2022年二次函数综合问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数综合（动点与三角形）问题一、抛物线上的点能否构成等腰三角形1如图,已知直线 y=3x 3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点,抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A、B 两点,点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与A 点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求 ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上,是否存在点 如存在,求出点 M 的坐标二、抛物线上的点能否构成直角三角形M ,使 ABM 为等腰三角形？如不存在,请说明理由；2如图,直线 y=0.5x+2 与 x 轴交于点 A,与抛物线 y=ax2+bx+c

2、 交于 y 轴上的一点 B,抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴只有唯独的交点 C,且 OC=2（1）求抛物线 y=ax2+bx+c的解析式；（2）设直线 y=0.5x+2 与抛物线 y=ax2+bx+c 的另一交点为 D,已知 P 为 x 轴上的一个动点,且 PBD 为直角三角形,求点 P 的坐标三、抛物线上的点能否构成相像三角形3如下列图,直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B把 AOB 沿 y 轴翻折,点 A 落到点 C,抛物线过点 B、C 和 D（3,0）（1）求直线 BD 和抛物线的解析式（2）如 BD 与抛物线的对称轴交于点M ,点 N 在坐标轴上,以

3、点 N、B、D 为顶点的三角形与 MCD 相像,求全部满意条件的点 N 的坐标（3）在抛物线上是否存在点 P,使 S PBD=6？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由名师归纳总结 第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数综合（动点与三角形）问题 一、抛物线上的点能否构成等腰三角形 1解：（1）直线 y=3x 3 分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点,可得 A（1,0）,B（0, 3）,把 A、B 两点的坐标分别代入y=x2+bx+c 得：,解得：抛物线解析式为： y=x2+2x 3（2）令 y=0

4、 得： 0=x2+2x 3,解得： x1=1,x2= 3,就 C 点坐标为：（ 3,0）, AC=4,故可得 S ABC= ACOB= 43=6（3）抛物线的对称轴为： x= 1,假设存在 M （ 1,m）满意题意：争论： 当 MA=AB 时,解得：,M1 （ 1,）,M2 （ 1,）； 当 MB=BA 时,解得 M3=0,M4= 6,M3 （ 1, 0）,M4（ 1, 6） , 当 MB=MA 时,解得 m= 1,M5 （ 1, 1）,答：共存在五个点M1 （ 1,）,M2 （ 1,）,M3 （ 1,0）,M4 （ 1, 6）,M5 （ 1, 1）使 ABM 为等腰三角形名师归纳总结 - -

5、 - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、抛物线上的点能否构成直角三角形2解：（1） y=0.5x+2 交 x 轴于点 A,0=0.5x+2, x= 4,与 y 轴交于点 B, x=0, y=2 B 点坐标为：（0,2）,A（ 4, 0）,B（0,2）,二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴只有唯独的交点 C,且 OC=2 可设二次函数 y=a（x 2）2,把 B（ 0,2）代入得： a=0.5 二次函数的解析式： y=0.5x2 2x+2；（2）（）当 B 为直角顶点时,过B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1

6、点由 Rt AOBRt BOP1=, =,得： OP1=1,P1（1,0）,（）作 P2DBD,连接 BP2,将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2 2x+2 联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：（5,4.5）,就 AD=,当 D 为直角顶点时DAP2= BAO,BOA=ADP2, ABO AP2D,=,=,解得： AP2=11.25,就 OP2=11.25 4=7.25,故 P2 点坐标为（ 7.25,0）；（）当 P 为直角顶点时,过点D 作 DEx 轴于点 E,设 P3（a,0）就由 Rt OBP3Rt EP3D 得：, ,方程无解,点 P3 不存在,点 P 的坐标为： P1（1,0

7、）和 P2（ 7.25,0）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、抛物线上的点能否构成相像三角形 3解：（1）直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,A（ 1,0）,B（0,3）；把 AOB 沿 y 轴翻折,点 A 落到点 C,C（1,0）设直线 BD 的解析式为： y=kx+b,点 B（0,3）,D（3,0）在直线 BD 上,解得 k= 1,b=3,直线 BD 的解析式为： y= x+3设抛物线的解析式为： y=a（x 1）（x 3）,点 B（0,3）在抛物线上, 3=

8、a（ 1）（ 3）,解得： a=1,抛物线的解析式为： y=（x 1）（x 3）=x2 4x+3（2）抛物线的解析式为： y=x2 4x+3=（x 2）2 1,抛物线的对称轴为直线 x=2,顶点坐标为（ 2, 1）直线 BD：y= x+3 与抛物线的对称轴交于点M（2,1）M,令 x=2,得 y=1,设对称轴与 x 轴交点为点 F,就 CF=FD=MN=1 , MCD 为等腰直角三角形以点 N、B、D 为顶点的三角形与 MCD 相像, BND 为等腰直角三角形如答图 1 所示：O,（I）如 BD 为斜边,就易知此时直角顶点为原点N1（0,0）；（II ）如 BD 为直角边, B 为直角顶点,就

9、点OB=OD=ON2=3,N2（ 3,0）；（III ）如 BD 为直角边, D 为直角顶点,就点OB=OD=ON3=3,N3（0, 3）N 在 x 轴负半轴上,N 在 y 轴负半轴上,满意条件的点 N 坐标为：（0,0）,（ 3,0）或（ 0, 3）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）假设存在点 P,使 S PBD=6,设点 P 坐标为（ m,n）（I）当点 P 位于直线 BD 上方时,如图 2：过点 P 作 PEx 轴于点 E,就 PE=n,DE=m 3S PBD=S 梯形 PEOB S B

10、OD S PDE= （3+n）.m33（m 3）.n=6,化简得： m+n=7 , P（m,n）在抛物线上,n=m2 4m+3,代入 式整理得： m2 3m 4=0,解得： m1=4,m2= 1,n1=3,n2=8,P1（4,3）,P2（ 1,8）；（II ）当点 P 位于直线 BD 下方时,如图 3：过点 P 作 PEy 轴于点 E,就 PE=m,OE= n,BE=3 nS PBD=S 梯形 PEOD+S BOD S PBE= （3+m）.（ n）+ 33（3 n）.m=6,化简得： m+n= 1 ,P（m,n）在抛物线上,n=m2 4m+3,代入 式整理得： m2 3m+4=0, = 70,此方程无解故此时点P 不存在综上所述,在抛物线上存在点P,使 S PBD=6,点 P 的坐标为（ 4,3）或（ 1,8）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页