2022年二次函数综合问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载二次函数综合（动点与三角形）问题一、抛物线上的点能否构成等腰三角形1如图，已知直线y=3x3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与A 点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点 M 的坐标二、抛物线上的点能否构成直角三角形2如图，直线 y=0.5x+2与 x 轴交于点 A，与抛物线 y=ax2+bx+c交于 y 轴上的一点 B，抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴只有唯

2、一的交点C，且 OC=2（1）求抛物线 y=ax2+bx+c的解析式；（2）设直线 y=0.5x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c的另一交点为 D，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且PBD 为直角三角形，求点P 的坐标三、抛物线上的点能否构成相似三角形3如图所示，直线l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0） （1）求直线 BD 和抛物线的解析式（2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角形与 MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标（3）在

3、抛物线上是否存在点P，使 SPBD=6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载二次函数综合（动点与三角形）问题一、抛物线上的点能否构成等腰三角形1解： （1）直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，可得 A（1，0） ，B（0，3） ，把 A、B 两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：抛物线解析式为： y=x2+2x3（2）令 y=0 得：0=x2+2x3，解得： x1=1，x2=3，则 C 点坐标为：（3，0） ， AC=4，故可得

4、 SABC= AC OB= 4 3=6（3）抛物线的对称轴为： x=1，假设存在 M （1，m）满足题意：讨论： 当 MA=AB 时，解得：，M1（ 1，） ，M2（1，） ； 当 MB=BA 时，解得 M3=0，M4=6，M3（ 1，0） ，M4（ 1，6）， 当 MB=MA 时，解得 m=1，M5（ 1， 1） ，答：共存在五个点M1（1，） ，M2（1，） ，M3（1，0） ，M4（ 1，6） ，M5（1， 1）使 ABM 为等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载二、抛物线上的点能否构成直

5、角三角形2解： （1）y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，0=0.5x+2，x=4，与 y 轴交于点 B，x=0，y=2 B 点坐标为：（0，2） ，A（4，0） ，B（0，2） ，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴只有唯一的交点C，且 OC=2 可设二次函数 y=a（x2）2，把 B（0，2）代入得： a=0.5 二次函数的解析式： y=0.5x22x+2；（2） （）当 B 为直角顶点时，过B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1 点由 RtAOBRtBOP1=， =，得： OP1=1，P1（1，0） ，（）作 P2DBD，连接 BP2，将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2

6、2x+2 联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：（5，4.5） ，则 AD=，当 D 为直角顶点时DAP2=BAO，BOA=ADP2，ABOAP2D，=，=，解得： AP2=11.25，则 OP2=11.254=7.25，故 P2点坐标为（ 7.25，0） ；（）当 P 为直角顶点时，过点D 作 DEx 轴于点 E，设 P3（a，0）则由 RtOBP3RtEP3D 得：， ，方程无解，点 P3 不存在，点 P 的坐标为： P1（1，0）和 P2（7.25，0） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载三、抛

7、物线上的点能否构成相似三角形3解： （1）直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，A（1，0） ，B（0，3） ；把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，C（1，0） 设直线 BD 的解析式为： y=kx+b，点 B（0，3） ，D（3，0）在直线 BD 上，解得 k=1，b=3，直线 BD 的解析式为： y=x+3设抛物线的解析式为： y=a（x1） （x3） ，点 B（0，3）在抛物线上， 3=a （1） （3） ，解得： a=1，抛物线的解析式为： y=（x1） （x3）=x24x+3（2）抛物线的解析式为： y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称

8、轴为直线x=2，顶点坐标为（ 2，1） 直线 BD：y=x+3 与抛物线的对称轴交于点M，令 x=2，得 y=1，M（2，1） 设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD=MN=1 ，MCD 为等腰直角三角形以点 N、B、D 为顶点的三角形与 MCD 相似，BND 为等腰直角三角形如答图 1 所示：（I）若 BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，N1（0，0） ；（II）若 BD 为直角边， B 为直角顶点，则点N 在 x 轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（3，0） ；（III ）若 BD 为直角边， D 为直角顶点，则点N 在 y 轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0

9、，3） 满足条件的点 N 坐标为： （0，0） ， （3，0）或（ 0，3） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载（3）假设存在点 P，使 SPBD=6，设点 P坐标为（ m，n） （I）当点 P 位于直线 BD 上方时，如图 2：过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=n，DE=m3SPBD=S 梯形 PEOBSBODSPDE= （3+n）?m 3 3 （m3）?n=6，化简得： m+n=7 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得： m23m4=0，解得： m1=4，m2=1，

10、n1=3，n2=8，P1（4，3） ，P2（1，8） ；（II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如图 3：过点 P 作 PEy 轴于点 E，则 PE=m，OE=n，BE=3nSPBD=S 梯形 PEOD+SBODSPBE= （3+m）?（n）+ 3 3 （3n）?m=6，化简得： m+n=1 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入 式整理得： m23m+4=0，=70，此方程无解故此时点P 不存在综上所述，在抛物线上存在点P，使 SPBD=6，点 P的坐标为（ 4，3）或（ 1，8） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页