高中数学《基本不等式》教案.pdf

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1、基本不等式教案基本不等式教案一、教学目标一、教学目标1通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式ab a b的三个限制条件（一正二定三相等）在解2决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略以上教学目标结合了教学实际，将知识与

2、能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二、教学重点和难点二、教学重点和难点重点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab a b的证明过程；2难点：难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式三、教学过程：三、教学过程：1 1动手操作，几何引入动手操作，几何引入如图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的探究一探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形ABCD中有

3、 4 个全等的直角三角形设直角三角形两条直角边长为a,b，那么正方形的边长为a2 b2于是，4 个直角三角形的面积之和S1 2ab，正方形的面积S2 a2b2由图可知S2 S1，即a2b2 2ab探究二：探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）假设两个正方形的面积分别为a和b（a b），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：ab 2 2代数证明，得出结论代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若a,bR，则a2b2

4、2ab若a,bR，则ab a b2a b2b ba a学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若a,bR，则a2b2 2ab；（2）若a,bR，则ab 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明证法一（作差法）：a2b2 2ab (a b)2 0a b2 a2b2 2ab，当a b时取等号（在该过程中，可发现a,b的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于a,bR，于是要证明a bab，2只要证明a b 2 ab，即证a b 2 ab 0，即(a b)2 0，该式显然成立，所以得出结论，展示课题内容得出结论，

5、展示课题内容基本不等式:若a,bR，则ab a b（当且仅当a b时，等号成立）2a bab，当a b时取等号2若a,bR，则a2b2 2ab（当且仅当a b时，等号成立）深化认识：深化认识：称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式ab a b为a,b的算术平均数2a b又可叙述为：2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3 3几何证明，相见益彰几何证明，相见益彰探究三：探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC a，BC b过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD根据射影定理可得：CD AC BC abA A由于 RtCOD中直角边

6、CD 斜边OD，于是有ab a b2D DB BE EO O C C当且仅当点C与圆心O重合时，即a b时等号成立故而再次证明：当a 0,b 0时，ab a b（当且仅当a b时，等号成立）2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4 4应用举例，巩固提高应用举例，巩固提高例例 1.1.（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例 1 的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于

7、x,yR，（1）若xy p（定值），则当且仅当a b时，x y有最小值2p；s2（2）若x y s（定值），则当且仅当a b时，xy有最大值4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）例例 2.2.求y x(x 0)的值域变式变式 1.1.若x 2，求x1的最小值x21x1x在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示y x(x 0)的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab a b的三个限制条2件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略练一练（自主

8、练习）：练一练（自主练习）：1.已知x 0,y 0，且2x81，求xy的最小值y2.设x,yR，且x y 2，求3x3y的最小值5 5归纳小结，反思提高归纳小结，反思提高基本不等式：若a,bR，则a2b2 2ab（当且仅当a b时，等号成立）若a,bR，则ab a b（当且仅当a b时，等号成立）2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法媒体展示，渗透思想：媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为z1x y，几何平均数记为z2xy2利用电脑 3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面z1x y在曲面z2xy的上方26 6布置作业，课后延拓布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本 P100 习题A组 1、2 题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量这种说法对吗？并说明你的结论