概率论与数理统计习题解答(第3章).docx

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1、习题三(A)三、解答题1 .设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1, 1, 2,现从口袋中无放回地连续摸出 两个球，以X, Y分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求(X, Y)的分布律.解：(X, Y)取到的所有可能值为(1, 1), (1, 2), (2, 1)由乘法公式:PX=1,旌 1=PX=1PY=1 |X=1=2/3x1/2=/3, RX=1,Y=2= PX=1PY=2|X=1=2/3x1/2=1/3, RX=2, 1=PX=2PY= |X=2=1/3x2/2=1/3.(X, Y)的分布律用表格表示如下：2 .设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的，2支是红的，

2、现从中随机 抽取2支，以x, y分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求：(i)x和y的联合分布律；3 2) PX, Y e A,其中 A = (x, y)x-y1.解：X, 丫所有可能取到的值是0, 1, 2CiCjC2-i-j(1) Px=h Y=j=PX=iPY=jX=i=-一,L j=0, 1, 2, i+j2C28或者用表格表示如下：(2)P(X, Y)A=PX+/1=PX=0,匕0+PX=1, y=0+PX=0,&1=3/28+9/28+6/28=9/14.分布函数及概率密度.解：并联时，系统L的使用寿命Z=maxX, Y 因XExp(a),外石印的，故解：并联时，系统L的使用寿命Z=

3、maxX, Y 因XExp(a),外石印的，故I 1 _xf (x)=00, xQ10，10，F (x) = 0*0,x。F (x) = 0*0,x。F 也)=1一。一。，y0y o, y0z0z0ZXY0,z0(z)=的 PJ )0,z0(B)设二维随机变量(X, Y)的分布律为随机事件X=O与X+y= 1相互独立，求，人的值.解：px=o=q+o.4, px+r=i=px=i, y=o+px=o, y=i=+APX=Q, X+y=1=尸X=0, Y=1=a由于X=O与x+y=i相互独立，所以px=o, x+y=i=px=o px+y=i即=(4+0.4)(4+/?)(1)再由归一性知：0.

4、4+。+0.1=1(2)解，得。=0.4, Z?=0.12.设二维随机变量(x,冷的概率密度为f2 -X- y, 0x1,02YI1f|(2-x- y)dydx =o oI1f|(2-x- y)dydx =o o724求z = x + y的概率密度fz）.解:PX2势=（%/）公力二x2 y+8利用公式/ 0 = 1/(犬,z-x)dx计算212- z,0,0x1,0z-x1其它小(2 一 z)dx,0 z 1I f(2-z),0 z 1z) =(x, z- x)cbc= jfi (2- z)6Zx51 z 2 = (2 - z)2,1 z 20,z23设随机变量X的概率密度为0,0,-1 x

5、 00 x2 其它令y=X2,尸（X,y）为二维随机变量（X, y）的分布函数，求（1）丫的概率密度/丫（切； F(-l,4).2解： 4(y)=尸/y=PX24y 当yo时，f&)=。当尖。时，F)=向X6 =F (啊-F (-相 YXXn-,0 i/4(2)R-1/2, 4)=PX-1/2, Y4= P-1/2, X24 -1/2=f_/ (x)dx = J-? dx= 1=P-2 X22-2 x_i 244设(X, Y)为二维离散型随机变量，X和y的边缘分布律分别如下:X-101Pi1/41/21/4Y01Pi1/21/2如果PXY=0=1 ,试求(1)(X, Y)的分布律；(2)问X与

6、V是否独立.解：PX件0=1-PXY=Q=Q即 PX=-1,1+PX=1, Y=0由概率的非负性知，PX=-1, =1=0, PX=1, 1=0由边缘分布律的定义，RX=-1= PX=1, W0+PX=-1, K=1=1/4得 PX=1, Y=0=V4再由 PX=1= PX=1, Y=0+ PX=1, y=1=1/4得 PX=1, 10=1/4再由 Py1=PX=-1, Y=1+PX=0, Y=+ PX=1, Y=1= PX=0, Y=1 知 PX=0, =1=1/2最后由归一性得：PX=0, Y=0=0（X, Y）的分布律用表格表示如下:5设随机变量x与y相互独立，且xn（i,o2）,yu（

