圆中动点问题2(10页).doc

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1、-圆中动点问题2-第 10 页 圆中动点问题一、选择题【题1】 如图，点P是等边三角形ABC外接圆O上的点，在以下判断中，不正确的是（ C ）A、当弦PB最长时，APC是等腰三角形。 B、当APC是等腰三角形时，POAC。C、当POAC时，ACP=300. D、当ACP=300，PBC是直角三角形【答案】【题2】 如图，以M（5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ）A.等于 B.等于 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化【答案】分析：连接NE，设圆N半径为r，ON

2、=x，则OD=rx，OC=r+x，证OBDOCA，推出OC：OB=OD：OA，即（r+x）：1=9：（rx），求出r2x2=9，根据垂径定理和勾股定理可求出答案解答：解：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=rx，OC=r+x，以M（5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于AB两点，OA=4+5=9，0B=54=1，AB是直径，APB=90，BOD=90，PAB+PBA=90，ODB+OBD=90，PBA=OBD，PAB=ODB，APB=BOD=90，OBDOCA，即解得：r2x2=9，由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2ON2=r2x2=9，即OE=OF=3，EF=2OE=6，故选C

3、【题3】 如图，已知O1的半径为1cm，O2的半径为2cm，将O1，O2放置在直线l上，如果O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是【答案】解：O1的半径为1cm，O2的半径为2cm，当两圆内切时，圆心距为1，O1在直线l上任意滚动，两圆不可能内含，圆心距不能小于1，故选D【题4】 如图，O的半径为4cm，直线l与O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的P与O没有公共点设PO=dcm，则d的范围是d5cm或2cmd3cm【答案】解：连接OP、OA，O的半径为4cm，1cm为半径的P，P与O没有公共点，d5时，两圆外离，当两圆内切时，过点O作ODAB于

4、点D，OP=4-1=3cm，OD=2cm，以1cm为半径的P与O没有公共点时，2d3，故答案为：d5或2d3【题5】 如图，在RtAOB中，OA=OB=3，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为【答案】解：连接OP、OQPQ是O的切线，OQPQ；根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，当POAB时，线段PQ最短，在RtAOB中，OA=OB=，AB=OA=6，OP=3，PQ=故答案为：【题6】 如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点，若O的半径为7，则GE+FH的最

5、大值为 10.5 【答案】当GH为O的直径时，GE+FH有最大值当GH为直径时，E点与O点重合，AC也是直径，AC=14ABC是直径上的圆周角，ABC=90，C=30，AC=7点E、F分别为AC、BC的中点，故答案为【题7】 如图,ABC中,BAC=600,ABC=450,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为_【答案】ACB=60,ABC=45,那么，BAC=75.EOF=2BAC=150所以，OEF=OFE=30所以，EF=3OE,ABC=3AO所以，当直径AD最小时，EF最小;所以，EF最小时，AD与BC垂直AB

6、=22，,ABC=45,所以，AD=2OA=1，所以，EF最小值为3【题8】 如图，已知O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，AOB=45，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是【答案】解：连接OD，由题意得，OD1，DOP45，ODP90，故可得OP，即x的极大值为，同理当点P在x轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x，综上可得x的范围为：x【题9】 射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半

7、径的圆与ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值t=2或3t7或t=8（单位：秒）【答案】解：ABC是等边三角形，AB=AC=BC=AM+MB=4cm，A=C=B=60，QNAC，AM=BMN为BC中点，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况：如图1，当P切AB于M时，连接PM，则PM=cm，PMM=90，PMM=BMN=60，MM=1cm，PM=2MM=2cm，QP=4cm2cm=2cm，即t=2；如图2，当P于AC切于A点时，连接PA，则CAP=APM=90，PMA=BMN=60，AP=cm，PM=1cm，QP=4cm1cm=3cm，即t=3，当P于AC切

8、于C点时，连接PC，则CPN=ACP=90，PNC=BNM=60，CP=cm，PN=1cm，QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3t7时，P和AC边相切；如图1，当P切BC于N时，连接PN3则PN=cm，PMNN=90，PNN=BNM=60，NN=1cm，PN=2NN=2cm，QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3t7或t=8【题10】 如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作O，过点P作O的切线，交AD于点F，切点为E（1）求证：OFBE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析

9、式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使EFOEHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由分析：（1）首先证明RtFAORtFEO进而得出AOF=ABE，即可得出答案；（2）过F作FQBC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围；（3）首先得出当EFO=EHG=2EOF时，即EOF=30时，RtEFORtEHG，求出y=AF=OAtan30，即可得出答案解答：（1）证明：连接OE. FE、FA是O的两条切线FA

10、O=FEO=90RtFAORtFEO（HL），AOF=EOF=AOE，AOF=ABE，OFBE（2）解：过F作FQBC于Q PQ=BPBQ=xyPF=EF+EP=FA+BP=x+y 在RtPFQ中 FQ2+QP2=PF222+（xy）2=（x+y）2 化简得：，（1x2）；（3）存在这样的P点，理由：EOF=AOF，EHG=EOA=2EOF，当EFO=EHG=2EOF时，即EOF=30时，RtEFORtEHG，此时RtAFO中，y=AF=OAtan30=，当时，EFOEHG点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出FQ2+QP2=PF2是解

