2022年对绝对值不等式的一个猜想的证明及应用 .pdf

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1、学习必备欢迎下载对含绝对值不等式的一个猜想的证明及应用马乾凯、雷添淇 ( 沈阳大学沈阳市数学会，辽宁沈阳 110044 ) 猜想： 设函数1122( ),nnf xa xba xba xb（nN）. 若120naaa时，12min( )min(),(),() ,nf xf bf bf b( )f x无最大值；若120naaa时，12max( )max(),(),()nf xf bf bf b,( )f x无最小值；若120naaa时，12min( )min(),(),() ,nf xf bf bf b12max( )max(),(),()nf xf bf bf b. （ijbb当ij，i、j1

2、,2,., n）证明：(方法一）1122( ),nnf xa xbaxba xb（nN）. 当 n=1 时，猜想显然成立. 现考虑2n时的情况：（I）若120naaa时，不妨假设ijbb（, ,1,2,.,ij i jn）当(,)nxb时，1122( )()()()nnfxa bxabxabx121 122()()nnnaaaxa ba ba b当1,)nnxbb时，112211( )()()()()nnnnfxa bxabxabxaxb121122()nnnaaaxa ba ba b当12,)nnxbb时，11222211( )()()()()()nnnnnnf xa bxabxabxaxb

3、axb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1 12222111221()nnnnnnnnna ba bababa baaaaax当21,xbb时，112233( )()()()()nnf xa bxaxbaxbaxb1 12211121()nnnnnna ba baba baaaax当1(,)xb时，1122( )()()()nnf xa xbaxbaxb121 122()()nnnaaaxa ba ba b120n

4、aaa( )f x在(,)nb上单调递减，在1(,)b上单调递增 . ( )f x为 R 上的连续函数( )f x在闭区间1,nxb b上存在最大值和最小值. 闭区间111221,nnnnnb bb bbbb b且( )f x在1,(2,3, 4,. )iib bin上均为直线段( )f x在1,(2,3, 4,. )iib bin上均有最值，且最值均在端点处取得. 又lim( )xf x且( )f x是 R 上的连续函数，因此，可画出( )f x在 R 上的图象草图由图象可知：12min( )min(),(),() ,nf xf bf bf b( )f x无最大值；（II ）若120naaa

5、时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载不妨假设ijbb（, ,1,2,., ij i jn）令( )( )g xf x1122nna xba xba xb1230naaaa1230naaaa由（ I）可知，min12( )min( ),(),()ng xg bg bg b；( )g x无最大值 . ( )( )f xg x( )f x无最小值；max12( )max(),(),()nf xf bf bf b. （I

6、II ）若1230naaaa时，不妨假设ijbb（, ,1,2,.,ij i jn）当(,)nxb时，1122( )()()()nnf xa bxabxabx112212()nnnaba ba baaax1122nnaba ba b当1,)nnxbb时，112211( )()()()()nnnnfxa bxabxabxaxb121122()nnnaaaxa ba ba b当12,)nnxbb时，11222211( )()()()()()nnnnnnf xa bxabxabxaxbaxb1 12222111221()nnnnnnnnna ba bababa baaaaax当21,xbb时，112

7、2( )()()()nnf xa bxaxbaxb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1 12211121()nnnnnna ba baba baaaax当1(,)xb时，1122( )()()()nnf xa xbaxbaxb121 122()()nnnaaaxa ba ba b1 122()nna ba ba b( )f x为 R 上的连续函数( )f x在闭区间1,nxb b上存在最大值和最小值. 闭区间111

8、221,nnnnnb bb bbbb b且( )f x在1,(2,3, 4,. )iib bin上均为直线段( )f x在1,(2,3, 4,. )iib bin上均有最值，且最值均在端点处取得. 因此，可画出( )f x在 R 上的图象草图由图象可知：min12( )min( ),(),()nf xf bf bf b；max12( )max( ),(),()nf xf bf bf b. 综上（ I） 、 （II） 、 （ III ） ，2n时猜想的成立 . 因此，猜想成立，证毕.（方法二：数学归纳法）当 n=1 时，显然成立 . 当 n=2 时，函数1122( )f xa xba xbA.若

9、120aa时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载不妨假设12bb（1）当2(,)xb时1122( )()()f xa bxabx1 12212()a ba baax（2）当21,xb b时1122( )()()f xa bxaxb1 12212()a ba baax（3）当1( ,)xb时1122( )()()f xa xbaxb121 122()aaxa ba b120aa( )f x在2(,)b上单调递减，在1(

10、,)b上单调递增 . 又( )f x为 R 上的连续函数( )f x在闭区间21,b b上存在最大值和最小值. 当21,xb b1 12212( )()fxa ba baax即( )f x在21,b b上为直线段( )f x在21,b b上的最值在端点处取得. 又lim( )xf x且( )f x是 R 上的连续函数，因此，可画出函数( )f x在 R 上的图象草图如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载或由图象可

11、知：min12( )min( ),()f xf bf b；( )f x无最大值 . B.若120aa时不妨假设12bb函数1122( )f xa xba xb令( )( )g xf x1122a xba xb120aa120aa即此时为 A 情况. 由 A 可知m i n12()mi n() ,()g xg bg b；( )g x无最大值 . ()()fxgx( )f x无最小值；max12( )max( ),()f xf bf b. C.若120aa时，不妨假设12bb函数1122( )f xa xba xb（1）当2(,)xb时1 122( )f xa ba b（2）当21,xbb时精品资

