中考满分突破者数学专题十.pdf

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1、学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 1 第一讲 关于蝶高蝶宽和蝶角 二次函数，我们习惯了解析式，习惯了在 cbxaxy 2 支配下的计算恐惧，本章节我们通过 二次函数的一些特殊几何性质，站在另外一个角度来审视一个不一样的抛物线，很多计算问题达到化繁为 简的目的，在本章开启的时候，我们先来介绍几个新名词。 二次函数最初始的模型就是 2 axy ，我们知道 a 越大，开口越小， a 越小，开口越大，那么这个到底 如何界定呢？到底大多少，仅仅靠坐标去解释吗？ 【例 1】如图 1 所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正面

2、观察 该桥的上面部分是一条抛物线，如图 2，若 AB60，OC15，以 AB 所在直线为 x 轴，抛物线的顶点 C 在 y 轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（） Ay? ? ? ? ?15By? ? ? ? 15 Cy? ? ? ? ?15Dy? ? ? ? 15 【例 2】如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2x2+mx+n 与 x 轴交于 A，B 两点若线段 AB 的 长度为 4，则顶点 C 到 x 轴的距离为（） A6B7C8D9 图 3图 4 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 2 【例 3】吉林省某

3、大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图 5，大门的地面宽度为 8 米，两侧距 P 地面 4 米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，则校门的高为（精确到 01 米，水泥 建筑物厚度忽略不计） （） A92 米B91 米C9 米D51 米 图 5图 6图 7 【例 4】已知抛物线 yx2+1 的顶点为 P，如图 8 所示，点 A 是第一象限内该二次函数图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图象于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连结 PA、PD， PD 交 AB 于点 E，PAD 与PEA 相似吗？（） 图 8图 9图 10 A始终

4、不相似B始终相似 C只有 ABAD 时相似D无法确定 【例 5】如图 11，已知抛物线 ymx26mx+5m 与 x 轴交于 A、B 两点，以 AB 为直径的P 经过该抛物线 的顶点 C，直线 lx 轴，交该抛物线于 M、N 两点，交P 与 E、F 两点，若 EF2 ?，则 MN 的长为 （） 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 3 图 11图 12图 13 A2 ?B4 ?C5D6 【例 6】 （长沙中考）若关于x的二次函数 2 (0yaxbxc a，0c ，a，b，c是常数）与x轴交于两个 不同的点 1 (A x，0)， 2 (B x， 12

5、0)(0)xx，与y轴交于点P，如图 14，其顶点为点M，点O为坐标原点 （1）当 1 2xc， 1 3 a 时，求 2 x与b的值； （2）当 1 2xc时，试问ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论； （3）当 1 (0)xmc m时，记MAB，PAB的面积分别为 1 S， 2 S，若BPOPAO，且 12 SS，求m的 值 图 14图 15 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 4 【同步训练】 1如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1x2（x0）与 y2? ? ? （x0）于 B、C 两点，过点 C 作 y 轴的平行线交 y

6、1于点 D，直线 DEAC，交 y2于点 E，则?t ?t ? 2 （2020绿园区一模）如图所示是某斜拉索大桥， 主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度50AB 米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为 100 米，桥面CD距水面的高度为 36 米，则桥的宽度CD40 米 3（鄂城区期末） 如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数 2 (0)yaxc a的图象过面积为 1 2 的正方形ABOC 的三个顶点A、B、C，则a的值为 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 5 4 （2019 秋临西县期中）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图（1）所示） ，拱高

7、6m，跨度20m，相邻两支 柱间的距离均为5m （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图（2）所示） ，请根据所给的数据求出抛物线的解析式； （2）求支柱EF的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带） ，其中的一条行 车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由 5 （2020枣阳市模拟）已知关于x的二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象经过点(0,1)C，且与x轴交于不 同的两点A、B，点A的坐标是(1,0) （1）求c的值和a，b之间的关系式； （2）求a的取值范围； （3）该二次函数的图象与直线1y 交于C、D两点，设

