2022年数学求递推数列通项公式的十种策略例析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也特别敏捷,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采纳不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容；笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略,它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、 特点根的方法；认真辨析递推关系式的特点,通项公式的关键；一、利用公式法求通项公式精确挑选恰当的方法,是快速求出

2、例 1 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 2 n,a1 2,求数列 a n 的通项公式；解：a n 1 2 a n 3 2 n 两边除以 2 n 1,得 a2 nn 11 a2 nn 32,就 a2 nn 11 a2 nn 32,故数列 a2 nn 是以 a2 11 22 1 为首,以 3 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得2a2 nn 1 n 1 32,所以数列 a n 的通项公式为 a n 32 n 12 2 n；评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2 a n 3 2 n 转化为 a2 nn 11 a2 nn 32,说明数列 a2 nn 是等差数列,再

3、直接利用等差数列的通项公式求出 a2 nn 1 n 1 32,进而求出数列 a n 的通项公式；二、利用累加法求通项公式名师归纳总结 例 2 已知数列an满意an12an2n a1,a11,求数列an的通项公式；第 1 页,共 24 页解：由an1an2n1an3a2a2a1a1得an1an2 n1an1就ananan1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2n112n21221211 12 n1n221n11an12n1转化为an1an2n1,进而2n1 nn1 1an12所以数列an的通项公式为ann2评注：此题解题的关键是把递推关系式求出 anan1

4、an1an2 a3a2a2a1a1,即得数列an的通项公式；例 3 已知数列an满意an1an23n1,a3,求数列an的通项公式；解：由an1an23n1 a3a2a2a1a1na23n1,得an1an23n1就ananan1an1an223n1123n212321 23 11 32 3n13n23231n131an23n1转化为an1a所以an233nn23nn113an评注：此题解题的关键是把递推关系式进而求出anan1an1an2a3a2 a2a 1a 1,即得数列n的通项公式；例 4 已知数列an满意an13 an23n1,a13,求数列an的通项公式；名师归纳总结 解：an13an

5、23n1两边除以3n1,得第 2 页,共 24 页an1an211,3n13n33n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就an1an2311,3n13n3n故ananan1an1an2an2an3a2a 1a 11转 化 为3n3nan1an13n23n23n3323 13212311231221333n3n3n3323n13an23n2n1113113121133n3nnn32因此an2n1113n112n121n,3n133n3323就an2n3n13n1322评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式aan1an2311,

6、进 而 求 出anan1an1an2an2an3+ ,3n13n3n3n3n13n13n23n23n3+a2a1a1,即得数列an的通项公式,最终再求数列an的通项公式；323133n三、利用累乘法求通项公式名师归纳总结 例 5 已知数列an满意an12 n1 5nan,a 13,求数列an的通项公式；第 3 页,共 24 页解：由于an12n1 5nan,a 13,所以an0,就an12 n1 5n,an就anan1an1a3a2a1anan2a2a11522 11 5 13222n115n12 n21 5n22n1nn1 325n1 n2213所以数列an的通项公式为- - - - - -

7、 -精选学习资料 - - - - - - - - - an32n15nn1 n.2评注： 此题解题的关键是把递推关系an1a2n1 5nan转化为an12n1 5n,进而an求出an1an1a3a2a 1,即得数列n的通项公式；anan2a2a 12a23a3n1满意a 11,ana 1例 6 （2004 年全国 15 题）已知数列an名师归纳总结 知n1an1n2,就an的通项a n1,n1212a2,就a2a1,又第 4 页,共 24 页n.,n2解：由于ana12a23a3n12an1n2 所以an1a12 a23 a3n1 an1nan所以式式得an1annan就an1n1 an n2

8、就an1n1 n2an所以anan1an1a3a2anan2a22,取 n=2 得aann1 43a2.na22由ana 12 a23 a3n1 an1na11,就a 21,代入得a n1345nn.；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 评注：此题解题的关键是把递推关系式an1n1 an n2 转化为ann1n1（n2）,a进而求出an1an1a3a2,从而可得当n2 时a 的表达式, 最终再求出数列an的anan2a2通项公式；四、利用待定系数法求通项公式例 7 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 5 n,a 1 6,求数列 a n

9、的通项公式；解：设 a n 1 x 5 n 1 2 a n x 5 n 将 a n 1 2 a n 3 5 n 代入式,得 2 a n 3 5 nx 5 n 12 a n 2 x 5 n,等式两边消去2 a n,得 3 5 n x 5 n 1 2 x 5 n,两边除以 5 n,得 3 x 5 2 x,就 x=1,代入式,得 a n 1 5 n 1 2 a n 5 n n 1由 a 1 5 1 6 5 1 0 及式, 得 a n 5 n 0,就 a na n 1 55 n 2,就数列 a n 5 n 是以 a 1 5 1 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,就 a n 5 n1 2 n 1,故

