13.3 第二类拉格朗日方程.pdf

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1、13.3、第二类拉格朗日方程（、第二类拉格朗日方程（4-1） 2 2 21 1 1 21 212211 ),(),( ),(),(q q qqr q q qqr qqrqqqqrr ii iii 2 2 21 1 1 21 212211 ),(),( ),(),(q q qqr q q qqr qqrqqqqrr ii iii 2 2 1 1 q q r q q r r ii i ),( 21 qqrr ii 12 3 0)( iiii ramFW 0)()( 2 2 1 1 q q r amFq q r amF i iii i iii )( 1 1 q r FQ i i )( 2 2 q r

2、 FQ i i 0)()( 2 2 1 1 q q r amFq q r amF i iii i iii 0)()( 2 2 1 1 q q r amFq q r amF i iii i iii 0)()( 2 2 1 1 q q r amFq q r amF i iii i iii 0)()( 2 2 1 1 q q r amFq q r amF i iii i iii 2 2 1 1 q q r q q r r ii i 3 2 2 1 1 ，Q q r amQ q r am i ii i ii )()( 4 5 6 7 89 1011 )()( 1111 q r dt d vm q r

3、vm dt d q r dt vd m q r am i ii i ii ii i i ii 1 1 Q q r am i ii )( 2 2 1 2 1 iiiiii vmvvmT ) 2 1 () 2 1 ()( 1111 iiiiii i ii i ii vvm q vvm qdt d q v vm q v vm dt d 11 )( q T q T dt d ii 10 12 11 q v q r ii 1411 )( q v q r dt d ii 13 15 16 1 11 )(Q q T q T dt d 17 1 11 )(Q q T q T dt d 2 22 )(Q q T

4、 q T dt d 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 (k =1,2,3,n) 18 19 20 2 2 1 1 q q r q q r v ii i 11 q r q v ii 2 21 2 1 2 1 2 1 21 1 ),( )(q qq r q q r q qqr dt d q r dt d iiii 2 12 2 1 2 1 2 1 q qq r q q r q v iii 11 q v q r ii 1411 )( q v q r dt d ii 13 ),( 21 qqrr ii 1 21 22 23 24 1、不涉及惯性力不涉及惯性力，不用分析系统加速度不用分析系统加速度；

5、 2、拉格朗日方程和动能定理一样拉格朗日方程和动能定理一样，只涉及系统只涉及系统 的总动能和参与做功的力的总动能和参与做功的力。 3、一个质点系有多少个自由度一个质点系有多少个自由度，就可以列出多就可以列出多 少个相互独立的拉格朗日方程少个相互独立的拉格朗日方程。但是但是，一个质点一个质点 系无论有多少个自由度系无论有多少个自由度，用动能定理似乎都只能用动能定理似乎都只能 列出一个方程列出一个方程。 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 (k =1,2,3,n) 20 2 2 1 mvT mv v T ma v T dt d )( Fma (讲解完毕) 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 (

6、k =1,2,3,n) 20 例例13.3-1 匀质圆轮半径为匀质圆轮半径为r, 质量为质量为m1 .三角块质量三角块质量 为为m2, 倾角为倾角为, 放在光滑水平面上放在光滑水平面上. 圆轮沿斜面向圆轮沿斜面向 下自由纯滚动下自由纯滚动(两者之间有摩擦两者之间有摩擦), 推动三角块向左推动三角块向左 运动运动.求求圆轮角加速度圆轮角加速度和三角块加速度和三角块加速度ae 13.3、例题讲解、例题讲解1(4-2) cos 21rx vvvsin 1ry vv cos2 2 22 21rr vvvvv ) 2 1 2 1 ( 2 1 22 11 2 22 C JvmvmT T= sin sin

7、1 1 gm x xgm x w Q r r r xr xr x2=0、xr 0 cos 2 3 211 vmvm v T r r 0 r x T sincos 2 3 1211 gmamam r 1 rvr xr rr Q x T v T dt d )( x x Q w x 2 2 2 0 x2 0、xr=0 mm amar 1221 ()cos0 mm vm vm v v rr122 2 1 2 1 2 1 2 () 3 4 cos T= 1221 ()cos r r T v mm vmv () d dt T v T x Qx 22 2 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资

8、料或关注桃报：奉献教育（店铺） sincos 2 3 1211 gmamam r (讲解完毕) 13.3、例题讲解、例题讲解2-3（4-3） 例例13.3-2 物块物块1质量为质量为m. 定滑轮定滑轮2和动滑轮和动滑轮 3半径都为半径都为r, 质量也都为质量也都为m, 对各自质心轴对各自质心轴 的回转半径都为的回转半径都为. 动滑轮动滑轮3在重力作用下向在重力作用下向 下运动下运动, 通过缠绕的细绳通过缠绕的细绳(不打滑不打滑)带动系统带动系统 运动运动. 求轮求轮2、轮、轮3各自的角加速度各自的角加速度2、3. 例例13.3-3 质量为质量为m的钢球用细线栓着缠绕的钢球用细线栓着缠绕 在半径

9、为在半径为r的固定圆柱体上的固定圆柱体上,不计钢球直径不计钢球直径 ,不计细线质量不计细线质量.开始时钢球处于图中虚线开始时钢球处于图中虚线 所示平衡位置处所示平衡位置处,线的下垂部分长度为线的下垂部分长度为L. 现用榔头猛然撞击钢球现用榔头猛然撞击钢球,使其在平衡位置使其在平衡位置 处获得水平向右的初始速度处获得水平向右的初始速度vo,求此后钢求此后钢 球在竖直平面内的运动微分方程球在竖直平面内的运动微分方程 例例13.3-2 物块物块1质量为质量为m. 定滑轮定滑轮2和动滑轮和动滑轮 3半径都为半径都为r, 质量也都为质量也都为m, 对各自质心轴对各自质心轴 的回转半径都为的回转半径都为.

