中考满分突破者数学专题七.pdf

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1、学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 1 第一节 角平分线与折叠问题 翻折是初中三大图形变换之一，深受中考命题者的青睐。翻折必定出现轴对称，那么全 等和角平分线问题就是其中的命题背景， 研究翻折中的几个常见模型， 明白了其中的套路后， 抓住变与不变，一切问题将会迎刃而解。我们先从几个常考的翻折模型说起，挖掘其中的性 质和结论 【例 1】 （2020 春上虞区期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上 的点F处，且/ /DEBC，则结论：BDF是等腰三角形； 1 2 DEBC；四边形ADFE 是菱形；2BDFFECA 其中正确结论的序号

2、是() ABCD 【例 2】 （2017 秋锦江区校级期中）已知ABC中，6AB ，5ACBC，将ABC折叠， 使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点EF分别在边AB、AC上） 当以 BED为顶点的三角形与DEF相似时，BE的长为 【例 3】 （2020惠山区一模）如图，在ABC中，3CA ，4CB ，5AB ，点D是BC的 中点，将ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F， 那么sinBED的值为 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 2 【例 4】 （2019河南二模）如图，在Rt ABC中，90ACB，30A，

3、2BC ，点D是 边AB上的动点，将ACD沿CD所在的直线折叠至CDA的位置， CA 交AB于点E若 A ED为直角三角形，则AD的长为 【例 5】如图，在菱形ABCD中，2AB ，120BAD，点E，F分别是边AB，BC上 的动点，沿EF所在直线折叠BEF，使点B的对应点 B 始终落在边CD上，则点A，E间 的距离d的取值范围是 【例 6】 （2019海宁市一模）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上将菱 形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处若45B，2AE ，2 2BE ，则 tanEFG的值是() A 5 3 B 27 3 C2D 2 71 2 学学习数学习数学领悟数学

4、领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 3 【例 7】 （2017永安市一模）在Rt ABC中，90ACB，10AB ，8BC ，点D、 E分别是边AC、AB上的任意一点，把ADE沿直线DE折叠，点A的对应点是 1 A （1）如图，若 1 A是BC边的中点，求CD的长 （2）如图，若 9 4 CD ，点 1 A在BC边上求证：四边形 1 ADAE是菱形 （3）若点 1 A落在BC的下方， 1 A D、 1 AE与BC边分别相交于点M、N 如图，当 1 AMN是等腰三角形 11 ()AMAN，求tanCDM的值； 是否还有 1 AMN是等腰三角形的其他情形？若存在，直接写出tan

5、CDM的值 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 4 【同步训练】 1 （2017 秋天台县期末）如图，在ABC中，30C，将ABC沿着直线l折叠，点C落 在点D的位置，则12 的度数是() A30B60C90D120 2 （2018唐河县一模）如图，在Rt ABC中，90ACB，5AB ，3AC ，点D是BC 上一动点，连接AD，将ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，连 接BE，当DEB是直角三角形时，DE的长为 3 （2019平顶山三模）在菱形ABCD中，2AB ，120BAD，点E，F分别是边AB， BC边上的动点，沿EF折叠

6、BEF，使点B的对应点B始终落在边CD上，则A、E两 点之间的最大距离为 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 5 4 （2020福山区一模） 如图， 边长为 2 的菱形ABCD中，60A， 点E，F分别在边AB， AD上， 若将AEF沿直线EF折叠， 点A恰好落在边BC的中点G处， 则sinGFE 5 （2013澄海区模拟）已知Rt AOB，其中90AOB，6OA，8OB 将该纸 片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D （1）如图（1） ，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为； （2）如图（2） ，若折叠后使

7、点B与点A重合，求点C的坐标； （3） 如图 （3） ， 若折叠后点B落在边OA上的点为B， 是否存在点B， 使得四边形BCB D 是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 6 第二节 正方形和矩形折叠问题 折叠问题是历年来中考的热点，它是图形三大变换中“轴对称”的应用，一般的矩形正 方形翻折问题都会出现直角三角形， 运用勾股定理和相似就可以破解。 但对于所有问题都可 以去追根溯源， 从哪里来就回哪里去， 抓住翻折不变特性， 锁定本质， 解题也可以一目了然。 如果加入二倍角的性质定理，将会有

8、另外一种秒杀的感觉 【例 1】 （2018涪城区校级自主招生）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边 的点E处，过点E作/ /EGCD交AF于点G，连接DG给出以下结论：DGDF； 四边形EFDG是菱形； 2 1 2 EGGFAF； 当6AG ，2 5EG 时，BE的长为 12 5 5 ， 其中正确的结论个数是() A1B2C3D4 【例 2】（2018 秋福田区校级月考） 如图， 在平面直角坐标系中有一矩形ABCD， 其中(0,0)A， (8,0)B，(0,4)D 若将ABC沿AC所在直线翻折， 点B落在点E处， 则E点的坐标是() A(5,6)B 32 (5,) 5 C 4 5

