2022年曲线积分与曲面积分习题及答案.docx

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1、精品学习资源第十章曲线积分与曲面积分A欢迎下载精品学习资源L1. 运算xy dx ，其中 L 为连接1,0 及0,1两点的连直线段；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 运算x2 Ly2 ds，其中 L 为圆周 x2y 2ax ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 运算x 2 Ly2 ds ，其中 L 为曲线 xa costt sin t ，ya sin tt cost ，欢迎下载精品学习资源0t2；欢迎下载精品学习资源4. 运算Le x2y 2 ds，其中 L 为圆周 x 2y2a2 ，直线 yx 及 x 轴在第一欢迎下载精品学习资源角限内所围成的扇形的整个边界；欢迎下载精

2、品学习资源5. 运算44Lx 3y 3ds ，其中 L 为内摆线 xa cos3 t ，yasin 3 t0t2欢迎下载精品学习资源在第一象限内的一段弧；z2欢迎下载精品学习资源6 计 算Lx22 dsy， 其 中 L为 螺 线 xacost， yasin t，欢迎下载精品学习资源zat 0t2；欢迎下载精品学习资源7. 运算xydx ，其中 L 为抛物线 y 2 Lx 上从点A 1,1 到点B 1,1的一段弧；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源L8. 运算段 AB ；x 3dx3 zy2dyx 2 ydz ，其中 L 是从点A 3,2,1到点 B0,0,0的直线欢迎下载精品学习资源欢迎

3、下载精品学习资源L9. 运算xdxydyxy1 dz ，其中 L 是从点1,1,1 到点2,3,4的一段直欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源线；10. 运算L2ay dxay dy ，其中 L 为摆线 xa tsin t ，ya 1cost欢迎下载精品学习资源的一拱对应于由 t 从 0 变到 2的一段弧 ：欢迎下载精品学习资源L11. 运算xy dxyx dy ，其中 L 是：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1抛物线 y 2x 上从点1,1 到点4,2的一段弧；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2曲线 x2t 2t1 ， yt 21从点1,1 到4,2的一段弧；欢迎下载精品

4、学习资源L12. 把对坐标的曲线积分中 L 为：P x, y dxQ x, ydy 化成对弧和的曲经积分， 其欢迎下载精品学习资源1在 xoy 平面内沿直线从点0,0 到3,4 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2沿抛物线 yx2 从点0,0 到点4,2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3沿上半圆周 x2y2x 从点0,0 到点1,1 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源L13. 计 算ex sin ymy dxex cos ymx dy其 中 L 为 xa tsin t，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y a 1cost ， 0t，且t 从大的方向为积分路径的

5、方向；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14. 确定 的值，使曲线积分x 44xydx6x1 y25y 4dy 与积分路径欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源无关，并求A 0,0， B 1,2时的积分值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源15. 运算积分L2 xyx2 dxxy 2dy ，其中 L 是由抛物线 yx2 和 y 2x欢迎下载精品学习资源所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性；欢迎下载精品学习资源16. 利用曲线积分求星形线xa cos3 t ， yasin 3 t 所围成的图形的面积；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源17. 证明曲线积分径无关，并

6、运算积分值；3,41,26xy2y3 dx6x2 y3xy2dx 在整个 xoy 平面内与路欢迎下载精品学习资源18. 利用格林公式运算曲线积分欢迎下载精品学习资源xy 2Lcos x2xy sin xy2 ex dxx2 sin x2 yexdy ，其中 L 为正向星形欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22线 x 3y 32a 3a0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源19. 利用格林公式，运算曲线积分2 xy4 dx5 y3 x6 dy，其中 L欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源L为三顶点分别为0,0 、3,0 和3,2的三角形正向边界；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品

7、学习资源20. 验证以下P x, y dxQ x, ydy 在整个 xoy 平面内是某函数u x, y的全微欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分，并求这样的一个u x, y， 3x2 y8xy2 dxx 38x2 y12yeydy ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源21. 运算曲面积分x 2y 2dx ，其中 为抛物面 z2x2y 2 在 xoy 平欢迎下载精品学习资源面上方的部分；欢迎下载精品学习资源22. 运算面面积分2xy2x 2xz ds ，其中 为平面和三坐标闰面所围欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源立体的整个外表；24. 求抛物面壳 z1 x22y 20z1 的

