高考一轮复习高中数学立体几何知识点汇编.docx

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1、高中课程复习专题数学立体几何一 空间几何体 空间几何体的类型 1 多面体：由假设干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱及棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 几种空间几何体的构造特征 1 棱柱的构造特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。图1-1 棱柱图1-1 棱柱 1.2 棱柱的分类 1.3 棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；

2、两个底面及平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； 直棱柱的侧棱长及高相等，侧面的对角面是矩形。1.4 长方体的性质图1-2 长方体 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 长方体的一条对角线AC1及过定点A的三条棱所成的角分别是、，那么：cos2 + cos2 + cos2 = 1 sin2 + sin2 + sin2 = 2 长方体的一条对角线AC1及过定点A的相邻三个面所组成的角分别为、，那么：cos2 + cos2 + cos2 = 2 sin2 + sin2 + sin2 = 1 1.

3、5 棱柱的侧面绽开图：正n棱柱的侧面绽开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 1.6 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = ch (c为底面周长，h为棱柱的高)S直棱柱全 = ch+ 2S底V棱柱 = S底 h 2 圆柱的构造特征图1-3 圆柱 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面绽开图：圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面 = 2rh (r为底

4、面半径，h为圆柱的高) S圆柱全 = 2 r h + 2 r2 V圆柱 = S底h = r2h 3 棱锥的构造特征 3-1 棱锥的定义 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。图1-4 棱锥 正棱锥：假如有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的构造特征 平行于底面的截面是及底面相像的正多边形，相像比等于顶点到截面的间隔 及顶点究竟面的间隔 之比； 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、

5、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面绽开图：正n棱锥的侧面绽开图是由n个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 S正棱锥侧 = 0.5 c h (c为底面周长，h为侧面斜高) S正棱锥全 = 0.5 c h + S底面 V棱锥 = 1/3 S底面h (h为棱锥的高) 4 圆锥的构造特征 4-1 圆锥的定义：以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 4-2 圆锥的构造特征 平行于底面的截面都是圆，截面直径及底面直径之比等

6、于顶点到截面的间隔 及顶点究竟面的间隔 之比；图1-5 圆锥 轴截面是等腰三角形； 母线的平方等于底面半径及高的平方和： l2 = r2 + h2 4-3 圆锥的侧面绽开图：圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 4-4 圆锥的面积和体积的公式 S圆锥侧 = rl (r为底面半径，l为母线长) S圆锥全 = r(r + l) V圆锥 = 1/3 r2h (h为圆锥高) 5 棱台的构造特征图1-6 棱台 5.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 5.2 正棱台的构造特征 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 正棱台的两个底面和平行

7、于底面的截面都是正多边形； 正棱台的对角面也是等腰梯形； 棱台常常被补成棱锥，然后利用形似三角形进展探讨。 5-3 正棱台的面积和体积公式 S棱台侧= n/2 (a + b)h (a为上底边长，b为下底边长，h为棱台的斜高，n为边数) S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧 V棱台 = 6 圆台的构造特征 6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。 6-2 圆台的构造特征 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； 圆台的截面是等腰梯形；图1-7 圆台 圆台常常补成圆锥，然后利用相像三角形进展探讨。 6-3 圆台的面积和体积公式 S圆台侧 = (

8、R + r)l (r、R为上下底面半径) S圆台全 = r2 + R2 + (R + r)l V圆台 = 1/3 ( r2 + R2 + r R) h (h为圆台的高) 7 球的构造特征图1-8 球 7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。空间中，及定点间隔 等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。 7-2 球的构造特征 球心及截面圆心的连线垂直于截面； 截面半径等于球半径及截面和球心的间隔 的平方差：r2 = R2 d2 7-3 球及其他多面体的组合体的问题 球体及其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的根本思路是：

9、根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形； 找出多面体及球体连接的地方，找出对球的相宜的切割面，然后做出剖面图； 将立体问题转化为平面几何中圆及多边形的问题； 留意圆及正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S球面 = 4 R2 (R为球半径) V球 = 4/3 R3 空间几何体的视图 1 三视图：视察者从三个不同的位置视察同一个空间几何体而画出的图形。 正视图：光线从几何体的前面对后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面对右边正投影，得

10、到的投影图。 留意： 俯视图画在正视图的下方，“长度及正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度及正视图相等，“宽度及俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽) 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。 2 直观图 2-1 直观图的定义：是视察者站在某一点视察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 2-2 斜二测法做空间几何体的直观图 在图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取xOy = 90； 画直观图时，把它画成对应的轴Ox、Oy，取xOy = 45或135，它们确定的平面表示程度平面； 在坐标系xoy中画直观图时，图形中平行于数轴的线段保持平行

