2022年曲线积分与曲面积分习题及答案 .docx

《2022年曲线积分与曲面积分习题及答案 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年曲线积分与曲面积分习题及答案 .docx（69页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 曲线积分与曲面积分A 01运算Lx22ydx,其中 L 为连接,10及01,两点的连直线段；2运算Lxy2ds,其中 L 为圆周x2y2ax；3运算Lx2xy2ds,其中 L 为曲线xacosttsint,yasinttcost,t2；y 2ds,其中 L 为圆周x24运算Ley2a2,直线yx及 x 轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界；5运算Lx4y4ds,其中 L 为内摆线xacos3t,yasin3t0t233在第一象限内的一段弧；z6 计 算L2 xz2y2ds, 其 中 L 为 螺 线xacos t,yasint,at0t2

2、；A,11到点B1,1的一段弧；7运算Lxydx ,其中 L 为抛物线y2x上从点8运算Lx3dx3zy2dyx2ydz,其中 L 是从点A,32 1,到点B0 ,00的直线段 AB ；9运算Lxdxydyxy1dz,其中 L 是从点1,1,1到点23, ,4的一段直线；10运算L2 aydxaydy,其中 L 为摆线xatsint,ya1cost的一拱 对应于由 t 从 0 变到 2的一段弧 ：的一段弧；11运算Lxydxyxdy,其中 L 是：1）抛物线y2x上从点1,1到点42,的一段弧；2）曲线x2 t2t1,y2t1从点1,1到4 ,21 名师归纳总结 - - - - - - -第

3、1 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12把对坐标的曲线积分LPx,ydxQx,ydy化成对弧和的曲经积分, 其中 L 为：1）在 xoy平面内沿直线从点,00到,34；xatsint,2）沿抛物线yx2从点00,到点42,；3）沿上半圆周x2y2x从点0 ,0到点1 1,；13 计 算Lexsinymydxexcosymxdy其 中 L 为ya1cost,0t,且 t 从大的方向为积分路径的方向；4dy与积分路径14确定的值,使曲线积分x44xydx6x1y25y无关,并求A0 ,0,B,12时的积分值；yx2和y2x15运算积分L2xyx2dxxy2dy,其

4、中 L 是由抛物线所围成区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性；16利用曲线积分求星形线2xyacos3t,yasin3t所围成的图形的面积；6 x217证明曲线积分3,46xy3dxy32 xydx在整个 xoy平面内与路1,2径无关,并运算积分值；18利用格林公式运算曲线积分2 2 x 2 xL xy cos x 2 xy sin x y e dx x sin x 2 ye dy,其中 L 为正向星形2 2 2线 x 3 y 3 a 3 a 0；19利用格林公式,运算曲线积分 L 2 x y 4 dx 5 y 3 x 6 dy,其中 L为三顶点分别为 0 0,、3 0, 和 3 , 2

5、 的三角形正向边界；20验证以下 P x , y dx Q x , y dy 在整个 xoy平面内是某函数 u x , y 的全微分,并求这样的一个 u x , y,3 x 2 y 8 xy 2 dx x 38 x 2 y 12 ye y dy；21运算曲面积分 x 2y 2dx,其中 为抛物面 z 2 x 2y 2在 xoy平2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 面上方的部分；22运算面面积分2xy2x2xzds,其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面；24求抛物面壳 z 1 x 2y 20 z 1 的质量,壳

6、的度为 t z；225求平面 z x 介于平面 x y 1,y 0 和 x 0 之间部分的重心坐标；26当 为 xoy平面内的一个闭区域时,曲面积分 R x , y , z dxdy 与二重积分有什么关系？27运算曲面积分 zdxdy xdydz ydzdx 其中 为柱面 x 2y 21 被平面z 0 及 z 3 所截的在第一卦限部分的前侧；28 计 算 x 2dydz y 2dxdz z 2dxdy 式 中 为 球 壳 x a 2y b 22 2z c R 的外表面；29 反 对 坐 标 的 曲 面 积 分 化 成 对 面 积 的 曲 面 积P x , y , z dydz Q x , y

