2022年二次函数新定义问题 .pdf

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1、专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题?类型之一应用型：阅读 理解 建模 应用图 4ZT112017 巴中如图4ZT1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点 A，B，C，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为yx22x 3，则半圆圆心M 点的坐标为 _.2一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”如果二次函数 yx2bx4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点 A和点 B，顶点为 P，那么 ABP的面积是 _32017 余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y 轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y 轴对称

2、二次函数”，如图 4ZT 2 所示，二次函数y1x22x2 与 y2x22x2 是“关于 y 轴对称二次函数”(1)直接写出两条图中“关于y 轴对称二次函数”图象所具有的特点(2)二次函数y2(x2)2 1 的“关于y 轴对称二次函数”表达式为_；二次函数 y a(xh)2 k 的“关于y 轴对称二次函数”表达式为_(3)平面直角坐标系中，记“关于 y 轴对称二次函数”的图象与y 轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且 BC 6，顺次连结点A，B，O，C 得到一个面积为24 的菱形，求“关于y 轴对称二次函数”的表达式图 4ZT2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，

3、共 10 页 -?类型之二探究型：阅读 理解 尝试 探究4若抛物线yax2bxc 过定点 M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式小敏写出了一个答案：y2x23x4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y x22bxc1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式请你解答52017 衢州定义：如图4ZT3，抛物线yax2bxc(a0)与 x 轴交于A，B两点，点 P 在该抛物线上(点 P 与 A，B 两点不重合)，若 ABP 的三边满足AP2BP2AB2，则称点 P 为抛

4、物线y ax2bxc(a0)的勾股点(1)直接写出抛物线y x21 的勾股点的坐标；(2)如图，已知抛物线C：yax2bx(a0)与 x 轴交于 A，B 两点，点 P(1，3)是抛物线 C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点 Q 在抛物线C 上，求满足条件SABQSABP的点 Q(异于点 P)的坐标名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -图 4ZT362017 嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线yaxc 称为抛物线yax2bx c 的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线yx22 的生成线是直线yx2，

5、生成点是(0，2)和(1，1)(1)若抛物线ymx25x 2 的生成线是直线y 3xn，求 m 与 n 的值(2)已知抛物线y x2 3x3 如图 4ZT4 所示，若它的一个生成点是(m，m3)求 m 的值若抛物线yx2px q 是由抛物线yx23x3 平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线yx23x3 的生成点为点A，B，抛物线 yx2pxq 的生成点为点C，D，则 ABCD.求 p 与 q 的值图 4ZT4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -7 2017 随州在平面直角坐标系中，我们定义直线yaxa

6、为抛物线yax2bxc(a，b，c 为常数，a0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线y2 33x24 33x2 3与其“梦想直线”交于A，B 两点(点 A 在点 B的左侧)，与 x 轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为_，点 A 的坐标为_，点 B 的坐标为 _(2)如图 4ZT5，M 为线段 CB 上一动点，将 ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为N，若 AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点 N 的坐标(3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否

7、存在点F，使得以点 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F 的坐标；若不存在，请说明理由图 4ZT5?类型之三概括型：阅读 理解 概括 拓展82017 郴州设 a，b 是任意两个实数，用 max a，b表示 a，b 两数中较大者，例如：max 1，1 1，max1，2 2，max4，3 4，参照上面的材料，解答下列问题：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -(1)max5，2_，max0，3 _；(2)若 max3 x1，x1 x1，求 x 的取值范围；(3)求函数 yx22x 4 与 y x2 的图象的交点坐标，函数 yx2

8、2x4 的图象如图 4ZT6 所示，请你在图中作出函数y x2 的图象，并根据图象直接写出max x2，x22x4 的最小值图 4ZT6详解详析1(1，0)解析 解 x22x30 得 x1 1，x23，所以抛物线与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，所以 AB4，所以点 M 的坐标为(1，0)28解析 二次函数yx2bx4 是“偶函数”，b2 10，b0，函数表达式为y x2 4，令 y0，则 x24 0，解得 x1 2，x22，A(2，0)，B(2，0)，AB2(2)4.令 x0，则 y 4，点 P 的坐标为(0，4)，ABP 的面积12 448.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心

