2022年对绝对值不等式的一个猜想的证明及应用.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载对含肯定值不等式的一个猜想的证明及应用马乾凯、雷添淇沈阳高校沈阳市数学会,辽宁沈阳 110044 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_猜想： 设函数f xa1 xb1a2 xb2an xbn, （ nN） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a1a2a1a2an0 时,f xmaxmaxf b1, f b2 , f bn , f x 无最小值.a1a2an0 时,f xminminf b1, f b2 , f b

2、n ,如an0 时,f xminminf b1,f b2 ,f bn ,f x 无最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xmaxmaxf b1 ,f b2 , fbn . （ bibj当 ij , i 、 j 1,2,., n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：方法一）f xa1 xb1a2 xb2an xbn, （ nN） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=1 时,猜想明显成立.现考虑 n2 时的情形：可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品_精品资料_（ I ） 如 a1a2an0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨假设 bib j （ ij, i , j1,2,., n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x,bn 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 b2xan bnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2an xa1b1a2b2anbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xbn , bn 1 时,可编辑资料

4、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 b2xan 1 bn 1xan xbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a 2an xa b11a b22anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xbn1 , bn2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 b2x an 2 bn 2xan1 xbn 1 an xbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2 b2an 2bn 2an 1bn 1anbna1a2an 2an 1an x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb2 , b1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 xb2

6、a3 xb3an xbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2 b2an 1bn 1anbna1a2an 1an x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb1, 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 xb1 a2 xb2 an xbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1a2an xa1b1a2b2anbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2an0f x 在 ,bn 上单调递减,在b1 , 上单

7、调递增 .f x 为 R 上的连续函数f x 在闭区间 x bn , b1 上存在最大值和最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_闭区间 bn ,b1bn , bn1 bn1, bn2 b2 , b1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 f x在 bi , bi1 i2,3, 4,.n上均为直线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在 bi , bi1 i2,3, 4,.n上均有最值,且最值均在端点处取得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

8、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 limxf x且 f x是 R 上的连续函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,可画出f x 在 R 上的图象草图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图象可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xminminf b1 ,f b2 ,f bn ,f x无最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）如 a1a2an0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨假设 bib j （ ij , i, j1,2,., n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 g xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 xb1a2 xb2an xbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_a1a2a3an0a1a2a3an0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由（ I）可知,g xminmingb1, gb2 ,gbn .g x无最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 无最小值.f xmaxmaxf b1 ,f b2 ,f bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ III ）如 a1a2a3an0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨假设 bib j （ ij, i , j1,2,., n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

11、精品资料_当 x,bn 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 b2xan bnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b 1a b22a nbna1 a2an x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b 1a b22anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xbn , bn 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 b2xan 1 bn 1xan xbn 可编辑资料 - - -

12、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a 2an xa b11a b22anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xbn1 , bn2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 b2x an 2 bn 2xan1 xbn 1 an xbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2 b2an 2bn 2an 1bn 1anbna1a2an 2an

13、 1an x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb2 , b1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 xb2 an xbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2 b

14、2an 1bn 1anbna1a2an 1an x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb1, 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 xb1 a2 xb2 an xbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1a2an xa1b1a2b2anbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1b1a2b2anbn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 为 R 上的连续函数f x 在闭区间 x bn , b1 上存在最大

15、值和最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_闭区间 bn ,b1bn , bn1 bn1, bn2 b2 , b1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 f x在 bi , bi1 i2,3, 4,.n上均为直线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在 bi , bi1 i2,3, 4,.n上均有最值,且最值均在端点处取得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,可画出f x 在 R 上的

16、图象草图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图象可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xminminf b1 , fb2 ,f bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xmaxmaxf b1,f b2 ,f bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上（ I）、（ II ）、（ III ）, n因此,猜想成立,证毕.（方法二：数学归纳法） 当 n=1 时,明显成立 .2 时猜想的成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

17、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n=2 时,函数f xa1 xb1a2 xb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 如 a1a20 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载不妨假设 b1b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当 x, b2 时可编辑资料 - - - 欢

18、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 b2x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2 b2a1a2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 xb2 , b1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 b1xa2 xb2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2 b2

19、a1a2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）当 xb1, 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1 xb1 a2 xb2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2 xa1b1a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在 ,b2 上单调递减,在b1, 上单调递增 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又

20、f x 为 R 上的连续函数f x 在闭区间 b2 , b1 上存在最大值和最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb2 ,b1f xa1b1a2b2 a1a2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f x 在 b2 , b1 上为直线段f x 在 b2 ,b1 上的最值在端点处取得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 limxf x且 f x是 R 上的连续函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,可画出函数f x在 R 上的图象草图如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精

21、品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载或由图象可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xminminf b1,f b2 . f x无最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. 如 a1a20 时不妨假设 b1b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f xa1

22、xb1a2 xb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 g xf xa1 xb1a2 xb2a1a20a1a20 即此时为A 情形 .由 A 可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xm i nm i n gb1g,b2. g x 无最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 无最小值.f xmaxmaxf b1, fb2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 如 a1a20 时,不妨假设 b1b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f xa1 x

23、b1a2 xb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）当 x, b2 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1b1a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 xb2 , b1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - -

24、 - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1b1a2b2a1a2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）当 xb1 , 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa1b1a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 为 R 上的连续函数f x 在闭区间 b2 ,b1 上存在最大值和最小值.又f x 在 b2 , b1 上为直线段f x 在 b2 , b1 上的最值在端点处取得.可编辑资料

25、- - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,可画出f x 在 R 上的图象草图如下：或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图象可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xminminf b1,f b2 . f xmaxmaxf b1 ,f b2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上 A 、B、C,当 n2 时,猜想的结论成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设当 nk （ k2, kN）时,猜想的结论成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 nk1时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不妨假设 bi

26、b j （ ij, i , j 1,2,., k1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时函数f xa1 xb1a2 xb2ak xbkak 1xbk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把数列a1, a2 ,ak ,ak1 按从小到大重新排列得到新数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可

27、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c1 ,c2 , c3 ,ck , ck 1,cia j i , j1,2,k , k1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i , st cici 1 （ i1,2,., k ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f xc1 xblc2 xblck xblck 1xbl可编辑资料 - -

28、- 欢迎下载精品_精品资料_12kk 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 l1 ,l2 ,lk ,lk 11,2, k, k1 , 且 lil j 当 ij 时.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 h xc2 xblc3 xblck 1xbl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23k 1依据假设可知：如 c2c3ck 10 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h xm i nm i n hbh,ll23b , hlkb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

29、- - 欢迎下载精品_精品资料_令 hxminh bl lil2 ,l 3 ,l,k1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ih x 无最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 M xci xblc1 xbl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1（ I）如 cic10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 M x minminM bl, M bl , M x 无最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1 1 当 ci c1 时,由前面证明n=2 时可知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M x minminM bl, M bl M bl 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ii 2 当 ci = c1 时,M bl M bl 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1故, M xminminM bli, Mb l1M b ili可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_