2022年高三数学一轮复习知识点归纳与总结直线平面平行的判定及其性质.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第四节直线、平面平行的判定及其性质 备考方向要明白考 什 么怎 么 考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.以立体几何的定义、公理和定理为动身点,熟悉和 懂得空间中线面平行的有关性质与判定定理2.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些空间图 形的平行关系的简洁命题.1.直线与平面平行的判定与性质及平面与平面平行的判定与性质是高考的热点之一,考查线线、线面以及面面平行的转化,考查同学的空间想象才能及规律推理才能2.从考查题型看, 既有客观题又有主观题客观题一般环绕线面平行的判定和性质定理的辨

2、析设计试题.主观题主要是环绕线、面平行的判定和性质定理的应用设计试题,一般设计为解答题中的一问,如2022 年浙江 T201 ,江苏 T162 ,福建 T182 等 .归纳 学问整合 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定定理平面外一条直线与这个平面内 的一条直线平行, 就该直线与此平面平行 线线平行 . 线面平行 l a, a. , l., l 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质定理一条直线与一个平面平行

3、,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简记为 “线面平行 . 线线平行” l , l. , b, l b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探究 1.假如一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行吗？提示： 不肯定只有当此直线在平面外时才有线面平行2假如一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面的任意一条直线都平行吗？提示： 不行以,对于任意一条直线而言,存在异面的情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

4、- - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定定理一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行,就这两个平面平行 简记为“线面平行. 面面平行” a , b, a b P,a. ,b. , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质定理假如两个平行平面同时和第三 个平面相交, 那么它们的交线平行 ,a, b, a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_探究 3.假如一个平面有很多条直线与另一个平面平行,

5、那么这两个平面平行吗？提示： 不肯定可能平行,也可能相交4假如两个平面平行,就一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 答案： 平行自测 牛刀小试 1以下命题中,正确选项 A 如 a b,b. , 就 a B如 a , b. ,就 a b C如 a , b,就 a bD如 a b,b , a.,就 a 解析： 选 D由直线与平面平行的判定定理知,三个条件缺一不行,只有选项D 正确2 一条直线l 上有相异三个点A、B、C 到平面 的距离相等,那么直线l 与平面 的位置关系是 A l B l Cl 与 相交但不垂直D l 或 l . 解析： 选 D当直线 l 或 l . 时,满意条件3 教材习

6、题改编已知平面 ,直线 a. ,有以下说法： a 与 内的全部直线平行. a 与 内很多条直线平行. a 与 内的任意一条直线都不垂直 其中真命题的序号是 解析：由面面平行的性质可知,过 a 与 相交的平面与的交线才与a 平行,故错误.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -正确.平面内的直线与直线a 平行,异面均可,其中包括异面垂直,故错误答案

7、： 4如图,在空间四边形ABCD 中, M AB, NAD ,如 AM AN,就MBND直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：AM MBAN,MN BD , ND可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 MN .平面 BCD, BD . 平面 BCD ,MN 平面BDC .答案： 平行5教材习题改编 过三棱柱ABC A1B1C1 的棱 A1C1,B1C1 ,BC,AC 的中点 E、F 、G、H 的平面与平面 平行解析： 如下列图, E、F 、G、H 分别为 A1C1、B1C1、BC 、AC 的中点,EF A1B1, FG B1

8、B,且 EF FG F, A1B1B1B B1平面EFGH 平面ABB1A1 .答案： ABB1 A1线面平行的判定及性质例 1正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于AB,在 AE、BD 上各有一点P、 Q,且 APDQ .求证： PQ平面 BCE.自主解答 法一： 如下列图,作PM AB 交 BE 于 M ,作 QNAB交 BC 于 N,连接 MN .正方形 ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB,AE BD .又 AP DQ ,PE QB, 又 PM ABQN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PMPEAEABQBBD,QNDC BQBD ,可编辑资料 -

9、- - 欢迎下载精品_精品资料_PMQNDC,AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -PM 綊 QN,即四边形PMNQ 为平行四边形,PQMN .又 MN . 平面 BCE, PQ.平面 BCE ,PQ平面BCE.法二： 如下列图,作PH EB 交 AB 于 H ,连接 HQ ,就 AH AP,HBPEAE BD, AP DQ ,PE BQ,

10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AHAPHBPEDQBQ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_HQ AD ,即 HQ BC.又 PH HQ H, BC EB B,平面PHQ 平面BCE,而 PQ. 平面 PHQ ,PQ平面BCE.本例如将条件“APDQ ”改为“ AP DQ ”,就直线PQ 与平面 BCE 仍平行吗？PEQB解： 平行证明如下：如下列图,连接AQ,并延长交BC 于 K,连接 EK.AD BK ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DQAQAPQK.又BQPEDQQB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_APAQQK,PEPQE