8、A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交 于点P，记PCD的面积为 1 S，PAB的面积为 2 S，当0a时，求证： 12 SS为常数，并求出该常数 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 6 第二节 抛物线中的叠罗汉与比值问题 上一节我们介绍了蝶宽蝶高还有蝶角在抛物线当中的快速解法，跳过了坐标系的束缚，很多问题实现 高观点低运算，本节我们将出现双抛物线或者多条抛物线的蝶宽蝶高问题，以及多个三角形和矩形的叠罗 汉模型，数学脱离不了模型而独立存在，只有破解了模型，才能破解命题者的意图 【例 1】如图 16，过y轴上一点(0,1)P作平行于x轴的直线PB

9、，分别交函数 2 1 (0)yxx与 2 2 (0) 3 x yx的 图象于 1 A， 1 B两点，过点 1 B作y轴的平行线交 1 y的图象于点 2 A，再过 2 A作直线 22/ / A Bx轴，交 2 y的图 象于点 2 B，依次进行下去，连接 12 A A， 12 B B， 23 A A， 23 B B，记 211 A AB的面积为 1 S， 212 A B B的 面积为 2 S， 322 A A B的面积为 3 S， 323 A B B的面积为 4 S，则 2016 S 图 16图 17 【例 2】如图 18，已知点 1 A， 2 A， 2014 A在函数 2 yx位于第二象限的图象

10、上，点 1 B， 2 B， 2014 B在 函数 2 yx位于第一象限的图象上， 点 1 C， 2 C， 2014 C在y轴的正半轴上， 若四边形 111 OAC B、 1222 C A C B， ， 2013201420142014 CACB都是正方形，则正方形 2013201420142014 CACB的边长为() 图 18 A2013B2014C2013 2D2014 2 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 7 【例 3】如图 19，小明设计了一个电子游戏，一个跳蚤从横坐标为(0)t t 的 1 P点开始按点的横坐标依次增 加 1 的规律，在

11、抛物线 2 yax上向右跳动，得到 1 P， 2 P， 3 P，这时 123 PP P面积为() 图 19图 20 AaB2aC3aD4a 【例 4】一块边缘呈抛物线型的铁片如图放置，测得20ABcm，抛物线的顶点到AB边的距离 为25cm现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮，如图 21 所示已知截得的 铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是() 图 21图 22 A第七块B第六块C第五块D第四块 【例 5】 如图 23， 已知 1 A， 2 A， 3 A， 2012 A是x轴上的点， 且 112232010201120112012 1OAA AA AAAAA， 分别过点 1 A

12、， 2 A， 3 A， 2012 A作x轴的垂线交二次函数 2( 0)yxx的图象于点 1 P， 2 P， 3 P， 2012 P， 若 1 1 OA P的面积为 1 S， 过点 1 P作 1122 PBA P于点 1 B， 记 112 PB P的面积为 2 S， 过点 2 P作 2233 P BA P于点 2 B， 记 223 P B P的面积为 3 S，依次进行下去， 最后记 201120112012 PBP的面积为 2012 S， 则 1232012 SSSS 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 8 等于() 图 23 A1005 2B 20

13、11 2 2 C1006 2D 2013 2 2 【例 6】定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为： “美 丽抛物线” 如图 24， 直线 1 : 3 l yxb经过点 1 (0, ) 4 M， 一组抛物线的顶点 11 (1,)By， 22 (2,)By， 33 (3,)By， ( ,) nn B n y(n为正整数） ， 依次是直线l上的点， 这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是： 11 (A x，0)， 22 (A x， 0)， 33 (A x，0)， 11 ( nn Ax ，0)(n为正整数） 若 1 (01)xdd，当d为()时，这组抛物线中存

14、在美丽抛物线 图 24 A 5 12 或 7 12 B 5 12 或 11 12 C 7 12 或 11 12 D 7 12 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 9 【例 7】 （贵阳）我们知道，经过原点的抛物线可以用 2 (0)yaxbx a表示，对于这样的抛物线： （1）当抛物线经过点( 2,0)和( 1,3)时，求抛物线的表达式； （2）当抛物线的顶点在直线2yx 上时，求b的值； （3）如图 25，现有一组这样的抛物线，它们的顶点 1 A、 2 A、， n A在直线2yx 上，横坐标依次为1， 2，3，(n n为正整数，且12)n，分别过每