11、性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。 结论：采纳斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的 2-3 解决关于直观图问题的考前须知 由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图； 由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二 点、直线、平面之间的关系 平面的根本性质 1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化图形语言文字语言符号语言点A在直线a上点B在直线a外AaBa点A在平面内点B在平面外AB直线a在平面内直线b在平面外ab直线a及平面相交于点Aa=A直线a及直线b相交于点Aab=A平面及平面交于直线a=a 2 平面

12、的根本性质 公理一：假如一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线及直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 空间图形的位置关系 1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同始终线的两条直线互相平行。 即：ab，bc ac 1.2 等角定理：假如一个角的两边及另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 1.3 异面直线 定义：不在任何一个平面内的

13、两条直线称为异面直线。 断定定理：连平面内的一点及平面外一点的直线及这个平面内不过此点的直线为异面直线。 即：图2-1 异面直线 1.4 异面直线所成的角 异面直线成角的范围：(0，90. 作异面直线成角的方法：平移法。 留意：找异面直线所成角时，常常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特别点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线及平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)图2-2 直线及平面的位置关系3 平面及平面的位置关系(平行、斜交、垂直) 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线及平面无公共点，那么称为直线和平面平行。 1.2

14、 断定定理： 1.3 性质定理：1.4 推断或证明线面平行的方法 利用定义(反证法)：l = ，l (用于推断)； 利用断定定理：线线平行线面平行 (用于证明)； 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)； 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于推断)。2 线面斜交和线面角：l = A图2-3 线面角2.1 直线及平面所成的角(简称线面角)：假设直线及平面斜交，那么平面的斜线及该斜线在平面内射影的夹角。 2.2 线面角的范围：0，90 留意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，=0； 当直线垂直于平面时，=90 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，那么称为两

15、平面平行。 3.2 面面平行的断定定理：图2-4 面面平行 断定定理1：假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行。 即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：图2-5 断定1推论 断定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：图2-6 断定2 3.3 面面平行的性质定理 (面面平行线面平行) 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：假设一条直线垂直于平面内的随意一条直线，那么这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的断定定理： 1.3 线面垂直的性

16、质定理： 假设直线垂直于平面，那么它垂直于平面内随意一条直线。即： 垂直于同一平面的两直线平行。 即：1.4 常用的断定或证明线面垂直的根据 利用定义，用反证法证明。 利用断定定理证明。 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，那么另一条直线也垂直及平面。 一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么也垂直于另一个。 假如两平面垂直，在一平面内有始终线垂直于两平面交线，那么该直线垂直于另一平面。 1.5 三垂线定理及其逆定理图2-7 斜线定理 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的全部线段中，斜线相等那么射影相等，斜线越长那么射影越长，垂线段最短。 如图： 三垂线定理及其逆定理 PO，斜线PA在平面内

17、的射影为OA，a是平面内的一条直线。 三垂线定理：假设aOA，那么aPA。即垂直射影那么垂直斜线。 三垂线定理逆定理：假设aPA，那么aOA。即垂直斜线那么垂直射影。图2-8 三垂线定理 三垂线定理及其逆定理的主要应用 证明异面直线垂直； 作出和证明二面角的平面角； 作点到线的垂线段。 2 面面斜交和二面角 2.1 二面角的定义：两平面、相交于直线l，直线a是内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，那么直线a、b所形成的角称为、的二面角的平面角，记作-l-。 2.2 二面角的范围：-l- 0,180 2.3 二面角平面角的作法： 定义法：证明起来

18、很费事，一般不用； 三垂线法：常用方法； 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。 3 面面垂直图2-9 面面垂直 3.1 面面垂直的定义：假设二面角-l-的平面角为90，那么两平面。 3.2 断定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 即： 3.3 面面垂直的性质定理 假设两面垂直，那么这两个平面的二面角的平面角为90； 图2-10 面面垂直性质2 图2-11 面面垂直性质3 三 立体几何主要难点1 三种角的比照角的类型范围解题步骤异面直线所成角0901找：利用平移法找出异面直线所成角； 固定一条直线，平移另一条直线， 将两条直线都平移至一特别位置。2证：证明所作出

19、的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。直线及平面所成角0901找：作出斜线及其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；2证：证明所作出的角就是直线及平面所成角或其补角，常证明线面垂直；3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。二面角的平面角01作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。2 立体几何学问网络1、发生以下情形，本协议即终止：(1)、公司因客观缘由未能设立;(2)、公司营业执照被依法撤消;(3)、公司被依法宣告破产;(4)、甲乙丙三方一样同意解除本协议。2、本协议解除后：(1)甲乙丙三方共同进展清算，必要时可聘请中立方参及清算;(2)假设清算后有剩余，甲乙丙三方须在公司清偿全部债务后，方可要求返还出资、按出资比例安排剩余财产。(3)假设清算后有亏损，各方以出资比例分担，遇有股东须对公司债务承担连带责任的，各方以出资比例归还。