2022年高三第二轮专题复习系列 3.docx

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1、精品_精品资料_高三数学其次轮专题复习系列6- 不等式一、本章学问结构：实数的性质不等式的性质均值不等式不等式的证明不等式的解法不等式的应用比较法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含肯定值不等式函数性质的争论最值的运算与争论实际应用问题二、高考要求1懂得不等式的性质及其证明.2把握两个不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,并会简洁应用.3分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式.4把握某些简洁不等式的解法.5懂得不等式 |a| |b| |a+b| |a| +|b|.三、热点分析1. 重视对基础学问的考查,设问方式不断创新.重点考查四种题型： 解不等式

2、, 证明不等式,涉及不等式应用题, 涉及不等式的综合题, 所占比例远远高于在课时和学问点中的比例 .重视基础学问的考查,常考常新,创意不断,设问方式不断创新,图表信息题,多项挑选型填空题等情形新奇的题型受到命题者的青眯,值得引起我们的关注.2. 突出重点,综合考查,在学问与方法的交汇点处设计命题,在不等式问题中包蕴着丰富的函数思想,不等式又为争论函数供应了重要的工具,不等式与函数既是学问的结合点,又是数学学问与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础学问的同时,将不等式的重点学问以及其他学问有机结合,进行综合考查,强调学问的综合和学问的内在联系,加大数学思

3、想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点.3. 加大推理、论证才能的考查力度,充分表达由学问立意向才能立意转变的命题方向. 由于代数推理没有几何图形作依靠,因而更能检测出同学抽象思维才能的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为学问背景,并与高等数学学问及思想方法相连接,立意新奇,抽象程度高,有利 于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能表达出高观点、低设问、深化浅出的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点,考查容量之大、功能之多、才能要求之高,始终是高考的热点.4. 突出不等式的学问在解决实际问题中的应用价值,借助不等式

4、来考查同学的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳固的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用.高考试题中有以下几个明显的特点：1不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多,单独考查不等式的试题题量很少.2挑选题 ,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题,特殊是应用题和压轴题几乎都与不等式有关.3不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法,而放缩法作为一种帮助方法不容无视.四、复习建议1. 力求娴熟把握不等式的性质,以最大限度的削减不等式解题中可能显现的失误.2. 对于不等式的证明,应略高于教材上有关例题和习题的

5、难度.必需重视演练与其它内容综合在一起的证明题,特殊是综合教材上的例题与习题、创新题.3. 对于解不等式,一般不需超出教材上的例题和习题的难度,也不要超出教材上的例题和习题所涉及的范畴,但对于需要分类求解的不等式应赐予充分的留意,而这类习题的分类一般不超过两层.4. 娴熟把握利用平均值不等式求最值的方法及其使用条件, 并重视在几何和实际问题中的应用.5,通过训练 ,使同学把握等价转化思想和化归思想 ,培育同学的代数推理才能 ,提高同学应用不等式学问解决问题的才能 .6. 重视数学思想方法的复习依据本章上述的命题趋向我们迎考复习时应加强数学思想方法的复习 .在复习不等式的解法时, 加强等价转化思

6、想的训练与复习.解不等式的过程是一个等价转化的过程,通过等价转化可简化不等式组,以快速、精确求解.加强分类争论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中,如含参数等问题,一般要对参数进行分类争论 .复习时,同学要学会分析引起分类争论的缘由,合理的分类,做到不重不漏 .加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不行分, 相互联系、相互转化.如求参数的取值范畴问题,函数与方程思想是解决这类问题的重 要方法 .在不等式的证明中,加强化归思想的复习,证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程,既可考查同学的基础学问,又可考查同学分析问题和解决问题的才能,正由于证不等式是

7、高考考查同学代数推理才能的重要素材,复习时应引起我们的足够重视 .利用函数 fx=x a 0的单调性解决有关最值问题是近几年高考中的热点,应加强这方面的训练和指导.7. 强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的学问,加强不等式应用才能, 是提高解综合题才能的关键.因此,在复习时应加强这方面训练,提高应用意识,总结不等式的应用规律,才能提高解决问题的才能.如在实际问题应用中,主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法,求最值时要留意等号成立的条件,防止不必要的错误 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

8、料_五、典型例题【例 1】解不等式：ax2不等式的解法1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原不等式可化为：a1x2x2a 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a 1x+2 a x2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,原不等式与 x aa2x 2 0 同解.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 aa2 2,即 0a 1 时,原不等式无解.假设1a2 2,即 a 0 或 a 1,于是 a a1可编辑资料 - - -

