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1、课后跟踪训练(三十一)基础巩固练一、选择题1(2019江西省八所重点中学联考)设向量a(1,1),b(sin2,cos2),ab,则()A. B C D解析由题意,得absin2cos2,即cos2,又,所以2(0,则2,所以,故选B.答案B2(2019长春市第二次质量监测)如图,正方形ABCD的边长为2,E为BC边的中点,F为CD边上一点,若|2,则|()A3 B5C. D解析解法一:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,0),E(2,1)设|x,则F(x,2),故(x,2),(2,1),|2,(x,2)(2,1)2x25,解得x,|,
2、故选D.解法二:连接EF,|cosEAF|2,|cosEAF|,EFAE.E是BC的中点,BECE1.设DFx,则CF2x.在RtAEF中,AE2EF2AF2,即2212(2x)21222x2,解得x,AF.故选D.答案D3(2019武汉市调研测试)在ABC中,0,|4,|5,D为线段BC的中点,E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点,则()A. BC D7解析()()514516.故选A.答案A4(2020福州市第一次质量抽测)已知O是ABC内部一点,且满足0,又2,BAC60,则OBC的面积为()A. B3 C1 D2解析由2,BAC60,可得|cosBAC|2,所以|4,所以SABC|
3、sinBAC3,又0,所以O为ABC的重心,所以SOBCSABC1,故选C.答案C5(2019石家庄市高三一模)已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A,C),其中|AB|2,则()A1 B2 C3 D4解析连接BC,AC为直径,ABC90,ABBC,在上的投影|cos,|2,|cos,4.故选D.答案D二、填空题6已知向量a(cos,sin),b(,1),则|2ab|的最大值与最小值的和为_解析由题意可得abcossin2cos,则|2ab| 0,4,所以|2ab|的最大值与最小值的和为4.答案47(2019天津卷)在四边形ABCD中,ADBC,AB2,AD5,A30,点E在线段CB的
4、延长线上,且AEBE,则_.解析解法一:在等腰ABE中,易得BAEABE30,故BE2,则()()252cos3052cos1801222cos15015101261.解法二:在ABD中,由余弦定理可得BD,所以cosABD,则sinABD.设与的夹角为,则coscos(180ABD30)cos(ABD30)cosABDcos30sinABDsin30,在ABE中,易得AEBE2,故21.答案18(2019湖南长沙长郡中学模拟)已知AD是ABC的中线,(,R),A120,2,则|的最小值是_解析由题意知(),记|c,|b,则bccos1202,所以bc4.2(222)(c2b24),显然b2c
5、22bc8(当且仅当bc时取等号),所以2(84)1,即|的最小值为1.答案1三、解答题9已知向量a(1,2sin),b,R.(1)若ab,求tan的值;(2)若ab,且,求的值解(1)因为ab,所以ab0,所以2sinsin0,即sincos0.因为cos0,所以tan.(2)由ab,得2sinsin1,即2sin2cos2sincossin1,即(1cos2)sin21,整理得sin,又,所以2,所以2,即.10(2019山东枣庄一中一模)在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m(cosA,sinA),n(sinA,cosA),若|mn|2.(1)求角A的大小;(2)若b
6、4,且ca,求ABC的面积解(1)mn(cosAsinA,cosAsinA),|mn|2(cosAsinA)2(cosAsinA)222(cosAsinA)(cosAsinA)2(cosAsinA)222(cosAsinA)244sin4,sin0.又0A,A,A0,A.(2)由余弦定理a2b2c22bccosA,及b4,ca,A,得a2322a224a,即a28a320,解得a4,c8,SABCbcsinA48sin16.能力提升练11(2019山东德州一模)已知ABC的三边分别是a,b,c,设向量m(sinBsinA,ac),n(sinC,ab),且mn,则B的大小是()A. B C D解
7、析mn,.由正弦定理得,整理,得a2c2b2ac,cosB,B.故选B.答案B12(2019湖北省武汉市武昌区高三调研考试)在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边BC,CD上,且满足BC3MC,DC4NC,若AB4,AD3,则()A B0 C D7解析以,为基底,(99)0,故选B.答案B13(2019福建省高三质检)已知D,E是ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若xy,则xy的取值范围是_解析由题意,知P,B,C三点共线,则存在实数使,所以(),所以(1),则所以xy1且x,于是xyx(1x)2,所以当x时,xy取得最大值;当x或x时,xy取得最小值,所以xy的取值范围为.答案14
8、(2019江西上饶调研)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m(sinA,sinB),n(cosB,cosA),mnsin2C.(1)求角C的大小;(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且()18,求c边的长解(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB),对于ABC,ABC,0C,sin(AB)sinC,mnsinC,又mnsin2C,sin2CsinC,sinC0 cosC,0C,C.(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列,可得2sinCsinAsinB,由正弦定理得2cab.()18,18,即abcosC18,ab36.由余弦定理得c2a2
9、b22abcosC(ab)23ab,c24c2336,c236,c6.拓展延伸练15(2019广东省惠州市高三二调)若O为ABC所在平面内任一点,且满足()(2)0,则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C正三角形 D等腰直角三角形解析()(2)0,即()0,()()0,即|,ABC是等腰三角形,故选A.答案A16(2019河北衡水中学模拟)过点P(1,1)作圆C:(xt)2(yt2)21(tR)的切线,切点分别为A,B,则的最小值为()A. B C D23解析由已知得圆心坐标(x,y)满足即yx2,可知圆心C在直线yx2上运动,则|2.设CPA,则|cos2|2(2cos21)(|21)(|21)|23,易知函数yx3在8,)上为增函数,所以83.故选C.答案C