9、(,6) 5 D 24 32 (,) 55 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 7 【例 3】 （2019西宁）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠使点A落 在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若1CF ，2DF ，则BC的长是() A3 3B26C5D2 6 【例 4】 （2019曾都区一模）如图，矩形ABCD中，5AB ，3BC ，点E在边AD上（不 与A，D重合） ，将矩形沿CE折叠，使点A，B分别落在点F，G处，有下列结论： FED与GCD互余；若CD平分ECG，则 5 tan 3 BCE；若直线FG经过点D， 则

10、4 5 AE ED ；若直线FG交边AD，CD分别于M，N，当DMN为等腰三角形时，五边 形ABCNM的周长为11 2 其中正确结论的序号是 【例 5】 （2012天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 (11,0)A，点(0,6)B，点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合） ，经过点O、P折 叠该纸片，得点B和折痕OP设BPt 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 8 （）如图，当30BOP时，求点P的坐标； （）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若 AQm，试用含有t的式子表示m；

11、（） 在 （） 的条件下， 当点C恰好落在边OA上时， 求点P的坐标 （直接写出结果即可） 【例 6】 （2020和平区校级模拟）如图，矩形 ABCD 中，P 为 AB 上一动点（P 与 A，B 不重 合） ，将BPC 沿 CP 翻折至B1PC，BP1与 AD 相交于点 E，CB1与 AD 相交于点 F， 连接 BB1交 AD 于 Q，若 EQ8，QF5，BC20 ?，则 B1F 的长，折痕 CP 的 长 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 9 【同步训练】 1 （2020莒县模拟） 如图， 矩形纸片ABCD中， 点E、F分别在线段BC、AB上， 将

12、BEF 沿EF翻折，点B落在AD上的点P处，且4AB ，5BE ，则AP的长为() A1B2C3D4 2 （2018 春遵义期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落 到点E处，BE交AD于点F过点D作/ /DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点 O若3AB ，4AD ，则FG的长为() A 25 8 B 15 8 C 25 4 D 15 4 3 （2020 春句容市期中）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕， 若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在 另一条直线上，则下列说法：AEDE；EGGC；BEBF

13、；若1AB ，则 2AD ，正确的有() ABCD 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 10 4如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作/ /EGCD交 AF于点G，连接DG，DE （1）求证：线段DE和GF互相垂直平分； （2）若8AB ，10AD ，求四边形DFEG的周长； （3）探究线段DF，GF，AF之间的数量关系，并说明理由 5 （2018南宁）如图，矩形纸片ABCD，4AB ，3BC ，点P在BC边上，将CDP沿 DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OPOF，则cosADF 的值为()

14、A 11 13 B 13 15 C 15 17 D 17 19 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 11 达标训练 1（2019 春鲤城区校级期中） 如图， 将一张三角形纸片ABC的三角折叠， 使点A落在ABC 的A处折痕为DE，若A，CEA ，BDA ，那么下列式子中正确的是() A180B2C2D 2 （2019 秋瑞安市期末）如图，在Rt ABC中，90C，D，E分别为边AB，AC上 一点，ADAE将ABC沿DF折叠，使点B与E重合，折痕交边BC于点F若CEF 为等腰三角形，则A的度数为度 3 （2017 秋宜兴市期中）如图，点D为ABC边AB

15、的中点，将ABC沿经过点D的直线 折叠，使点A刚好落在BC边上的点F处，若46B，则BDF的度数为 4 （2020 秋南岗区校级月考）如图，E是AB边上的中点，将ABC沿过E的直线折叠， 使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若ABC的周长为8 3，则DEF的周长等 于() 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 12 A43B8C4 3D6 3 5 （2018宁夏模拟）如图，在ABC中，90ACB，30CAB，ABD是等边三 角形如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则ACE的正弦值为( ) A 31 7 B 1 7 C 3 12

16、D 31 6 6 （2018 春萧山区期末）如图，菱形ABCD中，A是锐角，E为边AD上一点，ABE沿 着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论： 若70A，则35ABE； 若点F是CD的中点，则 1 3 ABEABCD SS 菱形 下列判断正确的是() A，都对B，都错C对，错D错，对 7 （2019大鹏新区二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标 系中，点(10,0)A，点(0,6)B，点P为BC边上的动点，将OBP沿OP折叠得到OPD，连 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 13 接CD