15、个顶点作x轴的垂线，垂足记为 1 B、 2 B， n B，以 线段 nn A B为边向左作正方形 nnnn A B C D，如果这组抛物线中的某一条经过点 n D，求此时满足条件的正方形 nnnn A B C D的边长 图 25 【例 8】 （2017 秋鄞州区期末）我们把经过原点，顶点落在同一抛物线C上的所有抛物线称为抛物线C的 派生抛物线 （1）若 2 1 4yxx 是抛物线 2 :2C yax的派生抛物线，求a的值 （2）证明：经过原点的抛物线 2 22ymxmxm 是抛物线 2 13 : 22 C yx的派生抛物线； （3）如图，抛物线 1 y， 2 y， 3 y， 4n yy都是抛物

16、线 2 :22C yxx的派生抛物线，其顶点 1 A， 2 A， 3 A， 4n AA的横坐标分别是 1、2、3、4n，它们与x轴的另一个交点分别是 1 B， 2 B， 3 B， 4n BB，与原 点O构成的三角形分别为 11 OAB， 22 OA B， 33 OA B， 44 OA B nn OA B 请用含n的代数式表示抛物线 n y的函数表达式； 在这些三角形中，是否存在两个相似的三角形，若存在，请直接写出它们所对应的两个函数的表达式， 若不存在，请说明理由 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 10 【同步训练】 1 （2012 秋沙坪坝区校

17、级月考）如图，点 1 A、 2 A、 3 A、 n A在抛物线 2 yx 图象上，点 0 B、 1 B、 2 B、 3 B、 n B在y轴上（点 0 B与坐标原点O重合） ，若 101 AB B、 212 A B B、 1nnn A BB 都为等腰直 角三角形，则 20112010 AB的长为() A2010B2011C2010 2D2011 2 2 （2004大连）阅读材料，解答问题 材料： “小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这 1( 3,9) P 开始，按点的横坐标依次增加 1 的规律，在 抛物线 2 yx上向右跳动，得到点 2 P、 3 P、 4 P、 5 P （如图 1 所示）

18、过 1 P、 2 P、 3 P分别作 11 PH、 22 P H、 33 PH垂直于x轴，垂足为 1 H、 2 H、 3 H，则，即 123 PP P的面积为_ ” 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 11 3 （2011 秋仪征市校级期末）如图，已知抛物线 2 1 2 yxc 的内部有正方形ABCD正方形EFGH正方形 MNPQ，其中每个正方形均有两个顶点在抛物线上，已知正方形ABCD的边长为 3，则正方形MNPQ的边 长为 4（2009江干区模拟） 如图， 已知 1 A， 2 A， 3 A， 2009 A是x轴上的点， 且 1122320082

19、009 1OAA AA AAA， 分别过点 1 A， 2 A， 3 A， 2009 A作x轴的垂线交二次函数 2( 0)yxx的图象于点 1 P， 2 P， 3 P， 2009 P， 若记 1 1 OA P的面积为 1 S，过点 1 P作 1122 PBA P于点 1 B，记 112 PB P的面积为 2 S，过点 2 P作 2233 P BA P于 点 2 B，记 223 P B P的面积为 3 S，依次进行下去，最后记 200820082009 PBP的面积为 2009 S，则 20092008 SS 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 12

20、5（2011化州市二模） 如图， 直线 11 : 34 l yx经过点 1 (0, ) 4 M， 一组抛物线的顶点 11 (1,)By， 22 (2,)By， 3(3 B， 3) ( n yB n，)( n yn为正整数） 依次是直线l上的点， 这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是： 11 (A x，0)， 22 (A x， 0)， 33 (A x，0)， 11 ( nn Ax ，0)(n为正整数） ，设 1 (01)xdd若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的 三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为： “美丽抛物线” 则当(01)dd的大小变化时美丽抛 物线相应的d的值是 6 （2018苏

21、州模拟）如图，已知二次函数的解析式是 2 (0)yaxbx a，顶点为(1, 1)A （1）a ； （2）若点P在对称轴右侧的二次函数图象上运动，连结OP，交对称轴于点B，点B关于顶点A的对称点 为C，连接PC、OC，求证：PCBOCB ； （3）如图，将抛物线沿直线yx 作n次平移(n为正整数，12)n，顶点分别为 1 A， 2 A， n A，横 坐标依次为 1，2，n，各抛物线的对称轴与x轴的交点分别为 1 D， 2 D， n D，以线段 nn A D为 边向右作正方形 nnnn A D E F，是否存在点Fn恰好落在其中的一个抛物线上，若存在，求出所有满足条件 的正方形边长；若不存在，请

