2022年高三第二轮专题复习系列5.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学其次轮专题复习系列 一、本章学问结构：实数的性质6- 不等式不等式的证明不等式的性质不等式的解法均值不等式不等式的应用比较法一元一次不等式函数性质的争论综合法一元二次不等式最值的运算与争论分析法分式高次不等式实际应用问题其它方法含肯定值不等式二、高考要求1懂得不等式的性质及其证明；2把握两个不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,并会简单应用；3分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式；4把握某些简洁不等式的解法；5懂得不等式 |a| |b| |a+b| |a| +|b|；三、热点分析1.重视对基础学问的考查,设问方式不断

2、创新 .重点考查四种题型：解不等式, 证明不等式,涉及不等式应用题,涉及不等式的综合题,所占比例远远高于在课时和学问点中的比例 .重视基础学问的考查,常考常新,创意不断,设问方式不断创新,图表信息题,多项挑选型填空题等情形新奇的题型受到命题者的青眯,值得引起我们的关注 . 2.突出重点,综合考查,在学问与方法的交汇点处设计命题,在不等式问题中包蕴着丰富的函数思想,不等式又为争论函数供应了重要的工具,不等式与函数既是学问的结合点,又是数学学问与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是重中之重 .在全面考查函数与不等式基础学问的同时,将不等式的重点学问以及其他学问有机结合,进行综合考查,强调学问

3、的综合和学问的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点 . 3.加大推理、论证才能的考查力度,充分表达由学问立意向才能立意转变的命题方向 .由于代数推理没有几何图形作依靠,因而更能检测出同学抽象思维才能的层次 .这类代数推理问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为学问背景,并与高等数学学问及思想方法相连接,立意新奇,抽象程度高,有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能表达出高观点、低设问、深化浅出的第 1 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - -

4、- 特点,考查容量之大、功能之多、才能要求之高,始终是高考的热点 . 4.突出不等式的学问在解决实际问题中的应用价值,借助不等式来考查同学的应用意识. 不等式部分的内容是高考较为稳固的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用；高考试题中有以下几个明显的特点：1不等式与函数、数列、几何、导数 独考查不等式的试题题量很少；,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多,单2挑选题 ,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题,特殊是应用题和压轴题几 乎都与不等式有关；3不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法,而放缩法作为一种帮助方法不容无视；四、复习

5、建议 1力求娴熟把握不等式的性质,以最大限度地削减不等式解题中可能显现的失误；2对于不等式的证明,应略高于教材上有关例题和习题的难度；必需重视演练与其它内 容综合在一起的证明题,特殊是综合教材上的例题与习题、创新题；3对于解不等式,一般不需超出教材上的例题和习题的难度,也不要超出教材上的例题 和习题所涉及的范畴,但对于需要分类求解的不等式应赐予充分的留意,而这类习题 的分类一般不超过两层；4娴熟把握利用平均值不等式求最值的方法及其使用条件,的应用；并重视在几何和实际问题中5,通过训练 ,使同学把握等价转化思想和化归思想,培育同学的代数推理才能,提高同学应用不等式学问解决问题的才能. 6.重视数

6、学思想方法的复习依据本章上述的命题趋向我们迎考复习时应加强数学思想方法的复习 .在复习不等式的解法时,加强等价转化思想的训练与复习 .解不等式的过程是一个等价转化的过程,通过等价转化可简化不等式组,以快速、精确求解 .加强分类争论思想的复习 .在解不等式或证不等式的过程中,如含参数等问题,一般要对参数进行分类争论 .复习时,同学要学会分析引起分类争论的缘由,合理的分类,做到不重不漏 .加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不行分,相互联系、相互转化 .如求参数的取值范畴问题,函数与方程思想是解决这类问题的重要方法 .在不等式的证明中,加强化归思想的复习,证不等式的过程

7、是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程,既可考查同学的基础学问,又可考查同学分析问题和解决问题的才能,正由于证不等式是高考考查同学代数推理才能的重要素材,复习时应引起我们的足够重视 .利用函数 fx=x a0的单调性解决有关最值问题是近几年高考中的热点,应加强这方面的训练和指导 . 7.强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的学问,加强不等式应用才能,是提高解综合题才能的关键.因此,在复习时应加强这方面训练,提高应用意识,总结不等式的应用规律,才能提高解决问题的才能.如在实际问题应用中,主要有构防造不等式求解或构

8、造函数求函数的最值等方法,求最值时要留意等号成立的条件,止不必要的错误.第 2 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、典型例题不等式的解法【例 1】解不等式：xa21a2a 0,解：原不等式可化为：a1xx2即 a1x+2 ax20. 当 a1 时,原不等式与 xa 2x20 同解 . a 1假设 a 22,即 0a1 时,原不等式无解；假设 a 22,即 a0 或 a1,于是 aa 1 a 11 时原不等式的解为 ,a 2 2,+ .a 1当 a1 时,假设 a0,解集为 a 2,2；假设 0a1

