2022年高中精品-数学：求递推数列通项公式的十种策略例析 .pdf

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1、3.3 递推数列一、基本知识简述1有关概念：我们在研究数列an时，如果任一项an与它的前一项1na（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。主要有以下几种方法：（1）构造法： 通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项 . （2）迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项. （3）代换法：包括代数代换、三角代换等（4）待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。3. 思想策略：构造新数列的思想。4

2、. 常见类型：类型：为常数）aaanpnqanpann()0)()()(11（一阶递归）类型 II: 分式线性递推数列:)0(1ABAaDCaannn二、例题：例 1：231nnaa，21a，求通项na分析：构造辅助数列，) 1( 311nnaa，则13nna求通项过程中， 多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式na。一般形式 已知qpaann1，aa1，其中 p,q,a 为常数，求通项na同类变式 已知数列na满足) 12(21naann，且21a，求通项na分析： （待定系数） ，构造数列bknan使其为等比数列，即)(2)1(1bknabnka

3、nn，解得1,2 bk求得12251nann归纳 ：类型：为常数）aaanpnqanpann()0)()()(11（一阶递归）其特例为：（ 1）1)(np时,)(1nqaann精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页利用累加法，将) 1(1nqaann，1na2na+)2(nq,2a1a+)1 (q ,各式相加，得na1a+11)(nkkq(n2) (2)0)(nq时,nnanpa)(1; 利用累乘法 ,111)(nknkpaa（ 3）qnqpnp)(,)(时,)0(1pqpaann解题方法：利用待定系数法构造类似于“等

4、比数列”的新数列法1： ( 常数变易法) 设)(1xapxann则) 1(1pxpaann，从而1pqx亦即数列1pqan是以1pqan为首项，公比为p 的等比数列，从而可得：11)1(1nnppqapqa，1)1(1pqppqaann1)1(1pqpqpan法 2：)(211nnnnaapaa利用1nnaa成等比数列求出1nnaa，再利用迭代或迭另法求出na法 3：由qpaann1，则可得21221221111. . . . . . . .pqpapapqpapapqpapannnnnnnnnn,从而又可得nnnpqpqpqpapa.321即).11(121nnnpqpppqpapa1) 1

5、(1pqpqpan（4）qnqpnp)(,)(n时,)0(1pqpaannn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页两边同除以np例 2：数列na的前 n 项和为nS，且11a，nS*)(2Nnann，求数列na的通项公式 . 例 3：数列na中，且311a，1221nnnaaa，求数列na的通项公式 . 提示 112111nnaa归纳 ：类型 II: 分式线性递推数列:)0(1ABAaDCaannn练习： 1.已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，设数列),2, 1(21naabn

6、nn，求证：数列nb是等比数列；设数列),2, 1( ,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；求数列na的通项公式及前n项和。分析 ：由于 bn和cn中的项都和 an中的项有关， an中又有 S1n=4an+2， 可由 S2n-S1n作切入点探索解题的途径解 ： (1)由S1n=4a2n， S2n=4a1n+2， 两 式 相 减 ， 得 S2n-S1n=4(a1n-an)， 即a2n=4a1n-4an(根据 bn的构造，如何把该式表示成b1n与 bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a2n-2a1n=2(a1n-2an)，又 bn=a1n-2an，所以 b1n=2bn已知

7、S2=4a1+2， a1=1，a1+a2=4a1+2，解得 a2=5，b1=a2-2a1=3 由 和 得，数列 bn是首项为3，公比为2 的等比数列，故bn=321n当 n2 时， Sn=4a1n+2=21n(3n-4)+2；当 n=1 时， S1=a1=1 也适合上式综上可知，所求的求和公式为Sn=21n(3n-4)+2说明： 1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件241nnaS得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

8、归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页面求解的过程中适时应用练习： 2.设二次方程nax2-1.nax+1=0(nN)有两根 和，且满足 6-2+6 =3(1)试用na表示 a1n；例 9数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122*Nn求数列na的通项公式；设|21nnaaaS，求nS；设nb=)12(1nan)(),(*21*NnbbbTNnnn，是否存在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解： （1）由题意，nnnnaaaa112，na为等差数列，设公差为d，由题意得2382dd，nnan210) 1(

9、28. （ 2）若50210nn则，|,521nnaaaSn时21281029,2nnaaannn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页6n时，nnaaaaaaS765214092)(2555nnSSSSSnn故nS409922nnnn65nn（3）)111(21)1(21)12(1nnnnanbnnnT)111()111()4131()3121()211(21nnnn.) 1(2 nn若32mTn对任意*Nn成立，即161mnn对任意*Nn成立，)(1*Nnnn的最小值是21，,2116mm的最大整数值是7。即存在最