22、说明理由 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 13 第三节 二次函数系数与三角函数的本质关联 二次函数 cbxaxy 2 模型中，总会出现跟坐标轴的一些系数关系，我们抛物线知道与 y 轴交点是 )0(cC， ，与x轴交点为 )0( 1， xA ， )0( 2， xB ， aa c a b xxxxxxAB 44)( 2 2 21 2 2121 ， 过焦点的直线与抛物线交于两点，它们与焦点的距离之积和这两点的长的比值是定值。我们在学习的 过程中需要深挖命题背景，找出命题的核心处，推出隐藏的二级结论方可做到一眼看破答案，解答过程中 根据常规写法写出式子

23、即可，心中有答案书写将不慌 【例 1】如图，已知二次函数)0( 2 acbxaxy与x轴交于BA、两点，与y轴 交于C点，且) 10(，C，若BOAOCO 3 3 2 ，则a的值是_ 【例 2】如图，一次函数bxy 3 3 交二次函数2 2 xaxyA、B两点， 线段AB的长度为35，过C点做AB的垂线，垂足为D，2CD， 3:2:BDAD，则该二次函数的解析式为_ 【例 3】 （2020福建模拟） 已知抛物线 2 : 3 x C y 与直线: l ykxb相交于点A，B， 直线l与y轴交于点P （1）点M是抛物线上的动点，过点M作MG 直线l于点G，当0k 时，求 GM GA GB 的值；

24、（2）若将（1）的抛物线改为” 2 yax” ，其他条件不变，则 MG GA GB 的值还为定值吗？若是，请求出定值； 若不是，说明理由 （3）点M是抛物线上的动点，过点M作/ /MGy轴交直线l于点G，当2k 时，求证：不论b为何实数， MG GA GB 的值为定值，并求定值； 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 14 【例 4】 （2018盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 3yaxbx经过点( 1,0)A 、(3,0)B两 点，且与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）如图，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x

25、轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与 抛物线相交于P、Q两点 （点P在点Q的左侧） ， 连接PQ， 在线段PQ上方抛物线上有一动点D， 连接DP、 DQ直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由 【例 5】 （2017金牛区校级自主招生）过点(0,1)P的直线与二次函数 2 1 4 yx的图象交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点： （1）求证： 12 y y的定值； （2）设P为二次函数 2 1 4 yx的图象上的动点，求证：点P到点F的距离等于点P到定直线:1l y 的距 离； （3）求证：定直线:1l y 是以线段AB为

26、直径的圆的切线 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 15 【例 6】 （成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 5 ( 4 yxm m为常数）的图象与x轴交于 点( 3,0)A ，与y轴交于点C以直线1x 为对称轴的抛物线 2 (yaxbxc a，b，c为常数，且0)a 经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求m的值及抛物线的函数表达式； （2）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛 物线于 11 (Mx， 1) y， 22 (Mx， 2) y两点，试探究 12 12 M P

27、M P M M 是否为定值，并写出探究过程 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 16 【同步训练】 1如图，已知二次函数cbxxy 2 4 1 与x轴交于BA、两点，点C是抛物 线上的一点，满足1tanCAB， 2 1 tanCBA，点C的横坐标为1，则该二次 函数的解析式为_ 2 （2020武汉模拟）如图，经过(1,0)和(2,3)两点的抛物线 2 yaxc交x轴于A、B两点，P是抛物线 上一动点，平行于x轴的直线l经过点(0, 2) （1）求抛物线的解析式； （2）如图，y轴上有点 3 (0,) 4 C，连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC

28、t童 威在探究dt的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算dt的值； 当P不是抛物线的顶点时，猜想dt是一个定值请你直接写出这个定值，并证明； 3如图，抛物线 22 (21)2yxmxmm与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C过P作PQAB 于点Q （1）求 AQ BQ PQ 的值； （2）连接AP，BP，若90APB，求证：无论m为何值时PQ总为定值 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 17 4 （2016 秋武昌区月考）已知抛物线 2 :23C ymxmxm，其中0m ，与x轴交于A、B两点(A在B左 侧） ，与y轴交于C，且OBO