10、 a n 2 n 15 n；评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n 1 2 a n 3 5 n 转 化 为a n 1 5 n 12 a n 5 n,从而可知数列 a n 5 n 是等比数列,进而求出数列 a n 5 n 的通项公式,最终再求出数列 a n 的通项公式；例 8 已知数列 a n 满意 a n 1 3 a n 5 2 n 4,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；名师归纳总结 解：设an1nx52n1y3 anx2ny第 5 页,共 24 页将an13a2n4代入式,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

11、3an52n4x2n1y3 anx2ny整理得 5 2 x 2 n 4 y 3 x 2 n 3 y；5 2 x 3 x x 5令,就,代入式,得4 y 3 y y 2n 1 na n 1 5 2 2 3 a n 5 2 2 由 a 1 5 2 1 2 1 12 13 0 及式,得 a n 5 2 n 2 0,就 a na n 1 55 22 nn 12 23,故数列 a n 5 2 n 2 是以 a 1 5 2 12 1 12 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,因此 a n 5 2 n 2 13 3 n 1,就 a n 13 3 n 1 5 2 n 2；评 注 ： 本 题 解 题 的 关

12、 键 是 把 递 推 关 系 式 a n 1 3 a n 5 2 n 4 转 化 为a n 1 5 2 n 12 3 a n 5 2 n2 ,从而可知数列 a n 5 2 n 2 是等比数列, 进而求出数列 a n 5 2 n 2 的通项公式,最终再求数列 a n 的通项公式；例 9 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 n 2 4 n 5,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；名师归纳总结 解：设an12xn1 2yn1 zz第 6 页,共 24 页2 anxnynz将an132an3n24n5代入式,得52ann24nxn1 2yn12 anxn2ynz,就- - - -

13、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2an 3xn22xy4 nxyz52 a n 2 xn 2 2 yn 2 z等式两边消去 2 a n,得 3 x n 2 2 x y 4 n x y z 5 2 xn 22 yn 2 z,3 x 2 x x 3就得方程组 2 x y 4 2 y,就 y 10,代入式,得x y z 5 2 z z 182 2a n 1 3 n 1 10 n 1 18 2 a n 3 n 10 n 18 由 a 1 3 1 2 10 1 18 1 31 32 0 及式,得2a n 3 n 10 n 18 0就 a n 1 3 n 1 2 2 10 n

14、1 182,故 数 列 a n 3 n 2 10 n 18 为 以a n 3 n 10 n 18a 1 3 1 2 10 1 18 1 31 32 为 首 项 , 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此2 n 1 n 4 2a n 3 n 10 n 18 32 2,就 a n 2 3 n 10 n 18；评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n 1 2 a n 3 n 2 4 n 5 转 化 为a n 1 3 n 1 2 10 n 1 18 2 a n 3 n 2 10 n 18 ,从 而 可 知 数 列 a n 3 n 2 10 n 18 是等比

15、数列, 进而求出数列 a n 3 n 2 10 n 18 的通项公式, 最终再求出数列 a n 的通项公式；五、利用对数变换法求通项公式名师归纳总结 例 10 已知数列an满意an123na5 n,a1a7,求数列an的通项公式；第 7 页,共 24 页解：由于an123na5 n,a17,所以an0,n10；在an123na5 n式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设lgan1xn1 y5lganxny11名师归纳总结 将式代入11 式,得5lgannlg3lg2xn1 y5lganxny,两边消去第

16、 8 页,共 24 页5lgan并整理,得lg3xnxylg25xn5y,就lg3yxlg5x5y,故xlg3lg24x2ylg3164代入11式,得lgan1lg3n1 lg3lg241645 lganlg3nlg3lg2124164由lga1lg31lg3lg2lg7lg31lg3lg20及12式,41644164得lganlg3nlg3lg20,4164就lgan1nlg 34lg 3nn1lg3lglg25,lg16 324lga4164所以数列lganlg3nlg3lg2是以lg7lg3lg3lg2为首项,以5 为公比的41644164等比数列,就lganlg3nlg3lg2lg7l

17、g3lg3lg25n1,因此41644164lganlg7lg3lg3lg25n1lg3nlg3lg2lg7lg31lg31 6lg215n1444164464n11111n11111lg34lg316lg24lg734316245n1lg3431624lg734316245n1n115n1n5n115 n115n4n15n11lg3431624lg75n13431624lg75n131624,就an75 n135n4n125n11；164评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 通 过 对 数 变 换 把 递 推 关 系 式an123na5 n转 化 为lgan1lg3 n1 lg3lg2