9、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 时原不等式的解为 , aa2 2, + .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,假设 a 0,解集为 aa综上所述：2 , 2.假设 0 a1,解集为 2, a2 1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时解集为 , aa2 2, +.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a 1 时,解集为 2, aa当 a=0 时,解集为.2 .1可编辑资料 - -

10、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时,解集为 aa2 , 2.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】设不等式 x2 2ax+a+20的解集为 M,假如 M 1, 4,求实数 a 的取值范畴.解： M 1,4有 n 种情形：其一是 M=,此时 0.其二是 M,此时 0,分三种情形运算 a 的取值范畴 .设 fx= x2 2ax+a+2,有 = 2a24a+2=4 a2 a 2 1当 0 时, 1 a 2, M= 1,42当 =0 时, aa= 1 时 M = 1 1, 4.当 a=2 时, m=2 1, 4.3当 0 时,

11、a 1 或 afx=0 的两根 x1,x2 ,且 x1 x2,那么 M = x1,x2,M 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41x1 x24f 10,且f 40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a4,且0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a30即 187a0a0,解得： 2 a 18 ,7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1或a2 M 1,4时, a 的取值范畴是 1, 18 .7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】解关于 x 的不等式：log 2 x1log 4 a x21a0 可编辑资料 - - - 欢

12、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原不等式等价于x10a x2x1 2110a x2,即1x1x21.axax20x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 a1 ,所以 12,所以,上述不等式等价于aaxa x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答这个含参数的不等式组,必定需要分类争论, 此时, 分类的标精的确定就成明白答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的关键如何确定这一标准？1当 1a2 时,不等式组等价于x21 ax2或xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时,由于21aaa1 2a

13、0 ,所以 21a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而21 axa或x2 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 a2 时,不等式组等价于2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以x32 ,且 x2 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3当 a2 时,不等式组等价于ax2或xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时,由于 21a综上可知：2 ,所以, 21ax2或xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1a2 时,原不等式的解集为1x 2xaa或x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a2 时,原不等式的解集为x x3,且 x2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a2 时,原不等式的解集为x 21 ax2或xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】解关于 x 的不等式：4loga xloga x2 a0, a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原不等式等价于可编辑资料 -

15、 - - 欢迎下载精品_精品资料_4loga x0 logx202log a x42log a x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a4loga xlog a x2log 2 x3 logx0aalog a x3或log a x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3log a x4,当 a1时,原不等式的解集为x a3xa 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1时,原不等式的解集为x a 4xa3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】设函数 f xaxx21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1当 a2 时,解不等式f xf 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求 a的取值范畴,使得函数fx 在 1,上为单调函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_讲解：1 a2 时,f xf 1 可化为： 2 x1x 21 ,等价于：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

17、 - - 欢迎下载精品_精品资料_x104 x1 2x 21或x10x 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得1x5,解得x1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,原不等式的解集为x1x5 或x1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222任取x1 , x21,且 x1x2 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1f x2ax11ax22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

18、资料_xx1x11x122a x1x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a x1x2x12x1 21x 22x221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2ax1x2x1221x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使函数f x 在 1,上为单调函数,需且只需：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax1x121x2恒成立,或 ax122x1x2x1221x2恒成立1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此, 只要求出x12x11x22x21在条件“x1, x21,且 x1x

19、2 ”之下的最大、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值即可 为了探求这个代数式的最值,我们可以考虑极端情形, 如： x11, x21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简洁知道,此时x12x11x22x21.假设考虑 x1x2,就不难看出,此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时x1x121x2x 2211 ,至此我们可以看出：要使得函数f x 为单调函数,只需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_事 实 上 , 当 a1时 , 由 于 x1x 2x11x2 210 恒 成 立 ,

20、所 以 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2x1x122121 所 以 , 在 条 件 “x1 , x21, 且 x1x 2 ” 之 下 , 必 有 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx1fx20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,fx 在区间 1,上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,由 1可以看出：特例 a2 的情形下,存在f 1f5由此可以猜想：3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数

21、fx 在区间 1,上不是单调函数为了说明这一点,只需找到x1, x21,a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使得 f x1f x2a 21即可简便起见,不妨取x11 ,此时,可求得 x 2a211 ,也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： f 1f2a1a ,所以,f x 在区间 1,上不是单调函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另解：fxax,对 x1,x21,易知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 时,xx21.当 x时,