17、、AD 则下列结论中： 当45BOP时， 四边形OBPD为正方形； 当30BOP 时，OAD的面积为 15； 当P在运动过程中，CD的最小值为2 346； 当ODAD时， 2BP 其中结论正确的有() A1 个B2 个C3 个D4 个 8 （2018焦作一模）如图，在Rt ABC中，90A，30B，31BC ，点E、F 分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠C，使点C的落对应点 C 始终落在 边AB上，若BEC是直角三角形时，则 BC 的长为 9 （2019永康市一模）如图，在Rt ABC中，90B，3AB ，4BC ，点M、N分 别在AC、AB两边上，将AMN沿直线MN折叠，使点A

18、的对应点D恰好落在线段BC上， 当DCM是直角三角形时，则tanAMN的值为 10（2017平南县三模） 如图， 已知一个直角三角形纸片ACB， 其中，90ACB，4AC ， 3BC ，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF （1）如图 1，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 14 3 EDFECBF SS 四边形 ，则AE 如图 2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上点的M处，且 / /MFCA，求EF的长 （2）如图 3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N

19、，1CN ， 4 7 CE ，求 AF BF 的值 11 （2020雁塔区校级三模）如图，在矩形ABCD中，ABm，6BC ，点E在边CD上， 且 2 3 CEm连接BE，将BCE沿BE折叠，点C的对应点 C 恰好落在边AD上，则(m ) A3 3B2 3C3D5 12 （2019 春九龙坡区校级期中）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点 （不与点A，点D重合） 将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG 交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM下列结论： BEPE；BPEF；PB平分APG；PHAPHC；MHMF，其中正确 学学习数学习

20、数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 15 结论的个数是() A5B4C3D2 13 （2019攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，4BE ，8EC ， 将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下 4 个 结论： 45EAG；FGFC；/ /FCAG；14 GFC S 其中正确结论的个数是() A1B2C3D4 14 （2019 秋青岛期中）如图，已知正方形ABCD的边长为 3，E是边BC上一点，1BE ， 将ABE，ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作 EHAE，交AF的延长线于

21、H则下列结论正确的有() ADFECF； AEH为等腰直角三角形； 点F是CD的中点； 5 2 FH 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 16 A1 个B2 个C3 个D4 个 15 （2017许昌二模）如图，矩形ABCD中，8AB ，15BC ，点E是AD边上一点，连 接BE， 把ABE沿BE折叠， 使点A落在点A处， 点F是CD边上一点， 连接EF， 把DEF 沿EF折叠， 使点D落在直线EA上的点D处， 当点D落在BC边上时，AE的长为 16 （2017林州市二模）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 (11,0)A，点

22、(0,6)B，点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合） ，经过点O、P折 叠该纸片，得点B和折痕OP（如图)经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上， 得点C和折痕PQ（如图)，当点C恰好落在OA上时，请求出点P的坐标 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 17 17 （2016盐田区二模） 如图， 将矩形纸片ABCD置于直角坐标系中， 点(4,0)A， 点(0,3)B， 点D（异于点B、)C为边BC上动点，过点O、D折叠纸片，得点B和折痕OD过点 D再次折叠纸片，使点C落在直线DB上，得点C和折痕DE，连接OE，设BDt （1）当1t 时，求点

23、E的坐标； （2）设 OECB Ss 四边形 ，用含t的式子表示s（要求写出t的取值范围） ； （3）当OE取最小值时，求点E的坐标 18 （2015 春金东区期末）如图，已知矩形ABCD，边1AD ，将矩形ABCD沿DE折叠， 使顶点A落在DC上的点F，DE交AB于点E，然后将矩形展平，将矩形ABCD沿CE折 叠，若点B的对应点G恰好落在DE上，将矩形ABCD沿EH折叠，使顶点A落在DE上的 点I，折痕EH交AD于点H （1）求CDG度数 （2）求DC的长 （3）求GI的长 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 18 19 （2018 秋邗江区校级期

24、中）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，P 为 AD 上一点， 将ABP 沿 BP 翻折至EBP，PE 与 CD 相交于点 O，BE 与 DC 相交于 G 点，且 OE OD （1）求证：APDG （2）若设 APx，则 GE，GC（用含有 x 的代数式表示） ；并求 AP 的 长度 20 （2015 秋南山区校级期中）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，P 为 AD 上一点， 将ABP 沿 BP 翻折至EBP，PE 与 CD 相交于点 O，且 OEOD （1）求证：OPOF； （2）求 AP 的长 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 7 折叠问题折叠问题 19