7、_tu,7i）, 求z=x+ y的概率密度（计算结果用标准正态分布分布函数（x）表示）.4-00解：X与y相互独立，利用卷积公式q0 = J 4（x）（z X）公计算1f (y)27T，” (一兀产)0淇它_(Xi)23 2a 2 ，-兀 Z - X 7114(*)4(Z-X)= 271GMH 0,其它_, 彳 f 1( X)2(z) = +fr(x)f (z-x)dx=z_2o2 dx=j_x Y.兀2兀0必2兀-co1Pz-兀 Xz + 7i= F(z +兀)一 F(z 兀)斗2MF6设二维随机变量（X, 7）在矩形6 = （用切|0为2,0?1上服从均匀分布，试求 边长为x和y的矩形面积

8、s的概率密度fs(s).解:(X, Y)U(G) ,、k (兀 y)G f(x, y) = 20,其它设无)和1s)分别表示&xy的分布函数和密度函数Fs)=PXY2“s 同1 dydx+ EL 1 dydxI-X -I o o 2s o 2fO,s 2S|22 s1,s2于是，s=xy概率密度为1 2In, 0 s 2/(s)=2 ss0,其它7设随机变量x与y相互独立，其中x的分布律为X12Pi0.30.7而y的概率密度为1y),求随机变量U=x+Y的概率密度g(u).解：由全概率公式：Fu)=P Uu = X-Yu=PX=1 PX+YuX=+ PX=2PX-YuX=2=PX=P1+Yu+

9、 PX=2P2-Yu=03xFu-l)-0.7xFu-2)所以，力)=Q3xfu-)-0Jxfu-2)8.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 x 1,0 y 2x,其它,1,0/(兀 ) = L1u,求：(1)(X, Y)的边缘概率密度&(x),左y)；(2) Z = 2X-Y的概率密度f (z)； Z。，0 x 1,0 y x解：八无切1。，其它+002xydy, 0 x 1 2x, 0 x 1X00f (y) = f(x,y)dx =Yco/ (%) = J ,f(x, y = o=0,其它其它r 1 dx, 0 j 21-，Q y2j ；2o,其它 0，其它(2) F (z) = P

10、Z z = P2 X Y z= If f(x, y)dxdy z2 x-yz如下图,当zvO时,p (z)=0;当 Z22 时，(z)=1当 0wz2 时:尸(z) = f-f2x1i/ytZr + f1 J2a 1 dydx = z-Z2Z 0 0-2x-z42综上所述，0. z 0Z2F (z) = (z 3 0 z 20,其它所以z的概率密度为：/(Z)=vzZ |1 , 0 z 1.fl, 0cx1解：f(X)=s甘X 其它, 0yx, 0x1. (y %) =4 x|o,其它f1,0 yx 1/(x,y)=4x3x)4(x)=xo,其它/1 (y)=卜Y/1 (y)=卜YJ1 dx,

11、0 y 1 f-ny,0 y 18/(羽yR= 1=Jj f(x, y)dxdyj _dydx = 1 - In 20.5 17%x+ y 11d设随机变量x与y相互独立，x的分布律为尸X =， = ,(,= -i, o, 1), y的概率密度为fy) =1, fo,0 y 1 其它求 PZL=0求Z的概率密度/(Z).Z解：(1) PZl/2|X=0=PX+yl/2|X=0=P yl/2 = l/2(2)由全概率公式：Fz)=PZz=PX+Yz=PX=lPX+YzX=l+px=oPx+yvz|x=o=Px=-i Px+yvz|x=-i =PX=1 P l+Yz+PX=0P Yz=PX=- P

12、-+Yz|-1 z20,其它= l/3x勺(z-l)+ F/z)+Fy(z+l)从而，/=l/3x/(z-l)+/+/(z+l)二ZYY Y设x与y的联合概率密度为其它.试求z=x y的概率密度./3x, 0x l,0yx解：2寸。，其它F(z) = PZz=PX-YX-Z = JJ f(羽y)dxdy zy x- z如图,当Z1时，入=1当 OVzvl 时：F (z) = J 3xdydx + f1 x 3xdydx =主_ 二z o oz az220, z 03z Z3综上得：F(z) =j-0 z1f3 (1 -z2), 0 z 1z的概率密度为/(z)= 5z0,其它2 设X与丫独立同

13、分布，且都服从标准正态分布N(0, 1),试求Z = JX2+12的分 布.解:不)=备31r2 + v2y) =f (x)f (y) = e 2 X y2兀F (z) = PZ zj = PJx2 + y 2 z当 z0时，/(z) = PX2+丫2( z2= fj f(x, y)dxdy = J_J27tfze-rQ = 1 -e- z2k o ox2+y2z2所以，z的概率密度为f z2f (z)=产工 z2。Z 0,其它3 ,设事件A、E满足ra)=，RA|B) 1,P(B|A)=1,记X 丫分别为一次试验中A,422B发生的次数，即X=A发生，丫=,，B发生，求：二维随机变量(X,