9、,解集为 2,a 2 a 1 a 1综上所述：当 a1 时解集为 ,a22,+；1,4,求实数a 的取值范a1当 0a1 时,解集为 2,a2；a1当 a=0 时,解集为；当 a0 时,解集为 a2,2. a1【例 2】设不等式x22ax+a+20的解集为 M,假如 M围. 解： M1,4有 n 种情形：其一是M=,此时 0；其二是 M,此时 0,分三种情形运算a 的取值范畴 . 设 fx= x22ax+a+2,有 =2a24a+2=4 a2a2 1当 0 时, 1a2, M= 1,4 1,2当 =0 时, aa=1 时 M = 11, 4；当 a=2 时, m=21,4. 3当 0 时,a

10、1 或 afx=0 的两根 x1,x2,且 x1x2,那么 M=x1,x2,M41x1x24f 1 0,且f4001a4,且第 3 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - a30即 18 7 a 0,解得： 2a18 ,a 0 7a 1 或 a 2M1,4时, a 的取值范畴是 1,18 . 7【例 3】解关于 x 的不等式：log 2 x 1 log 4 a x 2 1 a 0x 1 0 x 1解：原不等式等价于 a x 2 1 0 ,即 x 2 1. 2 ax 1 a x 2 1 x a x 2 0由

11、于 a 1,所以 1 2 1,所以,上述不等式等价于 x 2 1a a x a x 2 0解答这个含参数的不等式组,必定需要分类争论,此时, 分类的标精的确定就成明白答的关键如何确定这一标准？1当1a2时,不等式组等价于x21aax2 或x此时,由于21aaa120,所以21aaa从而21xa 或x2a2当a2时,不等式组等价于x32所以x2x3,且x223当a2时,不等式组等价于x21a此时,由于x2 或xa212,所以,21x2 或xaaa综上可知：当1a2时,原不等式的解集为xx21x2a 或x2；a3当a2时,原不等式的解集为xx；,且2当a2时,原不等式的解集为x21x2 或xaa第

12、 4 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4】解关于 x 的不等式：4logaxlogax2a0,a1解：原不等式等价于4logax0ax222logax4x02logax4ax0x 2” 之下的最大、logax20alog2 ax3logalogax3 或log4logxlog3logax4,当 a1时,原不等式的解集为xa3xa4当 0a1 时,原不等式的解集为xa4xa3【例 5】设函数fxaxx21,1当a2时,解不等式fxf1；2求 a的取值范畴,使得函数fx在,1上为单调函数讲解：1

13、a2时,fx f1可化为：2x1x21,等价于：xx110x21或x2110042x解得1x5,解得x13所以,原不等式的解集为x1x5或x132任取x 1x2,1,且x 1x 2,就fx 1fx2ax 1x 121ax 2x 221ax 1x 22 x 11x221ax 1x 2x 12x 12x22211x2x 1x2ax 12x 1x2211x 2要使函数fx在,1上为单调函数,需且只需：a2 x 1x 1x 2221恒成立,或ax 12x 1x 221恒成立1x1x 2因此,只要求出x12x1x2221在条件“x 1x2,1,且x 11x第 5 页 共 43 页名师归纳总结 - - -

14、 - - - -第 5 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 最小值即可 为了探求这个代数式的最值,我们可以考虑极端情形,如：x 1,1x 21,简洁知道,此时2 x 1 x 22；假设考虑 x 1 x 2,就不难看出,此x 1 1 x 2 1时 x 1 x 2 1 ,至此我们可以看出：要使得函数 f x 为单调函数,只需2 2x 1 1 x 2 1a 12 2事 实 上 , 当 a 1 时 , 由 于 x 1 x 2 x 1 1 x 2 1 0 恒 成 立 , 所 以 ,x 1 x 2 1 所 以 , 在 条 件 “x 1x 2 1 , 且 x 1 x 2”之 下

15、 , 必 有 ：2 2x 1 1 x 2 1f x 1 f x 2 0所以,f x 在区间 ,1 上单调递减当 a 1 时,由 1可以看出：特例 a 2 的情形下,存在 f 1 f 5由此可以猜想：3函数 f x 在区间 ,1 上不是单调函数为了说明这一点,只需找到 x 1x 2 ,1,使得 f x 1 f x 2 即可简便起见,不妨取 x 1 1,此时,可求得 x 2 aa 22 11 1,也2即：f 1 f a2 1 a,所以,f x 在区间 ,1 上不是单调函数a 1另解：f x a x2,对 x 1,易知：x 1当 x 1 时,2 x；当 x 时,2 x1；x 1 x 1所以当 x 1

