90全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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1、 (10月14日上午8001000)一选择题(本题满分30分，每小题5分)1设(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二填空题(本题满分30分，每小题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 2设A

2、(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当t由15变到45时，线段AP扫过的面积是 3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 4对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+f(1990)5设n=1990，则 (13C+32C33C+3994C3995C= 68个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)三(本题满分20分)已知

3、a，b均为正整数，且ab，sin=，(其中0)，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数第二试(10月14日上午10301230)一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 OOABCDP1OOO234F来源:学|科|网二(本题满分35分)设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列两条性质： 对任何1ij100，恒有 ai+aj201； ai=10080试证明：G中的奇数的个数是4的倍数且G中所有数

4、字的平方和为一个定数三(本题满分35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1Ci39，1in)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为Ci=1990看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下1990年全国高中数学联赛解答第一试一选择题(本题满分30分，每小题5分)1设(，),则(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cos

5、a(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosa(sina)cosa 【答案】D【解析】(，)0cossin1， (cosa)cosa(sina)cosa；(cosa)sina0但x3+y3+3=xy，等号当且仅当x3=y3=时，即x=，y=时成立故选B6已知椭圆+=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( ) 【答案】C【解析】+=1，由a2b2，故得1+=，1b+=15故选C二填空题(本题满分30分，每小题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则 +的最小值是 【答案】1【解析】ab()2=1，从而an

6、bn1，故 + = 1等号当且仅当a=b=1时成立即所求最小值=1来源:学科网2设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当t由15变到45时，线段AP扫过的面积是 【答案】【解析】点P在单位圆上，sin(2t60)=cos(1502t)，cos(2t60)=sin(1502t).当t由15变到45时，点P沿单位圆从(，)运动到(,)线段AP扫过的面积=扇形面积=3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是 来源:学#科#网Z#X#X#K【答案】3【解析】(x2+y2+z2)2=x4+y4+

7、z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号当且仅当x=y=z时成立故n=35设n=1990，则来源:学#科#网 (13C+32C33C+3994C3995C= 【答案】来源:学。科。网Z。X。X。K【解析】取(+i)1990展开的实部即为此式而(+i)1990=+i故原式=三(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且ab，sin=，(其中0)，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数四n2个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2

8、na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann(1990年全国高中数学联赛)分析 由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比【解析】 设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q a44=2a43a42=由a44=a24q2，得， q=. a12=a42q3=1 d= = ， a1k=a12+(k2)d=k(k=1，2，3，n) akk=a1kqk1=k()k1=()kk令Sn= a11+a22

9、+ann则 SS=+ = + =1. S=2五设棱锥MABCD的底面为正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径第二试(10月14日上午10301230)一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 【解析】证明 O为ABC的外心， OA=OB O1为PAB的外心，O1A=O1B OO1AB作PCD的外接圆O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则1=2=3，EPD=BPF， PFB=E

10、DP=90 PO3AB，即OO1PO3同理，OO3PO1即OO1PO3是平行四边形 O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点同理，O2O4过PO中点 OP、O1O3、O2O4三直线共点二(本题满分35分)设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有下列两条性质： 对任何1ij100，恒有 ai+aj201； ai=10080试证明：G中的奇数的个数是4的倍数且G中所有数字的平方和为一个定数 x12+x22+x1002+(201x1)2+(201x2)2+(201x100)2=2(x12+x22+x1002)2201(x1+x2+x100)+1002012=2(x12+x22+x1002)220110080+1002012=12+22+32+2002 x12+x22+x1002=(12+22+32+2002)+2201100801002012=200201401+2012016020100201=10067401+20160=1349380为定值三(本题满分35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1Ci39，1in)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为Ci=1990看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下