8、质量，壳的度为 tz ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源25. 求平面 zx 介于平面 xy1 ， y0 和 x0 之间部分的重心坐标；欢迎下载精品学习资源26. 当 为 xoy 平面内的一个闭区域时，曲面积分R x, y, z dxdy 与二重积分有什么关系？欢迎下载精品学习资源27. 运算曲面积分zdxdyxdydzydzdx其中为柱面x2y 21 被平面欢迎下载精品学习资源22z 0 及 z3 所截的在第一卦限部分的前侧；欢迎下载精品学习资源28 计 算x 2dydzy 2dxdzz2 dxdy式 中为 球 壳xayb欢迎下载精品学习资源zc 2R2 的外外表；29 反 对 坐

9、标 的 曲 面 积 分 化 成 对 面 积 的 曲 面 积欢迎下载精品学习资源P x, y, z dydzQ x, y, z dzdxR x, y, zdxdy 化成对面积的曲面积分，其中是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源平面 3x2y23z6 在第一卦限的部分的上侧；欢迎下载精品学习资源30. 利用高斯公式运算曲面积：欢迎下载精品学习资源1 x 2dydzy 2dzdxz2dxdy ，其中 为平面 x0 ， y0 ， z0 ， xa ，欢迎下载精品学习资源ya ， za 所围成的立体的外表和外侧；欢迎下载精品学习资源2 xy dxdyyz xdydz，其中 为柱面x2y 21 与平面

10、 z0 ，z3欢迎下载精品学习资源所围立体的外外表；31. 运算向理穿过曲面流向指定侧的通量：欢迎下载精品学习资源12xz ix 2 y jxz2k， 为立体 0x a ， 0y a ， 0z a ，欢迎下载精品学习资源流向外侧；欢迎下载精品学习资源2xy z iy zx jz xyk，为 椭 球 面欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2y2a 2b 22z 1，流向外侧；c 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源32. 求向理场a xy icos xy jcos xz2k 的散度；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源233. 利用斯托克斯公式运算曲经积分ydxzdyxdz 其中

11、为圆周，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源222xyza ， xy z0 ，假设从 x轴正向看去，这圆周取逆时针方向；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源34. 证明y 2dxxydyxzdz0 ，其中 为圆柱面 x2y 22 y 与 yz 的交欢迎下载精品学习资源线；欢迎下载精品学习资源35 求 向 量 场 axy ix3yz j3xy 2 k， 其 中为 圆 周欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z 2x 2y 2 ， z0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源36求向量场zsin y izxcos yj 的旋度；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源37 计 算y2

12、z2 dxz2x 2 dyx2y 2 dz， 其 中为 用 平 面欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xyz3 切立方体 02x a ，0y a ，0xa 的外表所得切痕， 假设从 ox欢迎下载精品学习资源轴的下向看去与逆时针方向；B欢迎下载精品学习资源1. 运算yds ，其中 L 为抛物线 y 2 L2 px 由0,0 到x0 , y0的一段；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源L2 计 算y 2 ds， 其 中 L 为 摆 线 xa tsint， ya rcost一 拱欢迎下载精品学习资源0t2；欢迎下载精品学习资源3. 求半径为 a ，中心角为 24 的匀称圆弧 线心度1的重心；

13、欢迎下载精品学习资源4. 运算zds，其中 L 为螺线 xLt cost ， yt sin t ， zt 0t2；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 运算Lx21y 2z2ds ，其中 L 为空间曲线xt cost ，yt sin t ，欢迎下载精品学习资源zt 上相应于 t 从 0 变到 2 的这段弧；欢迎下载精品学习资源6. 设螺旋线弹簧一圈的方程为 xacost ， ya sin t ， zkt0t2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源它的线心度为x, y, yzx 2y2z2 ，求：欢迎下载精品学习资源1它关于 z 轴的转动惯量 I z ；2它的垂心；欢迎下载精品学习资

14、源7. 设 L 为曲线 xt ， yt 2 ， zt 3 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧，把对欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源坐标的曲线积分PdxLQdyRdz 化成对弧长的曲线积分；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源L8. 运算xy dxx 2xy dy y 2，其中 L 为圆周 x 2y 2a2 按逆时针方向绕欢迎下载精品学习资源行；欢迎下载精品学习资源L9. 运算ydxzdyxdz，其中 L 为曲线 xa cost ， ya sin t ， zbt ，欢迎下载精品学习资源从t0 到t2的一段；欢迎下载精品学习资源10. 运算x 2 Ly2 dxx 2y2dy ，其

15、中 L 为 y1| x | 0x2 方向为 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源增大的方向；11. 验证曲线积分值；2,11, 02xeyy dxx2 eyx2 ydy 与路径无关并运算积分欢迎下载精品学习资源12. 证明当路径不过原点时，曲线积分2,2xdxydy与路径无并，并运算欢迎下载精品学习资源1,1x2y2欢迎下载精品学习资源积分值；欢迎下载精品学习资源213. 利用曲线积分求椭圆 xa 22y1 的面积；b 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14. 利用格林公式运算曲线积分x 2Ly dxxsin 2y dy，其中 L 是圆周欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y