16、, 时,x2 1,x 1从而只须 a 1,必有 f x 0,函数在 x 1, 上单调递减；【例 6】已知 fx是定义在1,1上的奇函数,且 f1=1 ,假设 m、n 1,1,m+n 0时 f m f n 0. m n1用定义证明 fx在 1,1上是增函数；第 6 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2解不等式： fx+1 f 2x11；3假设 fx t 2 2at+1 对全部 x 1,1,a 1,1恒成立,求实数 t 的取值范围. 解： 1证明：任取x1x2,且 x1,x2 1,1,就 fx1fx2=

17、 fx1+ fx2=fx 1fx2x1 x2 x 1x2 1x1x21,x1+x2 0,由已知fx 1fx2 0,又x1x20,x1x2fx1fx20,即 fx在 1,1上为增函数 . 2解： fx在 1,1上为增函数,1x11f1=1 ,21x111解得： x|3 x 1,xR 2x1x1123解：由 1可知 fx在 1,1上为增函数,且故对 x 1,1,恒有 fx 1,所以要 fx t22at+1 对全部 x 1,1, a 1,1恒成立,即要 t2 2at+11成立,故 t2 2at0,记 ga=t22at,对 a 1,1,ga 0,只需 ga在 1,1上的最小值大于等于 0,g1 0,g

18、1 0,解得, t2 或 t=0 或 t 2.t 的取值范畴是：t|t2 或 t=0 或 t2.2【例 7】给出一个不等式 x 1 c 1 cxR；x 2c c体会证：当 c=1, 2, 3 时,对于 x 取一切实数,不等式都成立；试问：当 c 取任何正数时,不等式对任何实数x 是否都成立？假设能成立,请给出证明；假设不成立,恳求出c 的取值范畴,使不等式对任何实数x 都能成立；解：令 fx=x2x1c,设 u=x2cuc 2c就 fx=u2u1u1uc u第 7 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - -

19、fxc1 u1c1 uc uc1 cucuc要使不等式成立,即 fxc 1 0 cuc 0 只须 u c 10 u2c1 u 21x 2+c1c cx21 c 故当 c= 1 时,c 2原不等式不是对一切实数 x 都成立,即原不等式对一切实数 x 不都成立要使原不等式对一切实数 x 都成立,即使 x21 c 对一切实数都成立；cx20 故 1 c0 cc1c0 c1 时,原不等式对一切实数 x 都能成立；不等式的证明【例 1】已知 a 2,求证：log a 1 a log a a 1解 1：log a 1 a log a a 1 1 log a a 1log a a 11 log a a 1

20、log a a 1log a a 1由于 a 2,所以,log a a 1 ,0 log a a 1 0,所以,2log a a 1 log a a 1 log a a 1 log a a 122 2 2 2log a a 1 log a a14 4所以,log a 1 a log a a 1 0,命题得证解 2：由于 a 2,所以,log a a 1 0 , log a a 1 0,所以,1loga1alogaa1logaa11logaa1,logaa1logaa1由解 1 可知：上式 1故命题得证【例 2】已知 a0,b0,且 a+b=1；求证： a+1 b+ a1 25 . b 4第 8

21、 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证法一： 分析综合法 欲证原式,即证 4ab2+4a2+b225ab+40,即证 4ab233ab+80,即证 ab1 或 ab8.4a0,b0,a+b=1, ab8不行能成立1=a+b2 ab , ab1 ,从而得证 . 4证法二： 均值代换法 设 a=1 +t1,b= 21 +t2. 21t221a+b=1,a 0,b0, t1+t2=0,|t1|1 ,|t2|22 a1 b1a21b21abab211t 12111t2211t 1t 121 1t2244 1

22、t1t21 2t1t22221t 1t 121 141 t 242t2t2215t2222t224421t4253t222t242525.2162161t1444明显当且仅当t=0,即 a=b=1 时,等号成立 . 2证法三： 比较法a+b=1,a 0,b0, a+b2 ab , ab14aa1bb125a2a1b21254a2b2433ab814ab8ab0ab4b4ab4ab1125ab4证法四： 综合法 a+b=1, a0,b 0, a+b2 ab , ab1 . 4 1ab21251ab1131ab291ab214251644161ab4ab第 9 页 共 43 页名师归纳总结 - -

