华南理工大学高等数学竞赛 08届 解答.doc

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1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 华南理工大学2008年数学竞赛试卷一、单项选择题（本大题共15分，每小题3分）1. 若，则在点处 （ C ）(A）连续，但不一定可导； (B)必可导，但； (C) ，但不是的极值； (D) ，但是的极小值.2. 设，则（ D ）(A）； (B) ； (C) ； (D) . 3. . 若函数在点处及都存在，则在点处（ C ）(A）不一定有定义； (B)有定义，但不一定连续； (C) 连续，但不一定可导； (D) 必可导4. 函数在点处沿的方向导数（ D ）(A）； (B) ； (C) ； (D) .5、 给定函数满

2、足方程，其中的取值情况应该是（ B ）(A) 可取任意常数；（B）；（C）；（D） 二、填空题 （本大题共15分，每小题3分）. 若在连续，则. 设，则的间断点为 . 曲线的渐近线方程为. 已知，且，则5. 设，其中具有二阶连续导数，则三、（本题14分）设函数在有二阶连续导数，且，而，求证：证明：由已知，存在使所以因为在上满足拉格朗日定理条件，所以，即类似地，因为在上满足拉格朗日定理条件，所以，即于是四、（本题14分）一细长梁，两端固定，受力变形后其形状如图中虚线所示（图略，其中中点与端点都有水平切线）。请根据变形后曲线的特点，写出可能描写曲线的方程参考答案：或或或五、（本题14分）计算曲线积

3、分，其中为圆周上依逆时针方向自点到点的一段有向曲线解：由于在原点以外有 由曲线积分与路径无关的条件，可以改换路径，参数化为或，六、（本题14分）计算曲面积分 ，其中是由双曲线绕轴旋转所生成之旋转曲面，其法向量与轴夹锐角解：是 右侧取： 方向与y轴正向一致应用高斯公式另外由于关于xoz和yoz对称，由第二型曲面积分的对称积分性质，可知七、（本题14分）设平面上的两条曲线都经过点，已知上点的纵坐标与横坐标之比关于的变化率等于2；而上点的纵坐标与横坐标之乘积关于的变化率也等于2. 求有这两曲线所围成的平面图形的面积。解：由已知，备选题1、（本题14分）设有半径为的球面，其中心恰在给定的球面上，问为何值时在定球面内部的面积最大并求这个最大值简答：设球心为，则球面为备选题2、（本题14分）设已知连接两点的直线段，求线段绕轴旋转所得倒的曲面的面积解： 的方程为，也即，曲面为绕轴旋转而成第 4 页 共 4 页