14、Y)的分布0, A不发生0, B不发生律.解：因为 RA)=1/4, P(B|A) = 1，由片上艺_=丑型.= 1/2 得 RAE)=l/8,2RA) 1/4P(AB 4/c- RA|B)=1/2得 P(B)=1/4.RE)(X, Y)取到的所有可能数对为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1),那么PX=0,仁 0= P(AB) = P(MJB) = 1 P( A u B) =1-RA)-RB)+RAB)=5/8,PX=0, Y=1= P(AB) =P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8,PX=1, Y=0= R AB) =P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8

15、5PX=1, 占=RAE)=1/8.4.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为Axy, 0%1,0y1,Axy, 0%1,0y1,y) =J n 0,其它.试求：(1)常数A(2) PX= Y(3) PX Y(4)(X, Y)的分布函数.解：(1)由归一性知： 1=亡 U f(4y)dxdy = GAxydxdy = ； 故 A=4(即即翎，4xydydx毛(4)0, xVO 或 yVO4 g % uvdudv, 0xl,0yl网无加匕3丫)而而=4 4j；guvdudv, 0x 14g。uvdudv. x 1,0 y 1 l,y 10, xVO 或 yVO即 Fx,x2y2, 0xl,0yl

16、g x2, 0 x 1y2, x 1,0 y 1 1, y 15,设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为x2+，0xl,0 y i.解：PX+Y1= U/(x,y)ckdy = J/8 + 型)dy公45 o i-x 372x+y6.将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现正面的次数，以丫表示3次中出现正面 的次数，求X, Y的联合分布律及(X, Y)的边缘分布律.解：X的所有可能取值为0, 1, 2, 丫的所有可能取值为0, 1, 2, 3.PX=Q, 1M)=0.53=0.125; PX=09 Y=1 )=0.53=0.125PX=19 Y= Ci 0.52x 0.5 =0.25 ,PX=

17、1, Y=2= O 0.52x 0.5 =0.2522PX=2, NC =0.53=0.125,PX=2, Y=3 =0.53=0.125X, Y的分布律及边缘分布律可用表格表示如下：0.250.2500.50.125 0.125 0.25P. 0.125 0.375 0.375 0.125 1j解法2：111PX= i9Y=j = PX= iPY=j X= i = C(J(_)2-ix_,2 2227,设二维随机变量(x, r)的概率密度为i = 0,12，= 0,123J i = 0,1e-y, 0x)=0, 其它求边缘概率密度小，小).fe-y, 0 x 0x 0XOCx o,0,-oo

18、 e-ydx,o0,40=芍y,8.设二维随机变量(x, y)的概率密度为,、cx2y/(% y)=I 0，X2 y其它求：(1)确定常数c(2)边缘概率密度&x)，)，).解)叼10, x 0(1)1 = f f /(x, y)dxdy J f ex 2 ydydx =-00 001 工2p1-X44c2cJ x 2 dx = _0221所以c=21/4/ (X)X-00if 21L ,)力=小血0,21X2074)21 (y)=1+/(% y)dx =甘 y eIX2ydxJ0,其它0 y 1=1其它57产20,8 0,mi其它0y1其它19,设平面区域。由曲线y =-及直线y = 0，x

19、=1，x = e2围成，二维随机变量(X，Y) X在区域。上服从均匀分布，求边缘概率密度为（为，y）.解:S =J=nx|e2=2(X,Y）在区域D上服从均匀分布，故，y）的概率密度为(x, y)wD f(x, y) =(21，其它jl；2的，1 %C2 0, 其它62-110.f (x)X-00i 2 0,14公= _(_T),2 y0 y e-2 e-2 l/ 1 其它设二维随机变量（X, Y）的概率密度为3x, 0 x l,0 y x其它试求条件概率密度j(yx).3x, 0 x l,0 y 0)X+8*3xdy= 3x2, oxl于(x,y)dy=X一一000,其它当0xl时,fYXf