9、整理-第 5 页，共 10 页 -3解：(1)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称(答案不唯一)(2)y 2(x2)21ya(xh)2k(3)(答案不唯一)如图，由 BC6，顺次连结点A，B，O，C 得到一个面积为24 的菱形，得 OA8，点 A 的坐标为(0，8)，点 B 的坐标为(3，4)设左侧抛物线的函数表达式为ya(x3)24，将点 A 的坐标代入，得9a4 8，解得 a49，故 y49(x3)24，其“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y49(x3)24.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于 y 轴对称二次函数”的表达式为y49(x3)24 和 y49(x3)24.4解

10、：(1)答案不唯一，合理即可(2)因为抛物线的函数表达式可化为y(x22bxb2)b2c1(xb)2b2c1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b，b2c1)因为抛物线过定点M(1，1)，将其代入函数表达式可得12b c11，解得 c12b，则顶点纵坐标b2c1b212b1(b1)21，所以当 b1 时，b2 c1 的值最小为1，此时 c12b121 1.故抛物线的函数表达式为y x22x.5解：(1)抛物线 y x21 的勾股点的坐标为(0，1)(2)抛物线 yax2bx 过原点，即点 A(0，0)如图，过点 P 作 PGx 轴于点 G.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，

11、共 10 页 -点 P 的坐标为(1，3)，AG1，PG3，PAAG2PG212（3）22，P AG60，AB2P A4，点 B 的坐标为(4，0)设抛物线 C 的函数表达式为yax(x4)，将 P(1，3)代入得 a33，y33x(x 4)33x24 33x.(3)当点 Q 在 x 轴上方时，由 SABQSABP知点 Q 的纵坐标为3，则有33x24 33x3，解得 x13，x21，点 Q 的坐标为(3，3)；当点 Q 在 x 轴下方时，由 SABQ SABP知点 Q 的纵坐标为3，则有33x24 33x3，解得 x127，x227，点 Q 的坐标为(27，3)或(27，3)综上，满足条件的

12、点Q 有 3 个，其坐标为(3，3)或(27，3)或(27，3)6解：(1)抛物线ymx25x2 的生成线是直线y 3xn，m 3，n 2，n2.(2)抛物线y x2 3x3 的一个生成点是(m，m3)，m3m23m3，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -整理，得 m24m0，解得 m0 或 4.抛物线yx2px q 是由抛物线yx23x3 平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，q3.抛物线 yx23x3 与它生成线yx3 的生成点为(0，3)，(4，7)，AB2(40)2(73)232.抛物线 yx2px3 与它生成线yx3 的生成点为(0

13、，3)，(1p，4p)，CD2(1p0)2(4p3)22(1p)2.ABCD，2(1p)232，p5 或 3.抛物线 yx2px3 与抛物线yx23x3 不重合，p 3 不合题意，应舍去，p 5.7解：(1)y2 33x2 33(2，2 3)(1，0)(2)抛物线与x 轴负半轴交于点C，C(3，0)过点 A 作 AGy 轴，垂足为 G.当点 N 在 y 轴上时，AMN 为“梦想三角形”设 N(0，n)，A(2，2 3)，C(3，0)，AC13，ANAC13.在 RtAGN 中，AG2GN2AN2，AG2，GN|n2 3|，4(n2 3)213，解得 n2 3 3 或 n 2 33.设 M(m，

14、0)，当 n2 33 时，在 RtMNO 中，(2 33)2m2(m3)2，解得 m22 3；当 n2 33 时，在 RtMNO 中，(2 33)2m2(m3)2，解得 m22 3.3 m1，m22 3不合题意，舍去名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -m22 3，此时 n2 33，N(0，2 33)；当点 M 在 y 轴上时，AMN 为“梦想三角形”，此时点 M 与点 O 重合，在 RtAGM 中，AG2，GM2 3，AGGM33，AMG30，AMC AMN NMB60.过点 N 作 NPx 轴于点 P，在 RtNMP 中，MNCM3，NP3 32，OP32，N32，3 32.综上所述，点 N 的坐标为(0，2 33)或32，3 32.(3)E1 1，4 33，F10，2 33；E21，4 33，F24，10 33.8解：(1)53(2)由题意可得3x1 x1，解得 x0.(3)由题意得y x 2，yx22x4，解得x1 2，y1 4，x23，y2 1，交点坐标为(2，4)和(3，1)所作的函数y x2 的图象如图所示名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -由图象可知：当x 3 时，max x2，x22x4有最小值 1.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -