2022年高考文科导数考点汇总 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、 差、基本导数公式， 利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。导数概念与运算知识清单1导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量x 在 x0处有增量x， 那么函数y 相应地有增量y=f （x0+x） f （x0） ，比值xy叫做函数 y=f （x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做f（ x）在点 x0处的导数，记作f （x0）或 y |0 xx。即

2、 f（x0） =0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点 x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点 x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f（x0+x） f（x0） ；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点

3、p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率是f （x0） 。相应地，切线方程为 y y0=f/（x0） （xx0） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载3几种常见函数的导数: 0;C1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差 )，

4、即：(.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若 C 为常数 ,则0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vuvvu（v0） 。形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|X= y|Uu|X导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)

5、(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f)(x在a，b上必有最大值与最小值。求函数?)(x在(a， b)内的极值；求函数?)(x在区间端点的值?(a)、?(b)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载将函数?)(x的各极值与? (a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

6、二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。132( )32f xxx在区间1,1上的最大值是 2 2已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c 6 ；3函数331xxy有极小值1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线34yxx在点1, 3处的切线方程是2yx2若曲线xxxf4)(在 P点处的切线平行于直线03yx，则 P点的坐标为（1，0）3若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为430 xy4求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点 P(3,5) 的切线；解： （1）123|yk2

7、31) 1 , 1(1x/2/23上，在曲线点xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，（2） 显然点 P （3， 5） 不在曲线上， 所以可设切点为),(00yxA， 则200 xy又函数的导数为xy2/，所 以 过),(00yxA点 的切 线的 斜率为0/2|0 xykxx， 又切 线过),(00yxA、 P(3,5)点 ， 所以 有352000 xyx，由联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为（1， 1）时，切线斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025) 1(21xyxyxyxy

8、或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数)1(, 1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1 （）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（）在（）的条件下，求函数)(xfy在 3，1 上的最大值；（）若函数)(xfy在区间 2，1 上单调递增，求实数b 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载解： （1）由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过)1(, 1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23

9、()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即而过.13)1 (, 1)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即124, 0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在由得 a=2 ，b=4，c=5 .542)(23xxxxf（2）).2)(23(443)(2xxxxxf当;0)(,322; 0)(,23xfxxfx时当时13)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当又)(,4)1 (xff在 3，1 上最大值是13。（3）y=f(x)在 2，1 上单调递增，又,23)(2baxxxf由知 2a+b=0。依题意)(xf在 2，1 上恒有)(xf0，即.032bbx

10、x当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；当.60, 01212)(,1622minbbbxfb则时综上所述，参数b 的取值范围是), 02已知三次函数32( )f xxaxbxc在1x和1x时取极值，且( 2)4f(1) 求函数( )yf x的表达式；(2) 求函数( )yf x的单调区间和极值；解： (1) 2( )32fxxaxb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载由题意得，1,1是2320 xaxb的两个根，解得，0,3ab再

11、由( 2)4f可得2c3( )32f xxx(2) 2( )333(1)(1)fxxxx，当1x时，( )0fx；当1x时，( )0fx；当11x时，( )0fx；当1x时，( )0fx；当1x时，( )0fx函数( )f x在区间(, 1上是增函数；在区间 1, 上是减函数；在区间1,)上是增函数函数( )f x的极大值是( 1)0f，极小值是(1)4f3设函数( )()()f xx xaxb（1）若( )f x的图象与直线580 xy相切，切点横坐标为，且( )f x在1x处取极值，求实数,a b的值；（2）当 b=1 时，试证明：不论a 取何实数，函数( )f x总有两个不同的极值点解：

12、 （1）2( )32().fxxab xab由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）当 b=1 时，( )0fx令得方程232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx不妨设21xx，由)(3)(21xxxxxf可判断)(xf的符号如下：当时，1xx)(xf；当时，21xxx)(xf；当时，2xx)(xf因此1x是极大值点，2x是极小值点 ，当 b=1 时，不论a 取何实数，函数( )f x总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是f（x）的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）精选学习

13、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载（A）（ B ）（C ）（D）2函数的图像为14313xxy( A ) 3方程内根的个数为在)2 ,0(076223xx ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10 ,3231)(223abxaaxxxf（ 1）求函数)(xf的单调区间、极值. （2）若当2, 1aax时，恒有axf|)(|，试确定 a 的取值范围 . 解： （1）22( )43fxxaxa=(3 )()xaxa，令( )0fx得12,3xa

14、 xa列表如下：x （- ， a） a （ a，3a）3a （3a，+）( )fx- 0 + 0 - ( )f x极小极大( )f x在（ a，3a）上单调递增，在（- ， a）和（ 3a，+）上单调递减xa时，34( )3fxba极小，3xa时，( )fxb极小（2）22( )43fxxaxa01a，对称轴21xaa，( )fx在 a+1 ，a+2 上单调递减22(1)4 (1)321Maxfaa aaa，22min(2)4 (2)344faa aaa依题|( ) |fxa|Maxfa，min|fa即|21|,|44 |aaaax y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o

15、4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载解得415a，又01aa 的取值范围是4,1)5题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向量a=(3, 1). b=(21,23). （1）若存在不同时为零的实数k 和 t ，使x=a+(t2 3)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据 (1) 的结论，讨论关于t 的方程 f(t)k=0 的解

16、的情况 . 解： (1) xy，x y=0 即a+(t2-3) b (-ka+tb)=0. 整理后得 -k2a+t-k(t2-3) a b+ (t2-3)2b=0 a b=0，2a=4，2b=1，上式化为 -4k+t(t2-3)=0，即 k=41t(t2-3) (2) 讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数. 于是 f (t)= 43(t2-1)= 43(t+1)(t-1). 令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时， f (t) 、f(t)的变化情况如下表：t (- ,-1) -1 (-1,1)

17、 1 (1,+ )f (t) + 0 - 0 + F(t) 极大值极小值当 t= 1 时， f(t)有极大值， f(t)极大值 =21. 当 t=1 时， f(t)有极小值， f(t)极小值 =21函数 f(t)=41t(t2-3)的图象如图1321 所示，可观察出：(1) 当 k21或 k21时, 方程 f(t)k=0 有且只有一解；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载(2) 当 k=21或 k=21时, 方程 f(t)k=0 有两解；(3) 当21k21时, 方程 f(t)k=0 有三解 . 题型

18、七：导数与不等式的综合1设axxxfa3)(,0 函数在), 1上是单调函数. 求实数a的取值范围；解： （1）,3)(2axxfy若)(xf在, 1上是单调递减函数，则须,3,02xay即这样的实数a 不存在 . 故)(xf在, 1上不可能是单调递减函数. 若)(xf在, 1上是单调递增函数，则a23x，由于33, 12xx故. 从而 0a 3. 2已知a为实数，函数23( )()()2f xxxa（1）若函数( )f x的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若( 1)0f， （）求函数( )f x的单调区间（）证明对任意的12( 1,0)xx、，不等式125|()() |16f

19、xf x恒成立解：3233( )22f xxaxxa，23( )322fxxax函数( )f x的图象有与x轴平行的切线，( )0fx有实数解2344302a，292a，所以a的取值范围是332222（，）( 1)0f，33202a，94a，2931( )33()(1)222fxxxxx由( )0,1fxx或12x；由1( )0, 12fxx( )f x的单调递增区间是1(, 1),(,)2；单调减区间为1( 1,)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载易知( )f x的最大值为25( 1)8f，(

20、)f x的极小值为149()216f，又27(0)8f( )f x在 1 0，上的最大值278M，最小值4916m对任意12,( 1,0)xx，恒有1227495|()() |81616f xf xMm题型八：导数在实际中的应用1统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米 /小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080yxxx已知甲、乙两地相距100 千米。（I ）当汽车以40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解： （I ）当40 x

