专题12 方差.pdf

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1、专题专题1212 方差方差 2 （一）知识要点（一）知识要点 2 () () : () XEXE X XD XVar X 设设 是是一一个个随随机机变变量量，若若存存在在， 则则称称其其为为 的的方方差差，记记为为或或 1.1.方方差差定定义义 ，即即 2 ()()(). D XVar XEXE X 2.2.方方差差的的计计算算公公式式: : 2 ( )() ,()( ().g xxE XD XE g X注注意意到到，当当取取则则 22 ()() () .D XE XE X ()().XD XX=而而称称为为 的的标标准准差差 3 3. 3.方差的性质：方差的性质： (1),( )0.cD c

2、 设设 是是常常数数 则则 (4)()0()1().D XP XccE X 且且 22 , ,()()( )2( , ).a b cD aXbYca D Xb D YabCov X Y设设是是常常数数, ,则则 2 (2),()().XcD cXc D X 设设 是是随随机机变变量量 是是常常数数 则则有有 (3),X Y 设设是是两两个个随随机机变变量量 则则有有 (, )()( ).Cov X YEXE XYE Y其其中中称称为为协协方方差差 11 ()()2(,). nn iiij iiij DXD XCov XX 一一般般地地, , 1 11 ,.,()(). nn nii ii XX

3、DXD X 若若相相互互独独立立, ,则则 ()()( )2(, ).D XYD XD YCov X Y 4 . 因因为为是是随随机机地地抽抽取取, , 因因此此抽抽到到每每个个单单词词的的可可能能性性解解 都都是是一一样样的的 : : （二）例题分析（二）例题分析 ().XD X 如如果果从从 I can because I think I can. I can because I think I can. 这这句句话话中中随随机机 地地抽抽取取一一个个单单词词, , 用用 表表示示所所选选单单词词中中字字母母的的个个数数 例例12.1.12.1. , , 求求 X故故 的的分分布布律律为为

4、 X 1 3 5 7 P 3/7 2/7 1/7 1/7 ()3.E X 在在专专题题1111中中已已得得到到 22222395211 ()1357. 77777 E X又又 22 ()() ( ()D XE XE X那那么么 29532 3. 77 5 ,( ). X XYeD Y 在在(0, 1)(0, 1)区区间间上上随随机机取取一一数数，记记为为设设求求例例12.2.12.2. (0,1),XU解解: : 由由题题意意 1 1 0 ( )()( )1, Xxx X E YE eefx dxe dxe 22 ( )() ( ( )D YE YE Y故故 1 2222 0 1 ()()(1

5、), 2 Xx E YE eedxe 21 212311 (1)(1)20.033. 222 eeee 6 , (). ababNn XD X 一一盒盒中中有有 个个红红球球， 个个黄黄球球，采采用用不不放放回回抽抽样样取取 个个球球，以以 表表示示取取到到红红球球的的个个数数， 例例 求求 12.3.12.3. 1 ., n XXXX在在专专题题1111中中提提到到，将将 分分解解，解解: : 1, 0, i i X i 若若第第 次次取取到到红红球球 其其中中 若若第第 次次取取到到黄黄球球. . 1,., ,(), i in E Xa N则则对对 1 ()()2(,) n iij iij

6、 D XD XCov XX 2 2 (1) ()(1,1),. (1) a ijij N Ca a E X XP XXij N N C (,)()() () ijijij Cov X XE X XE X E X 2 ()(). i D Xa NaN (1).n n有有个个 2 () . (1) n Nn ab NN 于于是是 2 () ,. (1) a aN ij NN 7 1,2, i Xiin 令令 表表示示开开第第 扇扇门门需需要要的的实实验验次次数数( (解解: :),), 21 ,1,2,1, 12 ii n i P Xkkn iEX n i 在在专专题题1111已已得得 且且 1

7、22 1 1 () 1 n i i k E Xk ni 由由于于 n n 有有 把把同同类类型型钥钥匙匙，设设一一把把钥钥匙匙只只能能开开一一扇扇门门. .某某人人不不小小心心把把钥钥 匙匙搞搞混混了了，他他只只能能拿拿着着钥钥匙匙随随机机地地去去开开 扇扇门门. . 如如果果一一扇扇门门打打开开，即即把把 其其对对应应钥钥匙匙剔剔除除, , 直直至至把把全全部部的的门门打打开开, , 求求开开门门总总次次 例例12.4.12.4. 数数的的方方差差. . 1 . n i i XXX 表表示示开开门门总总次次数数. . 那那么么 (1)(2)(223) 1 16 ninini ni (2)(2

8、23) . 6 nini (2)() (),1,2, . 12 i n in i D Xin 故故 8 1 ()() n i i D XDX 因因此此 22 (2)() ()()( (),1,2, . 12 iii n in i D XE XE Xin ,1,2, , i X in由由题题意意知知是是相相互互独独立立的的. . n n 有有 把把同同类类型型钥钥匙匙，设设一一把把钥钥匙匙只只能能开开一一扇扇门门. .某某人人不不小小心心把把钥钥 匙匙搞搞混混了了，他他只只能能拿拿着着钥钥匙匙随随机机地地去去开开 扇扇门门. . 如如果果一一扇扇门门打打开开，即即把把 其其对对应应钥钥匙匙剔剔除

9、除, , 直直至至把把全全部部的的门门打打开开, , 求求开开门门总总次次 例例12.4.12.4. 数数的的方方差差. . 1 () n i i D X 1 (2)() 12 n i nini 1 1 (1)(1) 12 j n in j jj 2 1 1(1)(21) 1 (). 12126 n j jn nn n 9 ()1, 2, 1, 2,. ()(). nn n XE XD X 配配对对问问题题 一一个个小小班班有有 个个同同学学，编编号号为为号号，中中秋秋 节节前前每每人人准准备备一一件件礼礼物物，相相应应编编号号为为将将所所有有礼礼物物集集中中放放 在在一一起起，然然后后每每个

10、个同同学学随随机机取取一一件件，若若同同学学拿拿到到自自己己准准备备的的礼礼物物， 则则称称配配对对成成功功, ,记记 为为总总的的配配对对数数，求求 例例 和和 12.5.12.5. 1, ; 1,2, . 0, , i i Xin i 第第 号号同同学学配配对对成成功功 引引入入随随机机变变量量 第第 号号同同学学未未配配对对成成功功 解解: : 12 1 ,0 1, ni XXXXX n 易易知知： 且且服服从从分分布布 参参数数为为 111 1 ()()()1. nnn ii iii E XEXE X n 故故 111 (),()(1),1,2,. ii E XD Xin nnn 10

11、 11 ()()()2(,), nn iiij iiij D XDXD XCov X X注注意意到到 , (1|1)1/(1), ji ij P XXn对对于于 1 (1,1)(1|1) (1), (1) jijii P XXP XXP X n n 故故 ()0 0(0,0) 1 0(0,1) 1 0 1(1,0) 1 1(1,1), (1) ijjiji jiji E X XP XXP XX P XXP XX n n 那那么么 22 111 (,)()() () (1) (1) ijijij Cov X XE X XE X E X n n nn n 故故. . 2 111 ()(1)(1)1. (1) D Xnn n nn n n 因因此此 11 ()(1), i D X nn