10、 动滑轮动滑轮3在重力作用下向在重力作用下向 下运动下运动, 通过缠绕的细绳通过缠绕的细绳(不打滑不打滑)带动系统带动系统 运动运动. 求轮求轮2、轮、轮3各自的角加速度各自的角加速度2、3. 2 3 2 3 2 33223 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 mrrmmrmT )()( 2 1 2 3 2 2 22 32 22 2 2 rrmT mgr rgmw Q 2 23 2 2 2 2 0、3 = 0 )2( 3 2 2 22 2 rrm T 2 22 )( Q TT dt d mgrrrm)2( 3 2 2 22 )()( 2 1 2 3 2 2

11、22 32 22 2 2 rrmT mgr rgmw Q 3 33 3 3 3 2 =0、3 0 3 33 )( Q TT dt d mgrrrm)( 3 22 2 2 )()( 2 1 2 3 2 2 22 32 22 2 2 rrmT )( 3 22 2 2 3 rrm T 0 3 T mgrrrm)( 3 22 2 2 mgrrrm)2( 3 2 2 22 例例13.3-3 质量为质量为m的钢球用细线栓着缠绕在半径为的钢球用细线栓着缠绕在半径为 r的固定圆柱体上，不计钢球直径，不计细线质量的固定圆柱体上，不计钢球直径，不计细线质量 。开始时钢球处于图中虚线所示平衡位置处，线。开始时钢球处

12、于图中虚线所示平衡位置处，线 的下垂部分长度为的下垂部分长度为L。现用榔头猛然撞击钢球，使。现用榔头猛然撞击钢球，使 其在平衡位置处获得水平向右的初始速度其在平衡位置处获得水平向右的初始速度vo，求，求 此后钢球在竖直平面内的运动微分方程此后钢球在竖直平面内的运动微分方程 cos)(sin sin)(cos Lrry Lrrx sin)( cos)( Lrv Lrv y x 22 )( 2 1 LrmT sin)( ) ( Lrmg jyjmgw Q 2 )(Lrm T Q TT dt d )( sin)()()( 22 LrmgrLrmLrm 0sin)( 2 grLr 22 )( 2 1

13、LrmT sin)( ) ( Lrmg jyjmgw Q sin)( ) ( Lrmg jyjmgw Q 2 )( rLrm T (讲解完毕) 13.3、拉格朗日动势（、拉格朗日动势（4-4） Q V q k k （k =1,2, n） () d dt T q T q Q kk k d dt T q TV q kk () () 0 d dt TV q TV q kk () () 0 d dt L q L q kk ()0 式中式中L=T-V，称为拉格朗日动势称为拉格朗日动势, 该方程称为拉格朗日动势方程该方程称为拉格朗日动势方程。 （k =1,2, n） 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0

14、7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 例例13.3-3 质量为质量为m的钢球用细线栓着缠绕在半径为的钢球用细线栓着缠绕在半径为 r的固定圆柱体上，不计钢球直径，不计细线质量的固定圆柱体上，不计钢球直径，不计细线质量 。开始时钢球处于图中虚线所示平衡位置处，线。开始时钢球处于图中虚线所示平衡位置处，线 的下垂部分长度为的下垂部分长度为L。现用榔头猛然撞击钢球，使。现用榔头猛然撞击钢球，使 其在平衡位置处获得水平向右的初始速度其在平衡位置处获得水平向右的初始速度vo，求，求 此后钢球在竖直平面内的运动微分方程此后钢球在竖直平面内的运动微分方程 cos)(sin sin)(cos Lrry

15、Lrrx sin)( cos)( Lrv Lrv y x 22 )( 2 1 LrmT cos)(sinLrrmgymgV cos)(sin)( 2 1 22 LrrmgLrmVTL 2 )(Lrm L 22 )(2)()( rLrmLrm L dt d sin)()( 2 LrmgrLrm L 0)( LL dt d 0sin)( 2 grLr cos)(sin)( 2 1 22 LrrmgLrmVTL 例例13.3-5 滑块滑块1质量为质量为m1，与刚度系数为，与刚度系数为k的弹簧相的弹簧相 连连，不计摩擦。滑块不计摩擦。滑块1上铰接一单摆，摆长为上铰接一单摆，摆长为L，球球 2质量为质量

16、为m2。试写出系统动力学微分方程组。试写出系统动力学微分方程组 cos 1 LvvxsinLv y cos 21211 1 Lmvmvm v L kx x L LmLmamm v L dt d sincos)()( 2 22121 1 0 1 x L v L dt d )( 0sincos 0sincos)( 1 2 22121 gaL kxLmLmamm LTVm vm vLL v 1 1 2 21 222 1 1 2 1 2 (2cos ) kxm gL 2 2 ( 1 2 cos ) L m Lm Lv 2 2 21 cos L m L vm gL 212 sinsin () d dt L L 0 Lag 1 cossin0 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育 （店铺） 0sincos 0sincos)( 1 2 22121 gaL kxLmLmamm (讲解完毕)