16、 2xx 2 上由点0,0 到点1,1 的一段弧；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源15. 利用曲线积分，求笛卡尔叶形线x3y33axy a0 的面积；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源16. 运算曲线积分ydxxdy，其中 L 圆周 x1 2y 22 ， L 的方向为欢迎下载精品学习资源L 2 x2y 2逆时针方向；欢迎下载精品学习资源17. 运算曲面积分3zds，其中为抛物面 z2x2y 2在 xoy 平面上的欢迎下载精品学习资源部分；欢迎下载精品学习资源18. 运算xyyzzx ds ，其中 是锥面 zx2y 2被柱面 x2y 22ax欢迎下载精品学习资源所截得的有限部分；欢

17、迎下载精品学习资源219. 求面心度为0 的匀称半球壳 xy 2z2a 2 z0 对于 z 轴的转动惯欢迎下载精品学习资源量；欢迎下载精品学习资源20. 求匀称的曲面 zx2y 2被曲面 x 2y 2ax 所割下部分的重心的坐欢迎下载精品学习资源标；欢迎下载精品学习资源21. 运算曲面积分 Ix2y 2fx, y, z ds ，其中z 2 a2欢迎下载精品学习资源f x, y, zx 2y2 , z0, zx 2y 2；x2y 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22. 运算xzdxdyxydydzyzdzdx，其中是平面 x0 ， y0 ， z0 ，欢迎下载精品学习资源xyz1 所围成

18、的空间区域的整个边界边界曲面的外例；欢迎下载精品学习资源223. 运算1dydzx1dxdzy1 dxdy ，其中 为椭球面 x za 2y 2z21；b 2c 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源24 计 算yz dydzzx dxdyxy dxdy， 式 中为 圆 锥 面欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2y 2z 0zh 的外外表；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源25. 设 ux, y, z， v x, y, z是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的函数，u 、 v 依次表示nnu x, y, z， v x, y, z沿

19、外法线方向的方向导数；证欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源明：u vv u dxdydzuvv nu ds ，其中 是空间闭区域的整个边n欢迎下载精品学习资源界曲面，这个公式叫做格林其次公式；欢迎下载精品学习资源26. 利用斯托克斯公式运算曲线积分x 2yz dxy 2xz dyz2xy dz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中 L 是螺旋线 xacost ， yasin t ， zh t ，从2A 0,0,0 到Ba,0, h的一段；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源27. 设 uu x, y, z是有两阶连续偏导数，求证：rotgradu0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下

20、载精品学习资源1. 求曲线的弧长 yxa arcsin， zaCaaln4ax 从Ox0,0到 A x0, y0, z0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 运算1L y 2ds ，其中 L 为悬链线 yach x ；a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 求匀称的弧 xet cost ， yet sin t ， zett0 的重心坐标；欢迎下载精品学习资源4. 运算Ly2dxR2x 24x2 y ln xR2x 2dy ，其中 e 是沿 x2y 2R2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由点 AR,0逆时针方向到 BR,0的半圆周；欢迎下载精品学习资源5设f x在,内

21、 有 连 续的导函 数 ，求欢迎下载精品学习资源1y2 fxy dxxy 2 f xy1 dy ，其中 L 是从点 A 3, 2到点 B 1,2的直线段；欢迎下载精品学习资源Lyy 23欢迎下载精品学习资源2,y2yyyy欢迎下载精品学习资源1,6. 运算1cosdx x2xsinxcosxxdy ，沿着不与 oy 轴相交的路欢迎下载精品学习资源径；7. 已知曲线积分xxy sinLx dxfx dy 与路径无关， xf x 是可微函数，欢迎下载精品学习资源且 f0 ，求 f x ；2欢迎下载精品学习资源8. 设在平面上有 Fxiy j3 2构成内场，求将单位质点从点1,1 移到2,4欢迎下载

22、精品学习资源x 2y 2场力所作的功；欢迎下载精品学习资源9. 已知曲线积分 Iy3dxL3xx3dy ，其中 L 为 x2y 2R2R0 逆欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源时针方向曲线： 1当 R 为何值时，使 I值？并求最大值；0 ？ 2当 R 为何值时，使 I 取的最大欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10. 运算 Ix 1x 2 z dydzy 1x2 z dzdxz 1x 2z dxdy 其中为曲面欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源zx 2y 20z1 的下侧；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11. 运算| xyz | ds，其中 的方程为| x | y

23、| z |1；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12. 运算曲面积分 I2 1xdydz，其中 是曲线 yx0x1 绕x 轴欢迎下载精品学习资源旋转一周所得曲面的外侧；欢迎下载精品学习资源L13. 运算x2xy dxx 22xy 2 dy ，其中 L 为由点A 4,0到点 O 0,0 的欢迎下载精品学习资源上半圆周 x 2y 24x欢迎下载精品学习资源L14. 证明3yx dxy xy3x dy 与路径无关， 其中 L 不经过直线 xy0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源32 ,33y且求1, 0x dxy xy3x dy 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源315.

