090 ；二面角的平面角的 0取值范畴：0 0180 ；同时在用向量求解两异面直线所成的角时,要留意两异面直线所成的角与两 0向量的夹角的联系与区分；【练 61】（济南统考题）已知平行六面体 ABCD -A B C D 中,底面 ABCD 是边长为 1 的的正方形,侧棱 AA 的长为

9、 2,且侧棱 AA 和 AB 与 AD 的夹角都等于 120,（ 1）求对角线 AC 的长（ 2）求直线BD 与 AC 的夹角值；答案： （1）2 （2）arccos 3（提示采纳向量方法,以 uuurAA 1、 AB uuur、 AD uuur3为一组基底,求得 cos uuuur uuurBD 1 , AC 3 故两异面直线所成的角的余弦值为 3）3 3【易错点 62】对于经度和纬度两个概念,经度是二面角,纬度为线面角,二者简单混淆；名师归纳总结 例 62、如图,在北纬0 45 的纬线圈上有B 两点,它们分别在东经0 70 与东经第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料

10、 - - - - - - - - - 1600的经度上,设地球的半径为R,求 B两点的球面距离；【易错点分析】求A、B 两点的距离,主要是求B两点的球心角的大小,正确描述纬线角和经度角是关键；解析：设北纬 45 圈的圆心为 O ,地球中心为 O,就 AO B 160 070 090 , 0OBO 1 45 , 0OB R , O B O A 2R AB R 连结 AO AB ,就2AO BO AB R , AOB 60 0 AB 1 2 R 1 R ；故 A、 B 两点间的球面距离为6 31 R ；3【学问点归类点拨】数学上,某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（0 经线）

11、0和地轴确定的半平面所成的二面角的度数；某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数；如下图：图（ 1）：经度 P 点的经度,也是 AB 或AOB的度数；图（ 2）：纬度 P 点的纬度,也是PA或POA的度数；【练 62】（ 2005 高考山东卷）设地球的半径为R,如甲位置于北纬45东经120,乙位置于南纬75东经120 ,就甲、乙两地的球面距离为（）东经 120oB北纬 45o（A） 3R（ B）6R（ C）5 6R（ D）2R3答案： D如下列图东经 120 o与北纬 45 o 线交于 A点东经 120 o与南纬 75 o 线交于 C点 , 设球心为 B 点从而 ABC 45 o,

12、 DBC 75 o即 ABD 120 o以 B 点为圆心过 A、 C、D的AC大圆上 ACD 即为所求 . ACD2Ro 1202R .o 3603D南纬 75o【易错点 63】向量学问在立体几何方面的应用例 63、如图 , 在直四棱柱ABCD A1B1C1D 1中,ABAD2,DC 23 ,AA13 , ADDC,ACBD, 垂足未 E,（ I）求证： BD A1C；（ II）求二面角 A 1 BDC 1的大小；（III ）求异面直线AD 与 BC 1 所成角的大小【易错点分析】此题主要考查同学运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.同学在解题中一方面不能依据条件建立恰当的空间坐A1

13、D1C1标系,另一方面建系后同学不能正确找到点的坐标.或者没有运用向量知识解决问题的意识；B1D名师归纳总结 AEFC第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：解法一： （ I）在直四棱柱ABCDA B C D 中, Q A A 底面 ABCD , AC 是 A C 在平面 ABCD 上的射影 . Q BD AC , BD AC 1.（II ）连结 A E C E AC 1 .与（ I）同理可证 BD A E BD C E ,A EC 为二面角 A 1 BD C 的平面角 . oQ AD DC , A D C 1 ADC 90 ,又

14、 A D 1 1 AD 2, DC 1 1 DC 2 3, AA 1 3, 且 AC BD ,AC 1 1 4, AE 1, EC 3, A E 1 2, C E 1 2 3,在 A EC 中 , A C 1 2A E 2C E 2, A EC 1 90 , o即二面角 A 1 BD C 的大小为 90 o .（III ）过 B 作 BFAD 交 AC 于 F ,连结 FC 1, 就 C BF 就是 AD 与 BC 所成的角 . Q AB AD 2, BD AC AE 1, BF 2, EF 1, FC 2, BC DC ,FC 1 7, BC 1 15. 在 BFC中, cos C BF 1

15、52.2. 15 4 7 155 , C BF arccos 155 ,即异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为 arccos 155 .解法二：（I）同解法一 . ZD1（II ）如图 ,以 D 为坐标原点 , DA DC DD 1 所在直线分别为 x 轴, y 轴 , z 轴,建立空间 直角坐标系 , A1 C1连结 A E C E AC 1 . 与（ I ）同理可证 , BD A E BD C E , B1A EC 为二面角 A 1 BD C 的平面角 . D由 A 1 2,0, 3, C 1 0,2 3, 3, E 32 ,2 3 ,0,X A ECY1 3 3 3 3得 EA 1

16、2 ,2 , 3, EC 1 2 ,2 , 3. B3 9EA EC 1 3 0. EA 1 EC 1 , 即 EA 1 EC 1 . 二面角 A 1 BD C的大小为4 490 o . （II ）如图 ,由名师归纳总结 D0, 0, 0,A2, 0, 0,C10,23,3,3,B3,3, 0,.第 5 页,共 6 页得AD2, 0, 0,BC13,3.615AD.BC16,|AD|2,|BC1|15,AD.BC1cosAD,BC1AD|BC1|2155|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 异面直线 AD 与BC 所成角的大小为arccos15.5解法三

17、：（I）同解法一 . （II ）如图 ,建立空间直角坐标,坐标原点为E. Z|C1连结A E C E AC1D1与（ I）同理可证 ,BDA E BDC E,A1A EC 为二面角A 1BDC 的平面角 . B1D由E0,0,0,A 10,1,3,C10,3,3.YEAA 1BDC得EA 0,1, 3,EC 10,3,3.XBo C 的大小为 90 .QEA EC1330,EA 1EC1,即EA1EC 1.二面角（III ）如图 ,由A 0, 1,0,D3,0,0,B 3,0,0,C 10,3,3.AD BC 1615.得AD3,1, 0,BC13,3,3.QAD BC 1336,|AD|2,

18、|BC 1|15,cosAD BC 1AD|BC 12 155|异面直线 AD 与BC 所成角的大小为arccos15.5【学问点分类点拔】解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,加深对向量的本质的熟悉 .二是向量的坐标运算表达了数与形相互转化和亲密结合的思想 .向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、 射影、夹角等问题中 .常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 .用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行摸索：要解决的问题可用什么向量学问来解决？需要用到哪些向量？所需要的向量是否已知？如未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示？所需要的向量如不能直接用已知条件转化成的向量表示,就它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页