21、时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540小时，要耗没313(40408)2.517.512800080（升）。（ II ）当速度为x千米 / 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为( )h x升，依题意得3213100180015( )(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx332280080( )(0120).640640 xxh xxxx令( )0,h x得80.x当(0,80)x时，( )0, ( )h xh x是减函数；当(80,120)x时，( )0, ( )h xh x是增函数。当80 x时，( )h x取到极小值(80)11.25.h

22、因为( )h x在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载答：当汽车以40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升。当汽车以80千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升。题型九：导数与向量的结合1设平面向量3113(),().2222ab，若存在不同时为零的两个实数s、 t及实数k，使，且yxbtasybktax,)(2（1）求函数关系式( )Sf t；（2）若函数( )Sf t在，1上是单调函数，求k 的

23、取值范围。解： （1）).23,21(),21,23(ba10aba b，2222223,0000 xy xyatk bsatbsat tk btstsk a bstktsfttkt又，得（）（），即（） - （）。（），故（ ）。（2）上是单调函数，）在（且）（132tfkttf则在, 1上有00)(）（或tftf由3)3(3030)(min222ktktkkttf；由223030)(tkkttf。因为在 t , 1上23t是增函数，所以不存在k，使23tk在, 1上恒成立。故k 的取值范围是3k。一、选择题1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t2 其中s的单位是米，t的单位是秒， 那么物

24、体在3秒末的瞬时速度是（）A 7米/ 秒 B 6米/ 秒 C 5米/ 秒 D 8米/ 秒2. 已知函数f(x)=ax2c, 且(1)f=2, 则a的值为（）A.1 B.2 C.1 D. 0 3 ( )f x与( )g x是定义在R上的两个可导函数，若( )f x,( )g x满足( )( )fxg x, 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载( )f x与( )g x满足（）A ( )f x2( )g x B( )f x( )g x为常数函数C( )fx( )0g x D ( )fx( )g x为常

25、数函数4. 函数3yxx=+的递增区间是（）A ) 1 ,( B )1 , 1( C ),( D ), 1 (5. 若函数 f(x)在区间（ a ， b）内函数的导数为正，且f(b) 0，则函数f(x)在（ a， b ）内有（）A. f(x) 0 B.f(x) 0 C.f(x) = 0 D.无法确定6.0()fx=0是可导函数y=f(x) 在点x=x0处有极值的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D非充分非必要条件7曲线3( )2f xxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（）A (1,0) B (2,8)C (1,0)和( 1, 4) D (2,

26、8)和( 1, 4)8函数313yxx有（）A. 极小值 -1 ，极大值1 B. 极小值 -2 ，极大值3 C. 极小值 -1 ，极大值3 D. 极小值 -2 ，极大值2 9 对于R上可导的任意函数( )f x，若满足(1)( )0 xfx，则必有（）A (0)(2)2 (1)fff B (0)(2)2(1)fffC (0)(2)2 (1)fff D (0)(2)2 (1)fff10函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题11函数32yxxx的单调区间为

27、 _. 12已知函数3( )fxxax在 R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 13. 曲线xxy43在点(1, 3)处的切线倾斜角为_. 14. 对正整数n，设曲线)1(xxyn在2x处的切线与y轴交点的纵坐标为na ，则数列1nan的前n项和的公式是. 三、解答题：abxy)(xfyO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载 15 求垂直于直线2610 xy并且与曲线3235yxx相切的直线方程16如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小

28、盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？17已知cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，且在1x处的切线方程是2yx，请解答下列问题：（1）求)(xfy的解析式；（2）求)(xfy的单调递增区间。18. 已知函数32( )f xxaxbxc在23x与1x时都取得极值（1）求,a b的值与函数( )f x的单调区间（2）若对 1,2x，不等式2( )f xc恒成立，求c的取值范围19. 已知1x是函数32( )3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,0m nR m，（1）求m与n的关系式；（2）求( )f x的单调区间；（3）当1 , 1x时，函数( )yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求 m的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页