12、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1 12212( )()f xa ba baax（3）当1(,)xb时1 122( )f xa ba b( )f x为 R 上的连续函数( )f x在闭区间21,b b上存在最大值和最小值. 又( )f x在21,b b上为直线段( )f x在21,b b上的最值在端点处取得. 因此，可画出( )f x在 R 上的图象草图如下：或由图象可知：min12( )min( ),()f xf b

13、f b；max12( )max(),()f xf bf b. 综上 A、B、C，当2n时，猜想的结论成立. 假设当nk（2,kkN）时，猜想的结论成立. 则当1nk时，不妨假设ijbb（, ,1,2,.,1ij i jk）此时函数112211( )kkkkf xa xba xba xbaxb把数列121,kka aaa按从小到大重新排列得到新数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1231,kkc cccc，( ,1

14、,2, ,1 )ijca i jk ki，st1iicc（1,2,.,ik）则121121( )kkllklklf xc xbc xbc xbcxb其中121,kkl lll1,2, ,1k k，且ijll当ij时. 令231231( )kllklh xc xbc xbcxb根据假设可知：若2310kccc时，231m i n()m i n() ,() ,()klllh xh bh bh b令min( )()ilh xh b231,ikllll；( )h x无最大值 . 令11( )iillM xc xbc xb（I）若10icc，则1min( )min(),()illMxM bM b，( )

15、M x无最大值 . 1 当ic1c时，由前面证明n=2 时可知，1min( )min(),()()iilllMxM bM bM b2 当ic=1c时，1()()illM bM b故，1min( )min(),()()iilllM xM bM bM b综合12 ，10icc时，min( )()ilM xM b. （II）若10icc，则1min( )min(),()illMxM bM b；1max( )max(),()illM xM bM b1icc，10c，故10icc. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

16、 - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1 当1icc时，由10icc可知10icc且min( )()ilMxM b；1max( )()lM xM b. 2 当ic=1c时，由10icc可知10icc则( )0M x. 综合12 ，10icc时，min( )()ilM xM b；1max( )()lM xM b. （III ）若10icc，1icc，0ic（不合题意）综上（ I） 、 （ II） 、 （III ） ，当10icc时，函数( )M x的最小值min( )()ilMxM b. 又2310kccc时，min( )()ilh xh

17、b；( )h x无最大值 . 若12310kkccccc，min( )()ilf xf b，( )f x无最大值 . 故，当123112310kkkkaaaaaccccc时，min12( )min( ),(),()kf xf bf bf b；( )f x无最大值 . 若12310kkaaaaa时不妨假设ijbb（, ,1,2,.,1ij i jk）此时函数112211( )kkkkf xa xba xba xbaxb令( )( )g xf x112211kka xba xbaxb12310kkaaaaa12310kkaaaaa121min( )min(),(),(),()kkllllg xg

18、bg bg bg b；( )g x无最大值 . ( )( )f xg x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载( )f x无最小值；121max( )max(),(),(),()kkllllf xf bf bf bf b. 若12310kkaaaaa时不妨假设ijbb（, ,1,2,.,1ij i jk）当1(,)kxb时112211( )()()()()kkkkf xa bxabxabxabx112211121()k

19、kkaba babaaax11221kkaba bab当1,)kkxbb时112211( )()()()()kkkkf xa bxabxabxaxb112211121()kkkkkkaba ba babaaaax当1,)kkxbb时1 12211111211( )()kkkkkkkkkf xa ba baba babaaaaax当21,xbb时1 122111211( )()kkkkkkkf xa ba ba babaaaaax当1(,)xb时1 12211( )kkkkf xa ba ba bab( )f x为 R 上的连续函数( )f x在闭区间11,kxbb上存在最大值和最小值. 闭区间

20、111121,kkkkkbbbbbbbb且( )f x在1,(2,3, 4,.1)iib bik上均为直线段( )f x在1,(2,3, 4,.1)iib bik上均有最值，且最值均在端点处取得. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载因此，可画出( )f x在 R 上的图象草图由图象可知：min121( )min(),(),(),()kkf xf bf bf bf b；max121( )max( ),(),(),(

21、)kkf xf bf bf bf b. 即当1nk时，猜想的结论成立. 综上所述，猜想成立. 应用 : 例： 设,x yR，试讨论1312 33Zxyxyxy的最值。解析：显然Z 无最小值，故Z 的最大值则为我们的探究方向。把 Z 看成关于 x 的函数，(1)3(1)6(1)3yZxyxyx令1ay，1by，13yc则( )36Z xxaxbxc根据前面证明1360m a x()m ax() ,( ) ,( )ZxZ aZ bZ c2424max3 2262, 226, 233333yyyyyy2max6143 ,218,343yyyyyy令1( )6143gyyy6401max( )max(

22、1), (3)max8, 128gygg令2( )218gyyy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2802max( )max (0),(1)max2,82gyhh令32( )343gyyy24033max( )max (0),(3)max2,122gyhh故，maxmax8,22Z. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -