98全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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1、一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1 若a 1, b 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a 1)+lg(b 1) 的值( ) （A）等于lg2（B）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b无关的常数 2.若非空集合A=x|2a+1x3a 5,B=x|3x22,则能使AAB成立的所有a的集合是( ) （A）a | 1a9 (B) a | 6a9 (C) a | a9 (D) 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37二、填空题( 本题满分5

2、4分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1若f (x) (xR)是以2为周期的偶函数, 当x 0, 1 时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 2设复数z=cos+isin(0180)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是_.3从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有_种.4各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这

3、样的数列至多有_项. 5若椭圆x2+4(ya)2=4与抛物线x2=2y有公共点，则实数a的取值范围是 6DABC中, C = 90o, B = 30o, AC = 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，此时三棱锥A-BCM的体积等于_.三、（本题满分20分）已知复数z=1sin+icos()，求z的共轭复数的辐角主值来源:学科网ZXXK 四、（本题满分20分） 设函数f (x) = ax 2 +8x +3 (a 0与a 2x2 + b2x + c2 0的解集相同; 命题Q：= 则命题Q( ) (A) 是命题P的充分必要条件来源:Zxxk.Com (B) 是命

4、题P的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件 【答案】D【解析】若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为1，否定A、B，选D5.设E, F, G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角CFGE的大小是( ) (A) arcsin (B) +arccos (C) arctan (D) arccot 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37【答案】B【解析】8个顶点中无

5、3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； 面中心为中点：46=24组； 棱中点为中点：12个共49个，选B二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1若f (x) (xR)是以2为周期的偶函数, 当x 0, 1 时,f(x)=x，则f()，f()，f()由小到大排列是 2设复数z=cos+isin(0180)，复数z，(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R不共线时,以线段PQ, PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S到原点距离的最大值是_.【

6、答案】3【解析】 =+=+ =+=(1+i)z+2z=iz+2=(2cossin)+i(cos2sin) |OS|2=54sin29即|OS|3，当sin2=1，即=时，|OS|=34各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_项.【答案】8【解析】设其首项为a，项数为n则得a2+(n1)a+2n22n1000=(n1)24(2n22n100)=7n2+6n+4010 n8取n=8，则4a3即至多8项(也可直接配方：(a+)2+2n22n100()20解2n22n100()20仍得n8)6DABC中, C = 90o, B = 30o, AC

7、= 2, M是AB的中点. 将DACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2，此时三棱锥ABCM的体积等于 来源:学科网【答案】【解析】由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2，由AMC为等边三角形，取CM中点，则ADCM，AD交BC于E，则AD=，DE=，CE=折起后，由BC2=AC2+AB2，知BAC=90，cosECA= AE2=CA2+CE22CACEcosECA=，于是AC2=AE2+CE2AEC=90 AD2=AE2+ED2，AE平面BCM，即AE是三棱锥ABCM的高，AE=SBCM=，VABCM=三、（本题满分20分） 四、（本题满分20分） 设函数f (x) = ax

8、2 +8x+3 (a0)对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个 区间 0, l(a)上, 不等式| f (x)| 5都成立 问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)证明你的结论五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px及定点A(a, b), B( a, 0) ,(ab 0, b 2 2pa).M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2 求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 M2.)直线M1M2恒过一个定点并求出这个定点的坐标. 第二试一、（满分50分）如图，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边

9、上的高，I在线段OD上。求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。注：ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。【解析】 由旁切圆半径公式，有ra=，故只须证明=即可。连AI并延长交O于K，连OK交BC于M，则K、M分别为弧BC及弦BC的中点。且OKBC。于是OKAD，又OK=R，故=，故只须证=作INAB，交AB于N，则AN=(b+ca),而由AINBKM，可证=成立，故证。二、（满分50分）设a1，a2，an，b1，b2，bn1，2且a=b，求证：a并问：等号成立的充要条件三、（满分50分）对于正整数a、n，定义Fn（a）=qr，其中q、r为非负整数，a

10、=qnr，且0rn求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数aA，都有F(F(F(F(F(F(a)=1证明你的结论【解析】将满足条件“存在正整数n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数aB，都有F(F(F(a)=1”的最大正整数B记为xk显然，本题所求的最大正整数A即为x6。先证x1=2事实上，F2(1)=F2(2)=1，所以x12,又当n13时，F(2) =2，而F2 另一方面，若取n1=+2，由于=n1+对于每个a，令a=qn1+r，那么或者q=,r；或者q1,rn11=+1。两种情况下均有q+rxk,因此xk+1=。此外，因为xk为偶数，若4|xk，由2|xk+6可得8|xk(xk+6)，若xk2(mod4)，由xk+60(mod 4)也可得8|xk(xk+6)因此xk+1也是偶数。于是完成了归纳证明xk+1=由x1=2逐次递推出x2=4,x3=10，x4=40，x5=460，x6=53590即所求最大整数A=53590