11、K .又 PQ 平面 BEC, EK . 平面 BEC,PQ平面BEC.证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法1证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2利用几何体的特点,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、查找比例式证明两直线平行.3留意说明已知的直线不在

12、平面内,即三个条件缺一不行1如图,正方体ABCD A1B1C1D1 中, AB2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,如 EF 平面 AB1 C,就线段EF 的长度等于 解析： EF 平面AB1C,EF. 平面 ACD ,平面 ACD 平面 AB1C AC,EF AC,又 E 为 AD 的中点, AB 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACEF 12122 22 2 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：22 2022 无锡模拟 如图, PA平面 ABCD ,四边形ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,求证：AF 平面 PCE

13、.证明： 如图,取PC 的中点 M ,连接 ME 、MF ,就 FM CD 且 FM 1CD.21又AECD 且 AE 2CD ,FM 綊 AE,即四边形AFME 是平行四边形AF ME ,又AF .平面 PCE, EM . 平面 PCE,AF 平面PCE.面面平行的判定与性质例 2如下列图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1 中,底面是正方形, E, F ,G 分别是棱B1B, D1D, DA 的中点求证：平面AD1E平 面 BGF .自主解答 E, F 分别是 B1B 和 D 1D 的中点, D1 F 綊 BE,四边形 BED 1F 是平行四边形,D1EBF.可编辑资料 - - - 欢迎

14、下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -又D1E.平面 BGF , BF. 平面 BGF ,D1E平面BGF .FG 是DAD 1 的中位线,FG AD 1.又 AD 1 平面 BGF , FG. 平面 BGF ,AD 1平面BGF .又AD 1 D1E D1,平面AD 1E平面BGF .判定面面平行的方法1利用定义：即证两个平面没有公共点不常用 . 2利用面面平行的判定定

15、理主要方法 .3利用垂直于同一条直线的两平面平行客观题可用 . 4利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,就这两个平面平行客观题可用 3如下列图, ABCD A1B1C1D 1 是棱长为a 的正方体, M ,N 分别是下底面的棱A1B1, B1 C1 的中点, P 是上底面的棱AD 上的一点, APa ,过 P,M ,N 的平面交上底面于PQ,Q 在 CD 上,就 PQ .3解析： 平面ABCD 平面A1B1 C1D1,MNPQ.aM 、N 分别是 A1B1, B1C1 的中点, AP 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aCQ 3,从而 DP DQ a答案： 2

16、232a3 ,PQ223 a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4如下列图,在正方体ABCD A1B1C1D1 中, M 、N、P 分别为所在边的中点求证：平面 MNP 平面 A1C1B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明： 如下列图,连接D1C,就 MN 为DD 1C 的中位线,MN D 1C.D1CA1B,MN A1B

17、.同理可证, MP C1B.而 MN 与 MP 相交, MN ,MP 在平面 MNP 内,A1B,C1B 在平面 A1C1B 内,平面 MNP平面A1C1B.线面平行中的探干脆问题例 32022 徐州模拟 如下列图,在三棱柱ABCA1B1C1 中, A1A平面 ABC,如 D 是棱 CC 1 的中点,问在棱AB 上是否存在一点E,使 DE 平面 AB1C1？如存在,请确定点E 的位置.如不存在,请说明理由自主解答 存在点 E,且 E 为 AB 的中点下面给出证明：如图,取 BB1 的中点 F ,连接 DF , 就 DF B1C1,AB 的中点为E,连接 EF ,就 EFAB1.B1C1 与 A

18、B1 是相交直线,平面DEF 平面AB1 C1.而 DE . 平面 DEF ,DE 平面AB1 C1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -破解探干脆问题的方法解决探究性问题一般要采纳执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果动身,查找使这个结论成立的充分条件,假如找到了符合题目结果要求的条件,就存在. 假如找不到符合题目结果要求的条件显现

19、冲突 ,就不存在5.如图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D 1 中,底面ABCD 为等腰梯形, AB CD ,且 AB 2CD ,在棱 AB 上是否存在一点F,使平面 C1CF 平面 ADD 1A1？如存在,求点F 的位置.如不存在,请说明 理由解：存在这样的点F ,使平面 C1CF 平面ADD 1A1,此时点 F 为AB 的中点,证明如下：ABCD ,AB2CD ,AF 綊 CD ,四边形 AFCD 是平行四边形,AD CF ,又 AD . 平面 ADD 1A1,CF.平面 ADD 1A1,CF 平面ADD 1A1.又 CC 1DD 1, CC 1.平面 ADD 1A1 ,DD 1. 平面