22、x1 .x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 x1,时,x1 , x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而只须 a1 ,必有 fx0 ,函数在 x1,上单调递减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 6】已知 fx是定义在 1, 1上的奇函数,且f1=1 ,假设 m、n 1,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m+n0时f mmf n n 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 用定义证明 fx在 1, 1

23、上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 解不等式： fx+1 f 21.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设 fx t2 2at+1 对全部 x 1,1,a 1,1恒成立,求实数 t 的取值范围.解： 1证明：任取 x1 x2,且 x1, x2 1,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 fx1 fx2= fx1+ f x2=f x1 f x2 x1 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1x1 x21,x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x

24、1+ x2 ,0由已知f x1 x1f x2 0,又 x1 x2 0,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx1 fx2 0,即 f x在 1, 1上为增函数 . 2解： fx在 1, 1上为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x112111x1x112x1解得： x|3 x 1, x R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3解：由 1 可知 fx在 1,1上为增函数,且f1=1 , 故对 x 1,1,恒有 fx 1,所以要 fx t2 2at+1 对全部 x 1, 1, a 1,1恒成立,即要 t2 2at+11成立,故 t2 2at0,

25、记 ga=t2 2at,对 a 1, 1, ga 0, 只需 ga在 1, 1上的最小值大于等于0, g 1 ,0g1 ,0解得, t 2 或 t=0 或 t 2. t 的取值范畴是： t|t 2 或 t=0 或 t2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 7】给出一个不等式x21c xc1c x R.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2体会证：当 c=1, 2, 3 时,对于 x 取一切实数,不等式都成立.试问：当 c 取任何正数时,不等式对任何实数x 是否都成立？假设能成立,请给出证明. 假设不成立,恳求出c 的取值范畴,使不等式对任何实数x 都能成立.可编

26、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 f x=x 21x 2c ,设 u=x2cc u c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u 21就 fx=u1uu c u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xc1u1 c1ucuc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cucuc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使不等式成立,即fxc1 0c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u c 0只须 uc 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u 2c1u2121 x

27、 +ccc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x21 c故当 c= 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2原不等式不是对一切实数x 都成立,即原不等式对一切实数x 不都成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使原不等式对一切实数x 都成立,即使 x2x2 0故 1 c0c1 c 对一切实数都成立.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 1c0 c 1 时,原不等式对一切实数x 都能成立.不等式的证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】已知 a2 ,求证：log a 1 alog a a1可编辑资料 - - -

28、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1： log a 1 aloga a11loga a1loga a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1log a a1log a a1log a a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 a2 ,所以,log a a10, log a a10 ,所以,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a a1log a a1log alog aa 12a 21log a 2alog212a a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

29、精品资料_44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,log a 1 alog a a10 ,命题得证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 2：由于 a2 ,所以,log a a10, log a a10 ,所以,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a 1 a log a a11log a a1log a a1log a a1,1log a a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由解 1 可

30、知：上式 1故命题得证【例 2】已知 a 0, b 0,且 a+b=1.求证： a+1 b+ 1 25 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法一： 分析综合法 欲证原式,即证 4 ab2+4a2+b2 25ab+40,即证 4ab2 33ab+8 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即证 ab1ab8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 或4 a 0, b 0,a+b=1 , ab8不行能成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1=a+b2 ab , ab14证法二： 均值代换法

31、,从而得证 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 a=1 +t1, b= 1 +t2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a+b=1, a 0, b 0, t1+t2=0, |t1|1 , |t2| 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 ab1 ba 21 ab 21 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1t1 22112t2 211t1421 1tt14221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t2tt11112t

32、2222t 112t 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1t14211tt142215t 2 22t422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t2532216221t241t 2 24t4252161425 .41t 2 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显当且仅当 t=0,即 a=b=证法三： 比较法1 时,等号成立 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a+b=1, a 0, b 0, a+b2 ab , ab14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 a ab1 ba1 25a12b 4a1 25b4b 21 b254a 2b 2433ab84ab14ab84abab 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法四： 综合法 a+b=1, a 0, b 0, a+b2 ab , ab1 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_131ab144291ab161ab 211251641ab 2125ab4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即a1 b1 25ab4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法五： 三角代换法 a0, b 0, a+b=1,故令