24、 求圆锥 zx2y 20zh 的侧面关于 oz 轴的转动惯量；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2222216. 挑选 a ， b 值使 y2xyaxx2xybydy为某个函数u x, y 的欢迎下载精品学习资源x2y 2全微分，并求原函数 u x, y ；欢迎下载精品学习资源e x17. 运算曲面积分dxdy ，其中 为曲面 zx 2y2 ，平面 z1 ，欢迎下载精品学习资源x 2y2z2所围立体外面的外侧；18. 证明欢迎下载精品学习资源1 uvu vv u2 uv ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 xx2第十章曲线积分与曲面积分A欢迎下载精品学习资源1. 解：两点间直线

25、段的方程为： y1x ， 0x1欢迎下载精品学习资源故ds1y 2 dx121dx2 dx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以xLy dx1x1x02dx2 ；欢迎下载精品学习资源2. 解： L 的参数方程为x 1 acos 2y 1 asin 21 a2， 02欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就x2y 21 a cos221 a1 a sin221 | a |22 1cos欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 | a |2 122 cos212| a |cos2欢迎下载精品学习资源dsx 2y 2 d所以222a sin 22122a cos 21 | a |2欢迎下载

26、精品学习资源xy dsLacosd022欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 a 22cosd022cosd 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 a 222 sin2 022 sin22a 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源223. 解： dsx 2y2 dtat cost2at sin tdtatdt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故x 2 Ly 2 ds2a 2 cost0t sin tsin tt costatdt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2a 3tt 3 dt4224a3tt22 a 3 122欢迎下载精品学习资源4. 解：如图0e x 2

27、Ly2 ds2e x 2L102y dse x2L2y 2 dse x2L3y 2 ds欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xL1 ：yx ， 00xa ， ds102 dxdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x xL2 ：， 0xy x2 a ， ds2112 dx2dx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xL3 ：ya cost asint， 0x，4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dxx 2y 2 dt2a sin t2a costdtadt欢迎下载精品学习资源e x 2L2y dsa ex dx022 a e 2x02 dx4 eaadt0欢迎下载精品学习资源欢

28、迎下载精品学习资源2a|eexa2 x200aea4ea 2a24欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源445. 解： x 3y 34a 3 cos4 tsin 4 t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dsx 2y 2 dt3a cos22t sin t3a sin 2 t2cost欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源229a sin2t cost dt3asint costdt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4x3L4y 3ds73a 32 cos4 t04sintsin t costdt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源73a 31 cos6t621sin6 t6

29、074a 3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 解： dsx 2y 2z 2 dt2asin t2a costa 2 dt2 adt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z2 Lx 2y 2 ds20a costa 2t 222asint2adt22at 2 dt0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源|02 a 1 t 32382a；33欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7. 解：xydxL1y 2 y y 2dy11141y2y4 dy251515欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8. 解：直线段 AB 的方程为 x3yz ，化成参数方程为21欢迎下载精品学习资源

30、欢迎下载精品学习资源x3t ，y2t ， zt ， t 从 1 变到 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故3x dx22L23xy dy2x ydz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源033t313t 2t23t2t dt欢迎下载精品学习资源038787t dt149. 解：直线的参数方程为t ， y12t， z13t 0t1ydyxy1 dzx1xdxL欢迎下载精品学习资源11t2 12t03 1t12t1 dt欢迎下载精品学习资源1614t dt130欢迎下载精品学习资源10. 解：2aLy dx9y dy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22aa 10costa 1costaa 1costasin t dt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2a 210cos2 tcost sin t dta 221 102cos 2t1 sin 2t dt 2欢迎下载精品学习资源2a 21 dta 202欢迎下载精品学习资源211. 解： 1原式y 21y 2 yyy 2 dy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22 y 3y21y dy1 y 421 y3321 yh234213欢迎下载精品学习资源12原式2t0t1t 214t1t 212t 2t1 2t dt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 10t 305t 29t2 dt欢迎下载精品学习