23、 - - - - -第 9 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即 a1 b125ab4证法五： 三角代换法 a0,b0,a+b=1,故令 a=sin2,b=cos2,0, 21 1 2 1 2 1 aa bb sin sin 2 cos cos 2 sin 4 cos 4 2 sin 2 cos 2 2 4 sin 2 2164 sin 2 2 4 sin 2 2 2 2sin 2 ,1 4 sin 2 4 1 .3 2 4 2 sin 2 2 16 25 2 2 4 sin 2 25sin 122 14 4 sin 2 2 4即得 a 1 b 1 25 .a

24、b 4【例 3】证明不等式 1 1 1 1 2 n nN * 2 3 n证法一： 1当 n 等于 1 时,不等式左端等于 1,右端等于 2,所以不等式成立；2假设 n=kk 1时,不等式成立,即 1+ 1 1 12 k ,2 3 k就 1 1 1 1 2 k 12 3 k 1 k 12 k k 1 1 k k 1 12 k 1 ,k 1 k 1当 n=k+1 时,不等式成立 . 综合 1、2得：当 nN*时,都有 1+ 1 1 12 n . 2 3 n另从 k 到 k+1 时的证明仍有以下证法：2k112kk1k2kk1 k1111,kk1 20 ,k1 .k2k2k k1 12 k1 ,k1

25、12k1,02k又如:2k12kk2k11k2k112k1 .k证法二：对任意k N*,都有：第 10 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1k2kk2k12kk1,k因此11112221 123222nn12n.23n证法三：设fn=2n 11111 n,023那么对任意kN* 都有：1fk1 fk2k1kkk112k1 2kk1 1kkkk1 k11k12k1kfk+1 fk 因此,对任意nN*都有 fnfn1 f1=10,11112n .23n不等式的应用【例 1】已知不等式2log0.5x2

26、7log.05x30的解集为M,x,8求当xM 时, 函数fx log2xlog2x 的最大值和最小值.242解：由2log0.5x27log0.5x3,0 2log.05x1 log.05x303log0.5x12Mx|2x8 .由fx log2xlog2x,24得fxlog2x1 log2x2 log2x23log2x2令u=log2x ,得f uu23 u2u321,u1,3242依据复合函数的单调性得：当u3即x22 时,fxmin1,12aa2.x 的取值范畴 . 24当u3即x8 时,fx max2 .【例 2】 已知函数ylogax,其中aa|201判定函数ylogax的增减性；

27、|为真命题,求实数2假设命题p:|fx|1|f2x第 11 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：1aa|12012aa2,a212 a20,0 即2a10 ,函数ylogax是增函数； 2 |fx|1|f2x|即|logax|loga2x|1, 必 有x0,当0x1 4时 ,logaxloga2x0,不等式化为logaxloga2x1 ,loga2x1,故loga2x,1x1,此时1x1；当1x1 时,logax0loga2x,2a2a441；不等式化为logaxloga2x,1loga21,这

28、明显成立,此时1x4当x1时,0logaxloga2x,不等式化为logaxloga2x,1loga2x1故xa,此时1xa；22x 2,综上所述知,使命题p 为真命题的x 的取值范畴是x|1xa.2a2【例 3】1994 年已知函数fxtgx,x0,2,如x 1,x20,2,且x 11 证明：2fx 1fx2fx 12x2解：fxtgx1fx 1fx 21 tgx 1tgx2221sinx 1sinx 2sinx 1cosx2cosx 1sinx 22cosx 1cosx22cosx1cosx2sinx 1x2sinx 1x 22cosx 1cosx2cosx 1x2cosx 1x2x 1,

29、x 20,2,x 1x 2,2sinx1x20,cosx1cosx20,且0cosx 1x21有0cosx1x2cosx 1x21cosx 1x21tgx1tgx21sinx 1x 1x 2tgx 12x22cosx2即1fx 1fx2fx 12x22第 12 页 共 43 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 43 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4】 1995 年设an是由正数组成的等比数列,Sn是前n项之和；1证明 lg S n lg S n 2 lg S n 122是否存在常数 C0,使得 lg S n C lg S n 2 C lg S

30、 n 1 C 成立？并证明你的结论；2证明： I 要证 lg S n lg S n 2 lg S n 12即证 S n S n 2 S n 21 0 即可1 如 q 1,就 S n na 12 2 2 2S n S n 2 S n 1 na 1 n 2 a 1 n 1 a 1 a 1 0 2 如 q 1,S n a 1 1 q n 1 q2 n n 2 2 n 1 2S n S n 2 S n 21 a 1 1 q 12 q a 1 1 q2 a 1 2q n01 q 1 q 2由 1 2 可得 S n S n 2 S n 1依据对数函数的单调性,可得 lg S n S n 2 lg S n 21即 lg S n lg S n 2 lg S n 1 成立22不存在常数 C使等式成立；证法一 ：由于要使 1 lg S n C lg S n 2 C