29、C （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，将抛物线C向左平移 1 个单位，再向上平移 15 4 个单位得到新抛物线 1 C，直线ykx与抛物线 1 C交于M、N两点， 11 MONO 是否为定值？请说明理由 5 （2014鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 5 4 yxm的图象与x轴交于( 1,0)A ，与y轴 交于点C以直线2x 为对称轴的抛物线 2 1: (0)Cyaxbxc a经过A、C两点，并与x轴正半轴交 于点B （1）求m的值及抛物线 2 1: (0)Cyaxbxc a的函数表达式 （2）设点 25 (0,) 12 D，若F是抛物线 2 1: (0)Cyaxbxc

30、a对称轴上使得ADF的周长取得最小值的点， 过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线 1 C于 11 (Mx， 1) y， 22 (Mx， 2) y两点，试探究 12 11 M FM F 是否为定值？请说明理由 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 18 达标训练 1 （2020 秋武昌区校级期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m水面上升1.5m， 水面宽度为() A1mB2mC3mD2 3m 2 （2017 秋方山县校级月考）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 米，两侧距地面 3 米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间

31、的水平距离为 6 米，如图所示，则厂门的高为()（水泥建筑物厚 度不计，精确到 01 米） A68 米B69 米C70 米D71 米 3 （2019 秋江岸区校级月考）一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的 水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈 中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时， 他跳离地面的高度是() A0.1m B0.2mC0.3mD0.4m 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 19 4

32、 （2016长春二模）如图，点M是抛物线 2 1 (1)4 2 yx 上在第一象限内的点，/ /MNx轴交抛物线于 点N，M在N的右边，P是x轴上一点，当MNP是以MN为底的等腰直角三角形时，则点M的坐标 是 5 （2017 秋新罗区校级月考）如图，Rt OABRt OCD，ABx轴，点D在y轴上，( 2,4)A 在抛物线 2 yax上，CD与该抛物线交于点P，求点P的坐标 6 （2017 秋镇海区期末）如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，2CDDE，点O、C、 F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线 2 yaxb经过M、B、 E三点，则 FC

33、 CM 的值等于 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 20 7 （2020周村区一模）如图，过函数 2( 0)yax a图象上的点B，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为 A，C线段AC与抛物线的交点为D，则 AD AC 的值为_. 8 （2020界首市一模） 如图， 抛物线 2 (0)yaxbxc a的顶点为M， 直线ym与抛物线交于点A，B， 若AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线 对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶 （1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是 （2

34、）抛物线 2 1 2 yx对应的准蝶形必经过( ,)B m m，则m ，对应的碟宽AB是 （3）抛物线 2 5 4(0) 3 yaxaa对应的碟宽在x轴上，且6AB 求抛物线的解析式； 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 21 9如图，二次函数 2 1 3 yxbxc 的图象过原点，与x轴的另一个交点为(8,0) （1）求该二次函数的解析式； （2）在x轴上方作x轴的平行线 1 ym，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线， 垂足分别为点D、点C当矩形ABCD为正方形时，求m的值； 10 （2018随州）如图 1，抛物线 2 1:

35、 2(0)Cyaxaxc a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已 知点A的坐标为( 1,0)，点O为坐标原点，3OCOA，抛物线 1 C的顶点为G （1）求出抛物线 1 C的解析式，并写出点G的坐标； （2）如图 2，将抛物线 1 C向下平移(0)k k 个单位，得到抛物线 2 C，设 2 C与x轴的交点为A、B，顶点 为G，当A B G 是等边三角形时，求k的值： 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 22 11 （2012义乌市模拟）如图，直线yx与抛物线 2( 0)yax a在y轴右侧依次交于 1 A， 2 A， 3n AA， 且 11223

