2022年高中数学《导数及其应用》知识点总结 .docx

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1、精品_精品资料_导数及其应用学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数f x在区间12 x , x 上的平均变化率为：f x2 f x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 导数的定义：设函数yf x在区间 a,b上有定义,x0a, b,如 x 无限趋近于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 时,比值yf x0xf x0 无限趋近于一个常数A,就称函数f x在 xx0 处可导,可编辑资料 -

2、 - - 欢迎下载精品_精品资料_xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并称该常数 A 为函数f x 在xx0 处的导数,记作f x0 .函数f x 在xx0 处的导数的实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质是在该点的瞬时变化率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 求函数导数的基本步骤： （ 1）求函数的增量yf x0xfx0 .（ 2）求平均变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化率：f x0xf x0 x.（ 3）取极限,当x 无限趋近与 0 时,f x0xf x0 无限趋x可编辑资料

3、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_近与一个常数A,就 f x0 A .4. 导数的几何意义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f x 在xx0 处的导数就是曲线yf x 在点 x0 , f x0 处的切线的斜率.由此,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以利用导数求曲线的切线方程,详细求法分两步：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求出yf x在 x0 处的导数,即为曲线yf x在点 x0 , f x0 处的切线的斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在已知切点坐标

4、和切线斜率的条件下,求得切线方程为yy0f x0 xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当点 Px0, y0 不在yf x上时,求经过点 P 的yf x的切线方程,可设切点坐标,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由切点坐标得到切线方程,再将 P 点的坐标代入确定切点.特殊的, 假如曲线 yf x 在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0 ,f x0处的切线平行与 y 轴,这时导数不存在,依据切线定义,可得切线方程为xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

5、欢迎下载精品_精品资料_5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间 t 的函数示瞬时加速度.二、导数的运算1. 常见函数的导数：St ,就 VS t 表示瞬时速度,av t 表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） kxbk k, b 为常数 .（2） C0 C 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） x1 .（4） x2 2x .（ 5）3211x 3x .（6） xx 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7） x 1.（8） x2xx（ 为常数）.可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1（ 9） ax ax ln a a0,a1 .（10） log a x1 log a e x1a x ln a0, a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 11） ex xe .（12）ln x1 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 13） sin xcos x .（14） cos xsin x .2. 函数的和、差、积、商的导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） f xg xf xg x .可编辑资料

7、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） Cfx Cf x（ C 为常数）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） f x g xf xgxf xg x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） f x f xg xf x g xgx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23. 简洁复合函数的导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 yf u , uaxb ,就 yx

8、yuux ,即 yxyua .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf x在区间 a,b 内可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）假如恒（ 2）假如恒（ 3）假如恒f x 0 ,就函数 f x 0 ,就函数 f x 0 ,就函数yf xyf xyf x在区间 a,b 上为增函数. 在区间 a,b 上为减函数. 在区间 a,b 上为常数函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用

9、导数求函数单调性的基本步骤：求函数yf x的定义域.求导数f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解不等式f x0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间.解不等式f x0 ,解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在定义域内的不间断区间为减区间.反过来 , 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范畴）：设函数 yf x 在区间 a,b 内可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假如函数成区间 .yf x在区间 a, b 上为增函数 , 就 fx0 其中使f x0 的 x 值不

10、构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假如函数成区间 .yf x在区间 a, b 上为减函数 ,就 f x0 其中使f x0 的 x 值不构可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 假如函数yf x在区间 a, b 上为常数函数 ,就 f x0 恒成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求函数的极值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数yf x在 x0 及其邻近有定义,假如对x0 邻近的全部的点都有f xf x0 （或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf

11、x0 ）,就称f x0是函数f x的微小值（或极大值） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可导函数的极值,可通过讨论函数的单调性求得,基本步骤是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ）确定函数f x 的定义域. （ 2）求导数f x .（ 3）求方程f x0 的全部实根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2xn ,顺次将定义域分成如干个小区间,并列表：x 变化时,f x 和f x 值的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变化情形：x

12、, x1x1 x1 , x2 xnxn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x正负0正负0正负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x（ 4）检查单调性单调性单调性f x 的符号并由表格判定极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 求函数的最大值与最小值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数f x在定义域 I 内存在x0 ,使得对任意的xI ,总有f xf x0,就称f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为函数在定义域上的最大值.函数在定义域内的极值不肯定唯独,但在定义域内的最值是唯独的.可编辑资料 - -

13、 - 欢迎下载精品_精品资料_求函数（ 1）求f x 在区间 a, b 上的最大值和最小值的步骤：f x 在区间 a, b 上的极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）将第一步中求得的极值与小值.4. 解决不等式的有关问题：f a,f b比较,得到f x 在区间 a,b 上的最大值与最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）不等式恒成立问题（肯定不等式问题）可考虑值域.f x xA 的值域是 a, b 时,不等式 f x0 恒成立的充要条件是不等式 f x0 恒成立的充要条件是f x xA 的值域是 a, b

14、 时,f xmaxf xmin0 ,即0 ,即b a0 .0 .不等式 f x0 恒成立的充要条件是b0 .不等式 f x0 恒成立的充要条件是a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）证明不等式f x0 可转化为证明f xmax0 ,或利用函数f x的单调性, 转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 f xf x0 0 .5. 导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,肯定要留意,极值点唯独的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载