20、 ADD 1A1,CC 1平面ADD 1A1,又 CC 1、CF . 平面 C1CF , CC 1 CF C,平面C1CF平面ADD 1A1.1 个关系 三种平行间的转化关系线线平行、 线面平行、 面面平行的相互转化是解决与平行有关证明题的指导思想,解题中既要留意一般的转化规律,又要看清题目的详细条件,挑选正确的转化方向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

21、- - - -2 种性质 线面、面面平行的性质1线面平行的性质：直线与平面平行,就该直线与平面无公共点由线面平行可得线线平行2面面平行的性质：两平面平行,就一个平面内的直线平行于另一平面如一平面与两平行平面相交,就交线平行3 种方法 判定线面平行的方法面面平行判定的落脚点是线面平行,因此把握线面平行的判定方法是必要的,判定线面平行的三种方法：1利用定义：判定直线与平面没有公共点一般结合反证法进行. 2利用线面平行的判定定理.3 利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任始终线平行于另一平面.数学思想 转化与化归思想在证明平行关系中的应用线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平

22、行关系,它们之间可以相互转化,其转化关系如下：证明平行的一般思路是：欲证面面平行, 可转化为证明线面平行,欲证线面平行, 可转化为证明线线平行典例 2022 盐城模拟 如图, P 为.ABCD 所在平面外一点,M ,N 分别为 AB, PC 的中点,平面PAD平面 PBC l .1判定 BC 与 l 的位置关系,并证明你的结论. 2判定 MN 与平面 PAD 的位置关系,并证明你的结论 解1 结论： BCl ,由于 AD BC, BC.平面 PAD, AD. 平面 PAD ,所以 BC 平面PAD .又由于 BC. 平面 PBC,平面 PAD 平面 PBC l,可编辑资料 - - - 欢迎下载

23、精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以 BC l . 2结论： MN 平面PAD.设 Q 为 CD 的中点,如右图所示,连接NQ , MQ ,就 NQ PD , MQ AD .又由于 NQ MQ Q, PD AD D,所以平面 MNQ 平面PAD.又由于 MN . 平面 MNQ , 所以 MN 平面PAD. 题后悟道 1此题 1将线面平行的判定定理和性质定理交替使用,实现

24、了线线平行的证明.此题2 奇妙的将线面平行的证明转化为面面平行,进而由面面平行的性质,得到结论的证明 2利用相关的平行判定定理和性质定理实现线线、线面、面面平行关系的转化,也要留意平面几何中一些平行的判定和性质的敏捷应用,如中位线、 平行线分线段成比例等,这些是空间线面平行关系证明的基础变式训练 如图,在四周体PABC 中, PC AB,PABC ,点 D ,E,F ,G 分别是棱AP,AC,BC, PB 的中点1求证： DE 平面 BCP.2求证：四边形DEFG 为矩形.证明： 1由于 D ,E 分别为 AP, AC 的中点,所以DE PC.又由于 DE .平面 BCP, PC. 平面 BC

25、P , 所以 DE 平面BCP.2由于 D, E,F , G 分别为 AP, AC,BC, PB 的中点, 所以 DE PCFG , DGABEF,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -所以四边形DEFG 为平行四边形又由于 PCAB,所以 DE DG ,所以四边形DEFG 为矩形一、挑选题 本大题共6 小题,每道题5 分,共 30 分1已知

26、直线a平面 , P ,那么过点P 且平行于直线a 的直线 A 只有一条,不在平面内B有很多条,不肯定在平面内C只有一条,在平面内D有很多条,肯定在平面内解析： 选 C由线面平行的性质可知C 正确2以下命题中正确的个数是如直线 a 不在 内,就 a.如直线 l 上有很多个点不在平面内,就 l .如 l 与平面 平行,就l 与 内任何一条直线都没有公共点.平行于同一平面的两直线肯定相交A 1B 2C3D 4解析： 选 A对,如a.,就 与 相交或平行,故错误.对,当直线l 与 相交时,也有直线l 上的很多个点不在平面内,故错误.正确.对,平行于同一平面的两直线相交、平行或异面,故错误3 2022

27、江西九校联考 平面 平面 的一个充分条件是 A 存在一条直线a,a , a B存在一条直线a, a. , a C存在两条平行直线a, b, a. ,b. , a , b D存在两条异面直线a, b, a. , b. ,a , b 解析： 选 D依据两平面平行的条件,可得选项D 符合4如图,在正方体中,A、B 为正方体的两个顶点,M 、N、P 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