7、, z dzdx R x , y , z dxdy 化成对面积的曲面积分,其中 是平面 3 x 2 y 2 3 z 6 在第一卦限的部分的上侧；30利用高斯公式运算曲面积：y1）zx2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为平面x0,y0,zz0,xa,为柱面x2y21与平面0,z3a,a所围成的立体的表面和外侧；2）xydxdyyzxdydz,其中所围立体的外表面；31运算向理穿过曲面流向指定侧的通量：3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1）2xzix2yjxz2k,为立体0xa,0ya,0za,流向外侧；x2

8、2）xyziyzxjzxyk,为椭球面y2z21,流向外侧；a2b2c2x232求向理场axyicosxyjcosxz2k的散度；33利用斯托克斯公式运算曲经积分ydxzdyxdz其中为圆周,y2z2a2,xyz0,如从 x 轴正向看去,这圆周取逆时针方向；34证明y2dxxydyxzdz0,其中为圆柱面x2y22y与yz的交线；z35 求 向 量 场axyiz2x3yzj3xy2k, 其 中为 圆 周xcosyj的旋度；2x2y2,z0；36求向量场zsinyixy2dz, 其 中为 用 平 面37 计 算y2z2dx2 zxdyx2yz3切立方体0xa,0ya,0xa的表面所得切痕, 如从

9、 ox 轴2的下向看去与逆时针方向；B 01运算Lyds,其中 L 为抛物线y22px由,00到x0, y0的一段；t一 拱2 计 算Ly2ds, 其 中 L 为 摆 线xatsint,yarcost2；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3求半径为 a ,中心角为 24 的匀称圆弧 线心度 1的重心；4运算Lzds,其中 L 为螺线xtcos ,ytsin ,zt0tt2；5运算Lx21z2ds,其中 L 为空间曲线xt cos ,yt sin ,y2zt上相应于 t 从 0 变到 2 的这段弧；asin ,z

10、kt02,6设螺旋线弹簧一圈的方程为xacos ,y它的线心度为x ,y,yzx2y2z2,求：1）它关于 z 轴的转动惯量I ；2）它的垂心；7设 L 为曲线xt,y2t,z3t上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧,把对坐标的曲线积分LPdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分；8运算Lxydxxydy,其中 L 为圆周x2y2a2按逆时针方向绕x2y2行；从t9运算LLydxzdyxdz,其中 L 为曲线xacos ,y0asin ,zbt,0到t2的一段；x2y2dy,其中 L 为y1|x|x2方向为 x10运算x2y2dx增大的方向；11验证曲线积分2,12 xeyydxx2eyx2y

11、dy与路径无关并运算积分,10值；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12证明当路径不过原点时,曲线积分2,2xdxydy与路径无并,并运算11,x2y2积分值；y13利用曲线积分求椭圆x2y21的面积；xsin2ydy,其中 L 是圆周a2b214利用格林公式运算曲线积分Lx2ydx2 xx2上由点00,到点1,1的一段弧；3axya0的面积；15利用曲线积分,求笛卡尔叶形线x3y316运算曲线积分Lydxxdy,其中 L 圆周x12y22, L 的方向为2x2y2逆时针方向；17运算曲面积分3zds,其中为抛

12、物面z2x2y2在 xoy平面上的部分；18运算xyyzzxds,其中是锥面zx2y2被柱面x2y22ax所截得的有限部分；19求面心度为0的匀称半球壳x2y2z2a2z0对于 z 轴的转动惯量；20求匀称的曲面zx2y2被曲面x2y2ax所割下部分的重心的坐标；21运算曲面积分Ix 2y2z2fax,y,zds,其中26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx,y ,zx20y2,zx2y2；,z2 xy222运算 xzdxdy xydydz yzdzdx,其中 是平面 x 0,y 0,z 0,x y z 1 所

13、围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例；2 2 223运算 1dydz 1dxdz 1dxdy,其中 为椭球面 x2 y2 z2 1；x y z a b c24 计 算 y z dydz z x dxdy x y dxdy, 式 中 为 圆 锥 面x 2y 2z 0 z h 的外表面；25设 u x , y , z,v x , y , z 是两个定义在闭区域 上的具有二阶连续偏导数的函数,u 、v 依次表示 u x , y , z,v x , y , z 沿 外法线方向的方向导数；证n n明：u v v u dxdydz u vv uds,其中 是空间闭区域 的整个边n n界曲面,这个公式叫做