36、1 ( nn OAA AA AAA n 为正整数） ，其中经过点 1 A的抛物线为 2 yx，则过点An的抛物线为( ) A 2 1 yx n B 2 1 1 yx n C 2 ynxD 2 (1)ynx 12 （2010东丽区一模）二次函数 2 2 3 yx的图象如图所示， 点 0 A位于坐标原点， 点 1 A， 2 A， 3 A， 2008 A在y轴的正半轴上， 点 1 B， 2 B， 3 B， 2008 B在二次函数 2 2 3 yx位于第一象限的图象上， 若 011 A B A， 122 AB A， 233 A B A， 200920102010 ABA都为等边三角形， 则 20092

37、0102010 ABA的周长 为() A 2009B 2010C 6024D 6030 13 （2010资阳）如图，已知点 1 A， 2 A， 2011 A在函数 2 yx位于第二象限的图象上，点 1 B， 2 B， 2011 B在函数 2 yx位于第一象限的图象上，点 1 C， 2 C， 2011 C在y轴的正半轴上，若四边形 111 OAC B、 1222 C A C B， 2010201120112011 CACB都是正方形，则正方形 2010201120112011 CACB的边长为() 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 23 A2010

38、B2011C2010 2D2011 2 14 （2012杭州模拟）如图， 0(0,0) A， 1(1,1) A， 2(2,4) A， 3(3,9) A，( n A n， 2)( nn是非负整数）是抛物线 一组横坐标相隔为单位 1 的点，过 0 A作x轴的垂线与过点 1 A作y轴的垂线得交点 0 B，依次而作得 0 B， 1 B， 1n B 若记 100 A B A面积为 1 S， 211 A B A面积为 2 S，则 655 A B A面积 6 S面积为() A45B55C11D18 15 （2010潮阳区模拟）如图，直线 11 22 yx分别与x轴、y轴交于点C和点D，一组抛物线的顶点 1

39、A， 2 A， 3 A， n A，依次是直线CD上的点，这组抛物线与x轴的交点依次是 1 B， 2 B， 3 B， 1n B ， n B， 且 112231nn OBB BB BBB ，点 1 A坐标(1,1)，则点 n A坐标为 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 24 16 （2012峨眉山市二模） 如图， 抛物线 2 2012yx 的图象与y正半轴的交点为A， 将线段OA分成 2012 等分，设分点分别为 1 P， 2 P， 3 P， 2011 P，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点 1 Q， 2 Q， 3 Q， ， 2011 Q，把

40、Rt 11 OPQ，Rt 122 PPQ，Rt 233 P PQ ，Rt 201020112011 PPQ的面积分别记为 1 S， 2 S， 3 S ， 2011 S，则 222 122011 SSS 17 （2013恩施州模拟）如图，将 2 个正方形并排组成矩形OABC，OA和OC分别落在x轴和y轴的正半 轴上正方形EFMN的边EF落在线段CB上，过点M、N的二次函数的图象也过矩形的顶点B、C，若 三个正方形边长均为 1，则此二次函数的关系式为 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 25 18 （2019 秋大名县期中）如图，抛物线 2 3 2 y

41、axx与x轴正半轴交于点(3,0)A以OA为边在x轴上 方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF则a ，点E的坐 标是 19 （2020南昌一模）已知点P为抛物线 2 1 (0) 2 yxx上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线， 记作“ p y” ，设其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m 若P点的横坐标分别为 1，2，3，(n n为正整数）时，抛物线“ p y”分别记作“ 1 p y” 、 “ 2 p y”， “ n p y” ， 设其与x轴另外一交点分别为 1 A， 2 A， 3 A， n A， 过 1 P， 2 P， 3 P， n P作x轴的垂线

42、， 垂足分别为 1 H， 2 H， 3 H， n H 1) n P的坐标为； n OA ； （用含n的代数式来表示） 当16 nnn P HOA时，求n的值 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 26 20 （2020陕西模拟）如图，抛物线 2 (0)yaxc a与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x 轴正半轴上） ，ABC为等腰直角三角形，且面积为 4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F （1）求a、c的值； （2）连接OF，试判断OEF是否为等腰三角形，并说明理由 21二次函数 2 yxb

