伯努利不等式及其应用(5页).doc

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1、-伯努利不等式及其应用-第 5 页Bernoulli不等式及其应用席华昌(山西师大临汾学院数计系，山西省临汾市 041000)摘 要：使用均值不等式及实数的稠密性推证Bernoulli不等式，并将其应用于证明极限、连续、单调以及其它不等式和判别级数敛散性.关键词：Bernoulli不等式、极限、连续、单调、不等式、级数.中图分类号：O178众所周知，Bernoulli不等式在数学分析中占有非常重要的地位。本文由均值不等式及实数稠密性出发推导Bernoulli不等式，并举例说明其在分析中的一些巧妙之应用.一、 Bernoulli不等式设 rR+，且-1x0，则 (A)分析与证明 先证明 (1+x

2、)r1+rx, (0r1). 当rQ+时，设r= (n、mN，n、m互质且n0，取有理数列rn，使对任意自然数n，有rrn1，且，则有1+rnx, 令n，得 (1+x)r1+rx ；若 -1x0，取有理数列rn，使对任意自然数n，有0rnr，且，则有1+rnx , 令n，得 +rx ,下证 (1+x)r1+rx. 取0zminr,1-r，则 rz（0，1），那么 (1+x)r=(1+x)r1=(1+x)r1+rx ( r1).当1+rx0时，(1+x)r01+rx ；当1+rx0时，(1+rx)1+rx .为应用方便，(A)式常常也写成： (AA)二、Bernoulli不等式的应用1、极限方面

3、的应用例1 求证 (a1,k0均为常数).证明 由于 a1, 可记 (0 ) ，则所以，对，要使，只需 ，即 ，于是取 N，则 当nN时，便有，即 .注：本极限中k取不同值时可得不同的极限式。1、 函数连续性方面的应用例2 证明指数函数f(x)=ax (0a1) 在R上连续。证明 先证 .对 有1=a0ax1+(a-1)x由于 ,所以 由迫敛法则 .又，即 f(x)=ax在x=0处连续；再证 f(x)=ax在R上连续对，有=所以 f 在x0处连续，由的任意性，f 在R上连续。2、 不等式方面的应用例3 证明不等式 .证明 由于是单增趋于e的数列，从而，于是 ,因此，只需证明 成立即可.当n=1

4、时，显然 ;设 n=k时，有k!成立，两端同乘(k+1)，得(k+1)!(k+1)=又 有 代入式，有(k+1)!由数学归纳法知 (nN) 成立. n!.3、 单调性方面的应用例4 讨论函数 的单调性.分析与解 讨论函数 令 由（A）式得： 两边同时x2次方.即,函数在（0，）上严格增.论函数 令 由（A）式得， 两边同时x2+1次方 .从而 ，即,函数在（0，）上严格减.注：这两个函数的单调性还可以利用导数进行讨论，上面使用这种方法也适用于讨论数列与的单调性.4、 级数敛散性方面的应用例5判断级数 的敛散性.解 记 . 则.由达朗贝尔判别法，级数收敛.注：该级数更一般的形式是：讨论函数项级数

5、的敛散性.由上面几方面的应用可以看出：在解决一些数学问题时，若能充分考虑到Bernoulli不等式的特点及其变形，便能达到妙题巧解，出奇制胜之效果.参考资料1、数学分析 纪乐刚2、数学分析经典习题解析 孙 涛附：041000 山西师大临汾学院数计系 副教授 席华昌 xhc62 13096520248地 址 临汾市尧都区鼓楼南18号本文发表于高等数学研究,2005,4(8):42-44.并列入高等数学研究论文范例被以下四篇论文引用：也谈Bernoulli不等式的证明与应用高等数学研究 2006年 第6期作者：苏灿荣禹春福 合肥工业大学贝努利不等式的高阶推广和数值验证内江师范学院学报 2007年 第6期作者：石勇国陈志强吕晓亚 内江师范学院Bernoulli不等式的控制证明及推广北京联合大学学报：自然科学版 2008年 第2期作者：石焕南 北京联合大学教授分数布朗运动的局部时及相关过程的随机分析华东理工大学2012年陈超博士论文