11、题关键【题11】 如图，O的半径为1，直线CD经过圆心O，交O于C、D两点，直径ABCD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN（1）当点M在O内部，如图一，试判断PN与O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在O外部，如图三，AMO=15，求图中阴影部分的面积考点：圆的综合题分析：（1）根据切线的判定得出PNO=PNM+ONA=AMO+ONA进而求出即可；（2）根据已知得出PNM+ONA=90，进而得出PNO=18090=90即可得出答案；（3

12、）首先根据外角的性质得出AON=30进而利用扇形面积公式得出即可解答：（1）PN与O相切证明：连接ON，则ONA=OAN，PM=PN，PNM=PMNAMO=PMN，PNM=AMOPNO=PNM+ONA=AMO+ONA=90即PN与O相切（2）成立证明：连接ON，则ONA=OAN，PM=PN，PNM=PMN在RtAOM中，OMA+OAM=90，PNM+ONA=90PNO=18090=90即PN与O相切（3）解：连接ON，由（2）可知ONP=90AMO=15，PM=PN，PNM=15，OPN=30，PON=60，AON=30作NEOD，垂足为点E，则NE=ONsin60=1=S阴影=SAOC+S扇

13、形AONSCON=OCOA+CONE=11+1=+【题12】 如图，OAB中，OA = OB = 10，AOB = 80，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80得OP. 求证：AP = BP； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T 到OA的距离； （3）设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数. 【答案】（1）证明：AOP=AOB+BOP=80+BOP.BOP=POP+BOP=80+BOPAOP=BOP又OA=OB，OP=OPAOPBOPAP=BP（2）解：连接OT，过T作THOA于点

14、H,AT与相切，ATO=90=8=,即= TH=，即为所求的距离（3）10，170【注：当OQOA时，AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】【题13】 如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围.【解析】（1）由于AB是O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB,AC两底角相等；（2）设圆半径为r，利用勾股

15、定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB（3）先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可【答案】（1）AB=AC; 连接OB，则OBAB，所以CBA+OBP=900,又OP=OB，所以OBP=OPB，又OPB=CPA，又OAl于点A，所以PCA+CPA=900,故PCA=CBA，所以AB=AC（2）设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；AB2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-AP2=(2)2-（5-r）2，从而建立等量关系，r=3，AB=AC，AB2= AC2，利用相似，求出PB=4（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，则可推出

16、OD=；由题意，圆O要与直线MN有交点，所以；又因为圆O与直线l相离；所以r5;综上，.【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.【题14】 如图，O是ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？说明理由.（2）当DP是O的切线时，求DP的长.解析：（1）根据PD/BC，可以

17、天加辅助线由切线判定定理解题；（2）根据勾股定理与垂径定理求出O半径r，再结合ABEADP即可.解：（1）当P是BC中点时，DP是O的切线.理由如下：AB=AC，又PA是O的直径.又AB=AC，PABC.DP/BC，PDAP.DP是O的切线.（2）连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理得，BE=.在RtABE中，据勾股定理，.设O的半径为r，则OE=8-r.在RtOBE中，.解得r=.（3）DP/BC，ABE=D.又1=1，ABEADP ，即，DP=【题15】 如图，菱形ABCD的边长为2cm，DAB=60.点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，

18、以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动。当P运动到C点时，P、Q都停止运动，设点P运动的时间为ts.（1）当P异于A、C时，请说明PQBC；（2）以P为圆心 PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，为怎样的值时，与边分别有1个公共点和2个公共点？【解析】（1）利用菱形的性质及相似三角形的判定和性质解决此问题。（2）直线与圆的位置关系，抓住动态问题的几个关键位置，P过边BC的端点B或C时， P与边BC相切时，用时间t及点P和点Q的运动速度表示对应边的长度，利用特殊三角形的特殊性质构造一元一次方程，进一步求出t的值，根据运动的过程找到边BC与P有不同交点个数时的t的取值范围。【答案】解：（1）

19、四边形ABCD为菱形，AB=BC=2，BAC=DAB.O 又DAB=60，BAC=BCA=30.连接BD交AC于点O，四边形ABCD为菱形ACBD，OA=ACOB=AB=1，运动t秒时，AQ=t，又PAQ=CAB，PAQCABAPQ=ACB, PQBC（2）如图1，P与BC切于点M，连接PM，则PMBC.在RtCPM中，PCM=30，PM=PC=由PQ=AQ=t,即=t,解得t=，此时P与边BC有一个公共点。如图2，P过点B，此时PQ=PBPQB=PAQ+APQ=60PQB为等边三角形，QB=PQ=AQ=t, t=1当时，P与边BC有2个公共点。 如图3，P过点C，此时PC=PQ,即，.当时，P与边BC有1个公共点。当点P运动到点C，即t=2时，P过点B，此时P与边BC有1个公共点。综上所述：当t=或或t=2时，P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，P与边BC有2个公共点。