14、格林其次公式；26利用斯托克斯公式运算曲线积分x2yzdxy2xzdyz2xydz其中 L 是螺旋线xacos ,yasin ,zht,从A0 ,0 ,0到Ba ,0 ,h的一段；227设uux,y,z是有两阶连续偏导数,求证：rotgradu0；C1求曲线的弧长yaarcsinx,zalnaxx x从O0 ,0到Ax0,y 0,z 0；a4a2运算L1ds,其中 L 为悬链线yach；t0的重心坐标；y2ate3求匀称的弧xe t cos ,yet sin ,z7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4运算Ly2x

15、2dx4x2ylnxR2x2dy,其中 e 是沿x2y2R2R 2由点AR ,0逆时针方向到BR0,的半圆周；续的导函数,求5设fx在,内有连1A,32到点B,12的直线段；y2fxydxxy2fxy1dy,其中 L 是从点Lyy23dxsinyycosydy,沿着不与 oy轴相交的路6运算,21y2cosy1,x2xxxx径；且f7已知曲线积分Lxxysinxdxfxdy与路径无关,fx是可微函数,x20,求fx；ixyj2构成内场,求将单位质点从点1 1,移到2,4F8设在平面上有x2y23场力所作的功；9已知曲线积分ILy3dx3 xIx3dy,其中 L 为x2y2R2R0逆时针方向曲线

16、： 1）当 R 为何值时,使0？2）当 R 为何值时,使 I 取的最大值？并求最大值；z10运算Ix1x2zdydzy1x2zdzdxz1x2zdxdy其中为曲面x2y20z1的下侧；|1；1绕 x 轴11运算|xyz|ds,其中的方程为|x|y|z12运算曲面积分I21xdydz,其中是曲线yx0x旋转一周所得曲面的外侧；8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13运算Lx2xydxx22xy2dy,其中 L 为由点A,40到点O00,的上半圆周x2y24xyy0,14证明L3yxdxyy3xdy与路径无关, 其中

17、 L 不经过直线xx3且求2,33yxdxyy3 xdy的值；,10x3x ,的15求圆锥zx2y20zh的侧面关于 oz 轴的转动惯量；16挑选 a ,b 值使y22xyax22x222xyby2dy为某个函数uxy2全微分,并求原函数ux ,y；z1,17运算曲面积分exy2dxdy,其中为曲面zx2y2,平面x2z2 所围立体外面的外侧；18证明1）uvxuvvu2uv；2）x第十章2曲线积分与曲面积分A 1解：两点间直线段的方程为：1y1x,0x1；故ds1y2dx112dx2 dx所以Lxydx1xx2 dx209 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 35 页精选

18、学习资料 - - - - - - - - - 2解： L 的参数方程为x1acos1a,0222y1asin2就x2y21acos1a21asin1|a|21cos22221|a|212cos 221|a|cos2a|2dsx2y2dasin2acos21222所以Lx2y2ds2 01a2cos2d22atdt1a20cos2d2cos2d21a22sin202sin222a223解：dsx2y2dtatcos tatsint2dtatdt故Lx2y2ds2a2cos ttsint2sinttcos t0a32tt3dta3t2t4222a31220240y 2ds4解：如图e Lx2y 2

19、dsL 1ex2y2dsL2ex 2y2dsL3ex2L ：xx,0xa,ds12 0dxdxy0L ：xx,0x2a,ds12 1dx2 dxyx2L3：xacos ,sin t0x4,yadxx2y2dtasint2acos t2dtadt10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - Lex2y 2dsaexdx02ae2x2dx4eaadt200x e|ae2x2aa ae4a e24a2t2adt200444t25解：x3y3a3cos4tsin4tdsx2y2dt3 acos2tsint23 asin2tco

20、s9 a2sin2t2 costdt3 asintcos tdt447Lx3y3ds3a32cos4tsin4tsintcostdt03 a71cos 6 t1sin6t24 a73366026解：dsx2y2z2dtasint2acos t22 adtLx22 zy2ds2acos ta2t2asint22 adt2a2dt0202a1t32 | 08 32a3；37解：Lxydx1y2yy2dy21y4dy2 15y51141158解：直线段 AB 的方程为xyz,化成参数方程为321x3 ,y2 ,zt, t 从 1 变到 0 故Lx3dx3xy2dyx2ydz03 t333 t2 t2

