上海市嘉定区2020-2021学年高三第一次质量调研测试 数学试卷.doc

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1、 嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分3本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知集合，则_2抛物线的焦点坐标为_3不等式的解为_4已知复数满足（为虚数单位），则_5已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则_6设函数的反函数为，若，则_7设各项均为正数

2、的无穷等比数列满足：，则数列的各项的和为_8在中，将绕边所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为_9在中，则_10甲和乙等五名志愿者参加进博会、四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_种不同的参加方法（结果用数值表示）11设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使，则的最小值为_12已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是_二选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）A充分

3、非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件14已知，且，则下列不等式恒成立的是 （ ）A B C D15过双曲线 （）的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心、以为半径的圆经过两点（为坐标原点），则双曲线的方程为 （ ）A B C D16如图，在棱长为的正方体中，点是该正方体棱上一点若满足（）的点的个数为，则的取值范围是 （ ）A BC D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正四棱柱的底面边长为，（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面

4、直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 （）的最小正周期为（1）求的值及函数，的值域；（2）在中，内角、所对边的长分别为、，若，的面积为，求的值19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式： （）研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的

5、车辆数,单位：辆/小时）满足， 求隧道内车流量的最大值（精确到辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到辆/千米）20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，且经过点为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求线段的长；（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质（1）判断数列是否具

6、有性质，并说明理由；（2）设项数为的数列具有性质，求证：；（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列.嘉定区2020学年高三年级第一次质量调研测试数 学 试 卷考生注意：1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分3本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知集合，则_【答案】【解析】由题意得，2

7、抛物线的焦点坐标为_【答案】【解析】由抛物线性质得，焦点坐标3不等式的解为_【答案】【解析】由得，4已知复数满足（为虚数单位），则_【答案】【解析】由得，5已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则_【答案】【解析】因为终边经过点，所以6设函数的反函数为，若，则_【答案】【解析】根据反函数定义得，若，则所以所以7设各项均为正数的无穷等比数列满足：，则数列的各项的和为_【答案】【解析】设等比数列公比为，则由得解得或又因为数列各项均为正数，所以，即所以数列的各项的和为8在中，将绕边所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为_【答案】【解析】因为所以旋转后的圆锥母线的长为5，底面半径为3

8、所以此面积为9在中，则_【答案】【解析】特殊化以为直角的直角三角形建系得， 由得，所以10甲和乙等五名志愿者参加进博会、四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则共有_种不同的参加方法（结果用数值表示）【答案】【解析】由题意得，每个岗位至少一人的情况有种甲和乙不在同一岗位服务有种所以共有种11设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使，则的最小值为_【答案】【解析】由题意得 ，则得 ，即 令得 ，即 （*），即得 因为首项，公差，则得 ，即 又因为 ，所以 ，代入（*）得当时，由得 ，即 ，所以 ，即 ，因此当或时，的最小值为 12已知函数若

9、存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【法一】由题意得，且关于的方程有三个不相等的实数根（1）当时，且，可知在上是增函数，此时关于的方程不可能有三个不相等的实数解；（2）当时，可知在区间、上分别是 增函数，而在区间上是减函数（如右图所示），当且仅当时，方程有三个不相等的实数解即令，则在时是增函数，则得所以，所求实数的取值范围是【法二】：由图得：由图得，矛盾二选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）A充分非必要条件 B必要

10、非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【答案】【解析】因为二项式通项为所以的二项式展开式中存在常数项为正偶数，因为为正偶数，为正偶数推不出所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件14已知，且，则下列不等式恒成立的是 （ ）A B C D【答案】【解析】由不等式性质得，恒成立，故选15过双曲线 （）的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点若以的右焦点为圆心、以为半径的圆经过两点（为坐标原点），则双曲线的方程为 （ ）A B C D【答案】【解析】因为以的右焦点为圆心、半径为的圆经过两点（为坐标原点），所以半径，圆的标准方程为因为即则即即即则则双曲线的方程为，故答案选16如图，

11、在棱长为的正方体中，点是该正方体棱上一点若满足（）的点的个数为，则的取值范围是 （ ）A BC D【答案】【解析】先计算正方体的个顶点到、两点的距离（如右图所示），则得：（1）当点分别在棱、上运动时，的取值范围是；（2）当点分别在棱、上运动时，的取值范围是；（3）当点分别在棱、上运动时，的取值范围是；（4）当点分别在棱、上运动时，的取值范围是由几何直观可知，点在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与的值是一一对应的，则当（）的点的个数为时，则的取值范围是三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分

12、8分）如图，正四棱柱的底面边长为，（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）【解析】（1）由题意得 则该正四棱柱的表面积为 ，体积为 （2）联结，则，所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角在中，,由余弦定理得 ，则得，所以，异面直线与所成的角的大小18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 （）的最小正周期为（1）求的值及函数，的值域；（2）在中，内角、所对边的长分别为、，若，的面积为，求的值【解析】（1）因为函数的最小正周期为，由 ，又因为，所以 此时，则得 ，即 ，即 当时，所以所求函数的值域为 （2）由题意得 因

13、为，则得 ，所以 ，解得 因为的面积为，则得 ，即 ，即 又因为 ，由余弦定理，得 ，所以 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式： （）研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数,单位：辆/小时）满足， 求隧道内车流量的最大值（精确到辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到辆/千米）【解

14、析】（1）由题意知 当（辆/千米）时，（千米/小时），代入 得 ，解得 ，所以 当时，符合题意； 当时，令 ，解得 ，所以 综上，答：若车流速度不小于千米/小时，则车流密度的取值范围是 （2）由题意得 当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立； 当时， ，即 ，等号当且仅当，即成立综上，的最大值约为，此时约为答：隧道内车流量的最大值约为辆/小时，此时车流密度约为辆/千米20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为，且经过点为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求线段的长；

15、（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解析】（1）解：由题意得 ，解得 分把点的坐标代入椭圆的方程 ，得，由于 ，解得 所以所求的椭圆的标准方程为 （2）解：因为， 则得 ，即，又因为 ，所以直线的方程为 由 解得 （舍去）或，即得 所以 ，即线段的长为 （3）【解法一】由题意知，直线的斜率存在，可设直线 （）令，得 由 得 ，解得 （舍去）或，所以 ，即 于是直线的方程为，即 令,得，即 所以四边形的面积等于，即四边形的面积为定值【解法二】由题意知，设 （），则直线的方程为 ，即令，得 又直线的方程为，令,得，即 所以四边形的面积等于 （*） 因为点在椭圆

16、上，则得 ，所以 ，代入（*）得 ，即四边形的面积为定值21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质（1）判断数列是否具有性质，并说明理由；（2）设项数为的数列具有性质，求证：；（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列【解析】（1）数列不具有性质因为，但是、，它们均不是数列中的项，所以数列不具有性质（2）证明：因为，所以，即 ，所以设，因为，所以 则得因为，所以，.，将上面的式子相加得 ，所以 （3） 数列具有性质，但该数列不是等差数列（答案不惟一） 下面证明当，即时，数列是等差数列由（2）得 设，由（2）知 因为，所以，.，因此 (*) 设，则，所以，得由及，可得 ，.，所以 因为，由上知，且 ，所以，且，所以 (*) 由(*)知 ，两式相减得，所以当时，是等差数列 已知实数满足：则实数的取值范围是的取值范围是