28、 - - - - - - - - - -所在棱的中点,就异面直线MP 、AB 在正方体以平面PBM 为正面的正视图中的位置关系是A 相交B 平行C异面D 不确定解析： 选 B在正视图中AB 是正方形的对角线,MP 是平行于对角线的三角形的中位线,所以两直线平行,应选B.5设 、为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“ m,n. ,且 ,就 m n”中的横线处填入以下三组条件中的一组,使该命题为真命题 , n. . m , n . n , m. .可以填入的条件有A 或B 或C或D 或或解析： 选 C由面面平行的性质定理可知,正确.当n,m. 时, n 和 m 在同一平面内,且没有公

29、共点,所以平行,正确6以下四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M , N, P 分别为其所在棱的中点,能得出AB平面 MNP 的图形的序号是A B CD 解析： 选 B由平面ABC平面MNP ,可得 AB平面MNP .由 AB CD , CD NP,得 ABNP,所以 AB平面MNP .二、填空题 本大题共3 小题,每道题5 分,共 15 分7考察以下三个命题,在“ 处”都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题 其中 l, m 为不同直线,、为不重合平面 ,就此条件为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1

30、2 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -m. l ml m. l .m . l .l . l .解析： 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,故此条件为： l .答案： l.8 2022 济宁模拟 过三棱柱ABC A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1 平行的直线共有 条解析： 过三棱柱 ABC A1 B1 C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC, BC, A1C1, B1C1 的中点分别为 E,F ,

31、E1,F 1,就直线 EF , E1F 1, EE1, FF 1 ,E1F ,EF 1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条答案： 692022 南京模拟 已知 l,m 是两条不同的直线,是两个不同的平面,以下命题：如 l. , m. , l ,m ,就 .如 l. , l , m,就 l m.如 , l ,就 l .如 l , m l , ,就 m.其中真命题是 写出全部真命题的序号解析： 当 l m 时,平面 与平面 不肯定平行, 错误. 由直线与平面平行的性质定理,知正确.如, l ,就 l . 或 l ,错误. l, lm,m,又 ,m,正确,故填 .答案： 三、解

32、答题 本大题共3 小题,每道题12 分,共 36 分 10如图,始终空间四边形ABCD 中, E 是 AB 上一点, G 是三角形ADC 的重心,试在线段AE 上确定一点F ,使得 GF 平面 CDE.解： 如图,连接AG 并延长,交CD 于点 H ,就 AG 2,连接 EH .GH1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在 AE 上取一点F

33、,使得 AF 2,连接 GF,就 GFEH,又 EH. 平面 CDE ,C1F 平面FE1CDE .易知当 AF 2FE 时, GF 平面CDE .112022 连云港模拟 如图,在直三棱柱ABC A1B1C1 中, AB AC 5,BB1 BC 6, D, E 分别是 AA1 和 B1C 的中点1求证： DE 平面 ABC. 2求三棱锥E BCD 的体积2解： 1证明：取BC 中点 G,连接 AG,EG,由于 E 是 B1C 的中点,所以EGBB1,且 EG1BB1.由直棱柱知, AA1 綊 BB1,而 D 是 AA 1 的中点, 所以 EG 綊 AD,所以四边形 EGAD 是平行四边形,

34、所以 EDAG,又 DE.平面 ABC ,AG. 平面ABC所 以 DE 平 面 ABC. 2由于 ADBB1,所以AD 平面BCE,所以VE BCD VD BCEVA BCE VE ABC,由 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知,DE 平面ABC,所以 VE ABC VD ABC 3AD2BCAG 3 646可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12.122022 黄山模拟 如图, 在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,ABC 60, PA AC a, PB PD2a,点 E 在 PD 上,且 PEED 2 1,在棱 PC 上是否存在一点F ,使 BF 平面

35、AEC ？证明你的结论证明： 存在证明如下：取棱PC 的中点 F ,线段 PE 的中点 M,连接 BD.设 BD ACO .连接 BF , MF , BM ,OE .PEED 21,F 为 PC 的中点, M 是 PE 的中点, E 是 MD 的中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点,MF EC, BM OE .MF .平面 AEC,CE

36、 . 平面 AEC,BM .平面 AEC, OE. 平面 AEC,MF 平面AEC,BM 平面AEC.MF BM M ,平面BMF 平面AEC.又 BF. 平面 BMF ,BF 平面AEC.1 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,矩形对角线交点为O, M 为PB 的中点,给出四个结论：OM PD. OM 平面 PCD . OM 平面 PDA . OM 平面 PBA, OM 平面 PCB.其中正确的个数有A 1B 2C3D 4解析： 选 C由题意知, OM PD ,就 OM平面PCD ,且 OM 平面PDA.2已知平面平面 , P 是 , 外一点,过点P 的直线 m 与 , 分别交于A, C,过点 P 的直线 n 与 ,分别交于B,D,且 PA 6,AC 9,PD 8,就 BD 的长为 解析：