43、xc的图象与轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C已知3ABAC， 30CAO，则(c ) A 3 5 B 7 10 C 1 9 D 2 7 22已知抛物线 2 1 2 yxmxn 与x轴交于不同的两点 1 (A x，0)， 2 (B x，0)，点A在点B的左边，抛物 线与y轴交于点C，若A，B两点位于y轴异侧，且 1 tantan 3 CAOBCO，求抛物线的解析式 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 27 23 （2020武汉模拟）如图，经过(1,0)和(2,3)两点的抛物线 2 yaxc交x轴于A、B两点，P是抛物线 上一动点，平行于x

44、轴的直线l经过点(0, 2) （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，y轴上有点 3 (0,) 4 C，连接PC，设点P到直线l的距离为d，PCt童威在探究dt的值 的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算dt的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想dt 是一个定值请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图 2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点若M、N两点的横 坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系 24 （2019 秋安徽月考）如图，已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 2 OCOA OB （1）证明：tantan1B

45、ACABC； （2）若点C的坐标为(0,2)，tan2:OCB 求该抛物线的表达式； 若点D是该抛物线上的一点，且位于直线BC上方，当四边形ABDC的面积最大时，求点D的坐标 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 28 25如图，抛物线 22 (21)2yxmxmm与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C过P作PQAB 于点Q （1）求 AQ BQ PQ 的值； （2）连接AP，BP，若90APB，求证：无论m为何值时PQ总为定值 26 （2018江岸区校级四模）已知抛物线 2 2yxbxc与x轴的交点为A、B，顶点为D （1）若点A、点B的坐标分别为(

46、 1,0)A 、(3,0)B，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点P使BCP为直角三角形？若存在，求出P的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线 2 2yxbxc与直线yxh交于E、F两点，点M在EF之间的抛物线上运动，/ /MNy 轴，交直线yxh于点N， MN EN NF 是否为定值，并说明理由 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 29 27 （2020武汉模拟）如图，经过(1,0)和(2,3)两点的抛物线 2 yaxc交x轴于A、B两点，P是抛物线 上一动点，平行于x轴的直线l经过点(0, 2) （

47、1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，y轴上有点 3 (0,) 4 C，连接PC，设点P到直线l的距离为d，PCt童威在探究dt的值 的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算dt的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想dt 是一个定值请你直接写出这个定值，并证明； （3）如图 2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点若M、N两点的横 坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系 28 （2016 秋武昌区月考）已知抛物线 2 :23C ymxmxm，其中0m ，与x轴交于A、B两点(A在B 左侧） ，与y轴交于C，且OBOC （1）求抛物线的解析式； （2）如图

48、 1，若点P为对称轴右侧抛物线上一点，过A、B、P三点作Q，且90PQB，求点P的 坐标； （3）如图 2，将抛物线C向左平移 1 个单位，再向上平移 15 4 个单位得到新抛物线 1 C，直线ykx与抛物线 1 C交于M、N两点， 11 MONO 是否为定值？请说明理由 学学习数学习数学领悟数学领悟数学秒杀数学秒杀数学专题专题 10 二次函数二次函数 30 29已知抛物线 2 yaxbxc与y轴交于(0, 4)A，与x轴交于B、C两点，且( 2,0)B 、(4,0)C （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若点M在y轴上，且BMOOABACB ，求点M的坐标； （3）如图 2，将抛物线

49、2 yaxbxc向右平移(0)n n 个单位得到的新抛物线与x轴交于M、(N M在N 左侧） ，P为x轴下方的新抛物线上任意一点，连PM、PN，过P作PQMN于Q， PQPQ MQNQ 是否为 定值？请说明理由 30 （2014鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 5 4 yxm的图象与x轴交于( 1,0)A ，与y轴 交于点C以直线2x 为对称轴的抛物线 2 1: (0)Cyaxbxc a经过A、C两点，并与x轴正半轴交 于点B （1）求m的值及抛物线 2 1: (0)Cyaxbxc a的函数表达式 （2）设点 25 (0,) 12 D，若F是抛物线 2 1: (0)Cyaxbxc a对称轴上使得ADF的周长取得最小值的点， 过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线 1 C于 11 (Mx， 1) y， 22 (Mx， 2) y两点，试探究 12 11 M FM F 是否为定值？请说明理由 （3）将抛物线 1 C作适当平移，得到抛物线 2 22 1 :() 4 Cyxh ，1h 若当1x m时，