10、大整数,7m使对任意*Nn，均有.32mTn说明： 本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。 本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息， 构建新的数列， 建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化， 这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化

11、归的思想。例 1、数列na中，11a，nnnaaa241411611。求na 。（1981 年第 22 届 IMO 预选题）分析本题的难点是已知递推关系式中的na241较难处理，可构建新数列nb，令nnab241，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。解：构建新数列nb，使0241nnab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页则51b，nnab2412，即2412nnbannnbbb24141161241221化简得22132nnbb321nnbb，即32131nnbb数列3nb是以 2 为首项，21为公比的等比数列。

12、nnnb2122123即322 nnb121122231232241nnnnnba2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列， 然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。例 2、设10a，12111nnnaaaNn，求证：22nna。（1990 年匈牙利数学奥林匹克试题）分析利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有211na这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列n，使nntga，化简递推关系式。证明：易知0na，构建新数列n，使nntga，2,0n则2sincos111111112nnnnnntgtgtga21nntgt

13、g，21nn又10a，8121tga，从而81精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页因此，新数列n是以8为首项，21为公比的等比数列。212821nnn考虑到当)2,0(x时，有xtgx。所以，2222nnntga注：对型如21na，na1，111nnnnaaaa都可采用三角代换。3 证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列， 找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化， 结合数论知识解决。例 3、设数列na满足11a，nnnaaa1211)(Nn求证：Nan2221,nNn

14、。（ 中学数学教学参考 2001 年第 8 期第 53 页，高中数学竞赛模拟试题）分析直接令222nnab，转化为证明Nbn) 1,(nNn证明：构建新数列nb，令0222nnab则2422nnba，242121nnba代入221121nnnaaa整理得222124nnnbbb从而2121224nnnbbb)3(n于是2212121221122424nnnnnnbbbbbb)3(n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页12211nnnbbb)3(n由已知，42b，243b， 由上式可知，Nb4，Nb5，依次类推，Nbn

15、)1(n，即Nan222。例 4、设 r 为正整数，定义数列na如下：11a，2)1(221nnnaarnn)(Nn求证：Nan。（1992 年中国台北数学奥林匹克试题）分析把条件变形为rnnnnaan21122比较1na与na 前的系数及1na与na 的足码，考虑到另一项为rn212，等式两边同乘以1n，容易想到构新数列nb，使nnannb1。证明：由已知得rnnnnaan2112212112121rnnnannann构建新数列nb，nnannb1则21b，12112rnnnbb1111nkkknbbbb1212123212rrrnNbn11121212)(2nkrrrnknknb11221

16、2212212211212122nkrrrrrrrrrknCknCknCnnnbn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页又nkrrnknkrrnknkknkb112121112121)1(nkrrrrrrrrknCknCknCn1221221221221121211111n| nb1nn| nb ，从而Nan。4 解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。例 5、设数列na满足11a，32a，对一切Nn，有nnnanana2312，求所有被 11 整除的na 的一切 n 值。

17、（1990 年巴尔干地区数学奥林匹克试题）分析变形递推关系式为nnnnaanaa1122，就容易想到怎样构建新数列了。解：由已知nnnnaanaa1122构建新数列,2nbnnnnaab111n则22b，nnnnbnaanb11112n!311221nbnnbnnnbbnnn2nnknkknknnnkbaaaa12211!1从而3114a，4203118a，3670831110a，当11n时，由于101!kk被11 整除，因而nkknkka11101!也被 11整除。所以，所求 n 值为4n，8，及10n的一切自然数。5 证明是完全平方数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

18、纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项na ，问题也就迎刃而解了。例 6、设数列na和nb满足10a，00b，且47836711nnnnnnbabbaa, 2, 1 ,0n求证：na 是完全平方数。（2000 年全国高中联赛加试题）分析先用代入法消去nb 和1nb，得061412nnnaaa，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令aaCnn，易求得21a。证明：由式得nb ，1nb代入得061412nnnaaa化为02121142112nnnaaa构建新数列nc，21nnac，且210c，272136

19、7210011baac01412nnnccc由特征方程01142得两根3471，3472所以nnnmmc2211当0n，1 时，有21347347212121mmmm解得：4121mm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页则nnnc3474134741nn2232413241则232324121nnnnca因为nn3232为正偶数，所以，na 是完全平方数。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形， 是成功构建新数列的关键。 构建新数列的目的是为了化繁为简、 化未知为已知、 化不熟悉为熟悉， 这也是解答数学问题的共性之所在。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页