20、YX(4)=I2即，f （力幻=仁YX。，f (x)X0 yx其它0 y x0,其它11.设二维随机变量(x, r)的概率密度为/(演 y)=/(演 y)=1,10，0x1y| x其它0cx1,| yx其它求条件概率密度jx )，).1, 解：/a，y)= k10，, (y)=+8/(%, y)dxY-00, (y)=+8/(%, y)dxY-00小 dx = 1 + y, y0 l y/(% y)当庭0 时，fYW (xy)=143/(% y)当庭0 时，fYW (xy)=1430 x 1,-x y x其它/(x, y) | , 0 a: -x y o时，fyvy) = i= L。10,其它

21、 /(x,y), 0 | y | % 1所以，。*及)= 后方1W 。， 其它12.随机变量y的概率密度为/(y)=Y伯丁4,I 0，0 y 1其它0 x0.5./(%，)=/ (%l 加(y)#5*，0j1，c 0.5 = I+cc J+cc/(x5 ydydx - f1 )yx2dydx =上0.5 -OO0.5 X6413.设二维随机变量(x, r)的分布律为试分别求2 = max(X, Y)和W = min( X, Y)的分布律.Pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(X, Y)(0, -1)(0, 0)(0, 1)(1， -1)(1，0)(1，1)

22、(2, -1)(2, 0)(2, 1)max(X, Y)001111222Min(X, Y)-100-101-101解：Z=max(X, Y),仍min(X, Y)的所有可能取值如下表女max(X, Y), 俯min(X, Y)的分布律为Z012Pk0.20.60.2W-101P.0.160.530.3114.设x和y是相互独立的随机变量，且xE(e),丫E(e),如果定义随机变量z如 下：fl, XQ0, XY由独立性得x, y的联合概率密度为f 1 _x+yy) = i一6 0, x0, y0I0 2 o, 其它那么 PZ=PXY=1J f(x, y)dxdy = U J00 0 2x+y

23、|e dydx=、2xy尸女 0 = l_p益 l=0.5故z的分布律为15.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为/(X,y)=小川 + 驴10, 其它求边缘概率密度&x),为(y)；并问X与y是否独立？f 1解：/(2)=/ + 驴”0, 其它/ (%) J+Q,y)dy = J L了的上上五 |x|1x0,其它其它其它显然，于(x,y)w于(玲于(y),所以X与Y不相互独立 X Y16.设随机变量x和丫相互独立，试在以下情况下求z = x + 丫的概率密度,(1) x U(0,l),Y UQ1)；(2)xu(o),y石印1).显然，于(x,y)w于(玲于(y),所以X与Y不相互独立 X

24、Y16.设随机变量x和丫相互独立，试在以下情况下求z = x + 丫的概率密度,(1) x U(0,l),Y UQ1)；(2)xu(o),y石印1).fl, o xlfl, f (y)= Qy 1其它利用卷积公式：/ (0=广07 (%)/(z%)dx求/ 7. X YZ利用卷积公式：/ (0=广07 (%)/(z%)dx求/ 7. X YZ0 x l,x z l + x0 x l,x z l + xf (x)/ (Z x)= x 丫 o,其它zdx= z,0 zl0 zlf(Z)=/ (x)/ (z-x)dx =f(Z)=/ (x)/ (z-x)dx =dx=2-zlz2其它其它/户)1,

25、0Xo0,利用卷积公式：f (z) = l/ (z-y)f (y)dy z -oo xyf (y)=0,yzy + l其它Jze-ydy,1+8/f(Z)= J f (z-y)f (y)dy=J e-ydy, z.8 Xy| 2-10,Jze-ydy,1+8/f(Z)= J f (z-y)f (y)dy=J e-ydy, z.8 Xy| 2-10,0z 1=4 (e-l)e-z,其它 %,0 z1其它17.il设 X N(0,l),y N(l,l),且 X 与 Y独立，求PX+Y解：由定理3.1 (P75)知，X+VN(l, 2),故X + Y-1 1-1PX + Y1)= P0,y。；f(x, y) =0_2x+ y)e-(x+y)dy = J_e-x(x+1)(x0)2显然，fy) = fx(x)fy(y),所以x与Y不相互独立(2).利用公式z(2).利用公式z= J+/(x, z -xdx-00fl 、被积函数 f(x, ZT)=小 x + zr e-(X+Z-X)0,x0,z-x 0其它fl ze-z,0,x 0,z x其它所以/(z) =1+(x，z-xdxJdx, ZoJe-z, z0zL2已r0,z00,z019.设某系统L由两个相互独立的系统 4, 4的使用寿命X与y分别服从参数为a,% %联合而成，各连接方式如下图. P的指数分布，求以下各系统L使用寿命Z的