【人教版】数学（理）一轮复习：第2章《函数、导数及其应用》6二次函数与幂函数.ppt

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1、第六节 二次函数与幂函数,主干知识梳理 一、常用幂函数的图象与性质,R,R,R,x|x0,x|x0,R,y|y0,R,y|y0,y|y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,(，0减， (0，)增,增,增,(，0)和 (0，)减,(1，1),二、二次函数 1二次函数的定义 形如f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数 2二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x) ； (2)顶点式：f(x) ； (3)零点式：f(x) ,ax2bxc(a0),a(xm)2n(a0),a(xx1)(xx2)(a0),3二次函数的图象和性质,基础自测自评 1若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是(

2、) Af(x)x21Bf(x)5x2 Cf(x)x2 Df(x)x2 D形如f(x)x的函数是幂函数，其中是常数,关键要点点拨 1幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点,典题导入 已知幂函数f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则m_.,幂函数的图象与性质,听课记录函数f(x)(m2m1)x5m3是幂函数， m2m11，解得m2或m1. 当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数； 当m1时，5

3、m32，函数yx2在(0，)上是增函数 m1. 答案1,规律方法 1幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)的正负：0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸； 01时，曲线上凸；0时，曲线下凸,2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键,跟踪训练 1(1)(2014济南调研)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(),典题导入 已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1. (1)求f(x)解析式； (2)若g(x)与f(x)图象关于

4、原点对称，求g(x)解析式,求二次函数的解析式,(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P(x，y)必在f(x)图象上， 所以y(x)22(x)， 即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.,规律方法 求二次函数的解析式常用待定系数法合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法,跟踪训练 2设f(x)是定义在R上的偶函数，当0 x2时，yx，当x2时，yf(x)的图象是顶点为P(3，4)，且过点A(2，2)的抛物线的一部分,(1)求函数f(x)在(，2)上的解析式； (2)在下面的直角坐标系

5、中直接画出函数f(x)的草图； (3)写出函数f(x)的值域,解析(1)设顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的方程为ya(x3)24， 将(2，2)代入可得a2， 则y2(x3)24， 即x2时， f(x)2x212x14. 当x2.,又f(x)为偶函数， f(x)f(x)2(x)212x14， 即f(x)2x212x14. 所以函数f(x)在(，2)上的解析式为f(x)2x212x14.,(2)函数f(x)的图象如图， (3)由图象可知，函数f(x)的值域为(，4,典题导入 已知函数f(x)x22ax3，x4，6 (1)当a2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使yf

6、(x)在区间4，6上是单调函数,二次函数的图象与性质,听课记录(1)当a2时， f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6 所以f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增， 故f(x)的最小值是f(2)1， 又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa， 所以要使f(x)在4，6上是单调函数， 应有a4或a6，即a6或a4. 故a的取值范围为(，64，),规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论 (2)要注意数形结合思

7、想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法,跟踪训练 3(2014苏州四市模拟)如图，已知二次函数yax2bxc(a，b，c为实数，a0)的图象过点C(t，2)，且与x轴交于A、B两点，若ACBC，则a的值为_,典题导入 (2014洛阳月考)已知函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR. (1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围,二次函数的综合问题,(2)f(x)xk在区间3，1上恒成立， 转化为x2x1k在3，1上恒成立 设g(x)x2x1，x3，1， 则g(x)在3，1上递

8、减 g(x)ming(1)1. k1，即k的取值范围为(，1),互动探究 在本例(1)的条件下，若存在x3，1使f(x)xk在 3，1上成立，试求k的取值范围,解析由f(x)xkkx2x1. 令h(x)x2x1，x3，1， 由已知条件知在x3，1上， 如使得kx2x1，成立， 只需kh(x)max. 又h(x)在3，1上递减， h(x)maxh(3)7，k7. 即k的取值范围为(，7),规律方法 1二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想 2对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用,跟踪训练

9、4若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间1，1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围,(2)f(x)2xm等价于x2x12xm， 即x23x1m0，要使此不等式在1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可 g(x)x23x1m在1，1上单调递减， g(x)ming(1)m1， 由m10得，m1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(，1),【创新探究】数形结合思想在二次函数中的应用,【高手支招】解决与二次函数有关的最值问题、对称性问题、由函数零点(方程根)的个数确定参

10、数的取值(范围)常借助于数形结合思想与等价转化思想进行求解,体验高考 1(2013浙江高考)已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则() Aa0，4ab0Ba0，2ab0 Da0，2ab0,2(2013辽宁高考)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB() Aa22a16 Ba22a16 C16 D16,4(2012北京高考)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2.若xR，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_ 解析由题意可知，m0时不能保证对xR，f(x)0或g(x)0成立 (1)当m1时，f(x) (x2)2，g(x)2x2，画出图象，显然满足条件；,综上可知，m的取值范围为(4，0) 答案(4，0),课时作业,