18、5lganlg3nlg3lg2,从而可知数列41644164- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lganlg3nlg3lg2是等比数列,进而求出数列lganlg3nlg3lg2 的通项41644164公式,最终再求出数列an的通项公式；六、利用迭代法求通项公式例 11 已知数列an满意an1a3n1 2n,a13n5,求数列an的通项公式；n解：由于an1a3n1 2n,所以nana3n2n1a3 n12n23n2n1n1n2an51nn1a3 2n n21n2 n2n1a3 nn 322n332n1 n2n2n1a33n2 n1n2n3n2n1n3a

19、1 3n123n2n1 n2 12n3n2n1nn1a 1 3n1.n22又a15,所以数列an的通项公式为n.22；评 注 ： 本 题 仍 可 综 合利用 累 乘 法 和 对 数 变 换法求 数 列 的 通 项 公 式 ,即先 将 等 式an1a3n12 n两边取常用对数得lgan1n3n12nlgan,即lgan13n3nn1 2n,再由nlgan累 乘 法 可 推 知lganlgan1lga1lga3lga2lga1lg51n.2n1, 从 而2lganlgalga2lga 1n2an53 n1n.2nn1 2七、利用数学归纳法求通项公式例 12 已知数列an满意an1an2n8n1 3

20、2,a18,求数列an的通项公122 n9式；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由an1an2 n8 n132及a18,得1 22n9名师归纳总结 a2a1218 11 3 2k1时,第 10 页,共 24 页1 22188224992525a3a2228213 21 22224834825254949a4a3238 311321 2233348848049498181由此可推测an2nn1 221,往下用数学归纳法证明这个结论；21（1）当 n=1 时,a 12111 2218,所以等式成立；219（2）假设

21、当n=k 时等式成立,即ak2kk1221,就当n21ak1ak2k8k1 32122k2k1218k12k122k1 22k3 22 k1 21 2k328k1 2k1 22k3 22k122 k322 k328 k12 k1 22k322k122 k322 k122k122 k322k3 212k11212k3 22 k1 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由此可知,当 n=k+1 时等式也成立；依据（ 1）（ 2）可知,等式对任何nN*评注：此题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 通项公式,最终再用数学归纳法加以证明；八、利用换元

22、法求通项公式n 项,进而猜出数列的名师归纳总结 例 13 已知数列an满意an11 14 an124 an,a11,求数列an的通项公第 11 页,共 24 页16式；解：令bn124 an,就an1b21 n24故an11b2 n11,代入an11 14an124an得24161b211 1 141b21 bn24n1624n即4b21bn32n由于bn124 an0,故bn1124an10就2bn1bn3,即bn11bn3,22可化为bn131bn3,2所以bn3 是以b13124a13124132为首项,以1 为公比的等比数 2列 , 因 此bn321n11n2, 就bn1n2+3, 即

23、124an1n23, 得2222an21n1n1；3423评注：此题解题的关键是通过将124an的换元为b ,使得所给递推关系式转化bn11bn3形式,从而可知数列bn3为等比数列,进而求出数列bn3的通项公22式,最终再求出数列an的通项公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 九、利用不动点法求通项公式例 14 已知数列 a n 满意 a n 1 21 a n 24,a 1 4,求数列 a n 的通项公式；4 a n 1解：令 x 21 x 24,得 4 x 2 20 x 24 0,就 x 1 2,x 2 3 是函数 f x 21 x 24的4 x

24、1 4 x 121 a n 242两 个 不 动 点 ； 因 为 a n 1 2 4 a n 1 21 a n 24 2 4 a n 1 13 a n 26 13；a n 1 3 21 a n 24 3 21 a n 24 3 4 a n 1 9 a n 27 94 a n 1a n 2,所以数列 a n 2 是以 a 1 2 4 2 2 为首项,以 13 为公比的等比数列,故a n 3 a n 3 a 1 3 4 3 9aa nn 23 2 139 n 1,就 a n2 13 1n 11 3；9评注：此题解题的关键是先求出函数 f x 21 x 24 的不动点,即方程 x 21 x 24 的4 x 1 4 x 1两个根 x 1 2,x 2 3,进而可推出 a n 1 2 13 a n 2,从而可知数列 a n 2 为等比数a n 1 3 9 a n 3 a n 3列,再求出数列 a n 2 的通项公式,最终求出数列 a n 的通项公式；a n