21、23 t22 tdt1870t3dt87149解：直线的参数方程为xL1t,y12 t,z13 t0t1 1xdxydyxydz11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11t212 t31t12 t1dt010 6 14 t dt 1310解：L 2 a y dx 9 y dy20 2 a a 1 cos t a 1 cos t a a 1 cos t a sin t dt2 2 2 2 2 1 1a 0 1 cos t cos t sin t dt a 0 2 1 cos 2 t2 sin 2 t dta 20

22、 2 12 dt a 211解： 1原式 2y 2 y 2 y y y 2 dy121 22 y 3y 2y dy 12 y 4 13 y 3 12 yh 21 34312 2 22原式 0 2 t t 1 t 1 4 t 1 t 1 2 t t 1 2 t dt1 3 210 t 5 t 9 t 2 dt0110 4 5 2 9 10 4 5 2 9 2 131t t t 2 dt t t t 2 t4 3 2 4 3 2 0 123 412解： 1） L 的方向余弦 cos,cos5 53 4L P x , y dx Q x , y dy L 5 P x , y5 Q x , y ds2

23、dx 12）ds 1 2 x dx,cosdx 1 4 x 21 2 xcos sin 11 4 x 21 4 x 2故L P x , y dx Q x , y dy P x , y 2 xQ2 x , yds1 4 x23）ds 1 1 x2 dx,cos dx2 x x 22 x x ds2cos sin 1 2 x x 1 x12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故LPx,ydxQx,ydyL2xx2Px,y1xQx,yds13解：由于PQex cosymyx故原积分与路径无关,于是原式OBBAQ,得0a

24、0 dx0aeacosymadyeasin2a2ma2；14解：Px44xy,Q6x1y25y4,由Pyx4xy161x2y2,解得3故当3时,所给积分与路径无关,12x44xy3dx6x2y25y4dy0,01x44x0dx261y25 y4dy79005dx1取ACCB运算,其中A,00,C1 0,B,1215解：原式L 1L212 x3x2xx42 xdx002y3y42yy2y2dy112x52x3x2dx012y54y42y2dy1030又DQPdxdyD12xdx1dyy2y12xxy030DQPdxdyLPdxQdyxy16解取Py,Qx,P1,Q1可得面积yx13 名师归纳总结

25、 - - - - - - -第 13 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 1Ddxdy1Lxdyydx2设A 为在第 I 象限部分的面积,由图形的对称性所求面积xsinx2yexA4A 141xdyydx222acos3t3 asin2tcostasin2t3acos2tsintdt0ba22sin2tcos2tdt3a208注：仍可利用DdxdyLxdyLydx17解：P6xy2y3,Q6x2y3xy2P12xy3y2,Q12xy3y2yx由于QP,所以积分与路径无关xy取路径,123 ,2,34原式324 x8dx454y9y2dy2361218解：Q2x

26、sinxx2cosy2yex,Px2cosx2xy原式DQPdxdy0；xy19解：Q3,P1xy原式DQPdxdyD31dxdyD4 dxdyxy3dx2x4dy38xdx1230003的全微分；20解： 1）Q2xP,故2xydxx2dy是某个ux,yxy14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 35 页精选学习资料 - - - - - - - - - ux ,yx ,42xydxx2dyx0 dxyxdyx2y0,0002）Q3 x216xP,ux ,yx ,y3 x2y8 xy2dxx38 x2y12ye y dyxy,00x0dxyx38x2y12ye ydy0024y2dxdyx3y4x2y212yeyey1221解：Dxy：x2y22,dx1z2z2dxdy14xxy故原式x2y214x24y2dxdysin2rdrDxy2d02rcos29rsin214rcos24r02d02r214 r2rdr2102r214 r2drh2024r2rdrr2u02u14 u du1493022解：原式|x|y|x2y21zxzydxdyDxy4xyx2y214x2y2dxdyDxyI这里DxyI为Dxy在第一象限部分402d1r4sincos14 r2rdr4021sin2d17410201r414