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1、1 高中数学基本不等式教学设计方案一、【教学目标】1、知识与技能目标(1)掌握基本不等式2abab,认识其运算结构;(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义;(3)能够利用基本不等式求简单的最值。2、过程与方法目标(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程;(2)体验数形结合思想。3、情感、态度和价值观目标(1)感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物;(2)体会多角度探索、解决问题。二、【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力,辩证地分析问题的能力,学以致用的能力,分析问题、解决问题的能力。三、【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式2abab的证明过程。四
2、、【教学难点】基本不等式2abab等号成立条件。五、【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合六、【教学工具】课件辅助教学、实物演示实验七、【教学流程】八、【教学过程设计】创设情景,引入新课如图是在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标,这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范,比较 4个直实 物 演 示引入课题观察、发现问题总结问题验证证明引例练习课堂小结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 4 页 -2 角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相等和不等关系?赵爽弦图1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中右个全等
3、的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22ab。这样,4 个直角三角形的面积的和是 2ab,正方形的面积为22ab。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有222abab。2得到结论:一般的,如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba3思考证明:你能给出它的证明吗?证明:因为222)(2baabba当22,()0,()0,abababab时当时所以,0)(2ba,即.2)(22abba4基本不等式1)特别的,如果 a0,b0,我
4、们用分别代替a、b,可得2abab,通常我们把上式写作:(a0,b0)2abab2)从不等式的性质推导基本不等式2abab名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,共 4 页 -3 用分析法证明:要证2abab (1)只要证baab2 (2)要证(2),只要证 a+b-ab20 (3)要证(3),只要证(a-b)20(4)显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。3)理解基本不等式2abab的几何意义如图所示:AB是圆的直径,点 C是 AB上一点,AC=a,BC=b。过点 C作垂直于 AB的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式2abab的
5、几何解释吗?引导学生发现:2ab表示圆的半经,ab表示半弦长 CD,得到不等关系:ab2ab(0,0 ba)易证t AD t DB,那么 D2AB 即D ab.这个圆的半径为2ba,显然,它大于或等于 CD,即abba2,其中当且仅当点 C与圆心重合,即ab时,等号成立.几何意义:半弦长不大于半径长。我们称ab为正数ba,的几何平均数,称2ba为正数ba,的算术平均数。代数意义:几何平均数小于等于算术平均数5.随堂练习已知 a、b、c 都是正数,求证:(ab)(bc)(ca)abc分析:对于此类题目,选择定理:abba2(a0,b0)灵活变形,可求得结果。解:a,b,c都是正数ab2ab0 b
6、c2bc0 ca2ac0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 4 页 -4(ab)(bc)(ca)2ab2bc2acabc即(ab)(bc)(ca)abc.九、【课时小结】本节课,我们学习了重要不等式222abab;两正数 a、b 的算术平均数(2ab),几何平均数(ab)及它们的关系(abba2).它们成立的条件不同,前者只要求a、b 都是实数,而后者要求a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:222baab,2)2(baab.思想方法技巧:(1)数形结合思想、“整体与局部”(2)换元法、分析法(3)配凑等技巧【板书设计】课题:3.4 基本不等式2abab(第 1 课时)1.课题导入基本不等式2abab的几何背景:如图是在北京召开的第 24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1问题探究探究图形中的不等关系。2总结结论:3思考证明:你能给出它的证明吗?3.随堂练习4.课时小结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 4 页 -