高考数学一轮复习知识点大全-立体几何.pdf

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1、 - 38 - 高中数学知识点整理 （12）在ABC中，给出 OAOP()|ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心； （13）在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线; 第十部分 立体几何 1. 平面的基本性质： （1）公理 1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内这是判断直线在平面内的常用方法 （2）公理 2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一 （3）公理 3：经过不在同

2、一直线上的三点有且只有一个平面 推论 1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 公理 3 和三个推论是确定平面的依据 （4）能够用斜二测法作图（平行还平行，横等纵变半） （5）三视图：长对正、宽平齐、高相等 2. 空间两条直线的位置关系： 平行、相交、异面（不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线） ； （1）公理 4：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性） ； 等角定理： ； （2）异面直线所成的角： 范围：(0,2（=2为异面垂直） ； 求法：计算异面直线所成角的关键是平移，转化为相交两直线的夹角

3、； 或者用向量的方法计算但运用向量方法时，最后的结论一定要注意到角的范围，并回归到直线所成角 （3）证明两条直线是异面直线： 反证法； 异面直线的判定（连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过 - 39 - 高中数学知识点整理 此点的直线是异面直线） 3. 直线与平面 （1）位置关系：直线在平面内直线与平面平行直线在平面外直线与平面垂直直线与平面相交直线与平面斜交（按公共点的个数分类） （2）直线与平面平行（直线与平面没有公共点）: 判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； 性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交

4、所得的交线和这条直线平行 在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面， 以运用线面平行性质 （3）直线与平面垂直：如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直， 那么这条直线和这个平面垂直 注意：任一条直线并不等同于无数条直线； 判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直 两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直 性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 （4）三垂线定理及其逆定理： （其作用是证两直线异面垂直和几何方法中作二面角的平

5、面角） 定理： 平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 逆定理:平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直 （5）直线与平面所成的角：0,2，平面的斜线与平面所成的角范围：(0,)2 斜线与平面所成的角：斜线和平面所成的角，是斜线与平面中所有直线所成角中最 小的角 4. 平面与平面： （1）位置关系：平行、相交， （垂直是相交的一种特殊情况） - 40 - 高中数学知识点整理 （2）平面与平面平行（两个平面没有公共点） 判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行 性质：若

6、两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行 （3）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 二面角的平面角：顶点在棱上； 角的两边分别在两个半平面内； 角的两边与棱都垂直； 范围：0, ； 作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 向量法 （4）平面与平面垂直（相交成直二面角的两个平面） 尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可

7、以证明线面垂直 判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 5. 平行、垂直转化：自己在各括号序号处填写涉及到的相关定理； 6. 体积、表面积、点面距离 （有关角和距离的计算，都要遵循“一作，二证，三指，四计算”的原则） 先证线面 ，再利用体积公式：棱锥的体积13Sh；棱柱的体积Sh；球的体积343R； 球的表面积24 R；正棱锥的表面积；特别关注正四面体 线线 线线 线面 面面 线线 线线 线面 面面 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）

8、 （12） （13） （14） （15） （16） （17） - 41 - 高中数学知识点整理 点到平面的距离： 几何法： 借助于面面垂直的性质来作垂线， 其中过已知点确定已知面的垂面是关键； 体积法：转化为求三棱锥的高； 等价转移法：由线面平行或面面平行转化为其它点到面的距离 7. 用向量解决立体几何问题 （主要用于证明垂直及求角） 工具：向量夹角公式、向量模长公式、空间角、空间距离； 求异面直线所成角：求两条直线 a,b 所成的角: 设, a b是直线 a,b 的方向向量，coscos, a b=a bab 求线面角：直线AP与平面所成角，设n是平面的法向量， 可求cos,AP nAP n

9、APn， 则2,AP n或2,AP n；sincos,AP n=AP nAPn， 求二面角：设二面角l 为， 法一：设n是平面的法向量，j是平面 的法向量，可求cos,n j=n jnj， 则 ,n j或,n j， 法二：点lBA,，AC，BD且lAC ，lBD , 则BDAC,， 求点A到面的距离：|ABdnn，其中B，n是平面的法向量 8. 多面体和旋转体 （1）棱柱：掌握棱柱的定义（有两个面是多边形，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体） 、分类，理解直棱柱（侧棱垂直于底面） 、正棱柱（底面是正多边形的直棱柱）的性质 （2）棱锥：掌握棱锥的定义（有一个面是多边形，其余各面是有一个公共

10、顶点的三角形） 、分类、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心） ；要特别关注正棱锥的两个直角三角形； （3）球：任意一个平面截球，得到一个圆 （4）正方体是立体几何的基本图形，很多问题都可转化为正方体中的线面位置关系，如正四面体可放入正方体中 9. 在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： - 42 - 高中数学知识点整理 （1） 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决. （2）将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. （3）利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离问题转化成求三棱锥的高. （4）

11、平行转化垂直转化等 10. 你熟悉下列结论吗？ （1）三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点； （2）从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOCAOB， 则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上； （3）AB和平面所成的角是1，AC在平面内，AC和AB的射影AB成2，设BAC=3,则 cos1cos2=cos3； （4）如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面； （5）若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为, ， 则 cos2+cos2+cos2=1； 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的

12、角分别为, 则 cos2+cos2+cos2=2 如： 长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为 30、45，则与第三个面所成的角为_（答：30） ； 若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为, ， 则sin,sin,sin的关系为_ （答：222sinsinsin2） （6）在三棱锥中： （a）侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心； （b）侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心； （c）顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心. （d）若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心 （7）正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；