伯努利不等式证明(共2页).doc

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精选优质文档-倾情为你奉上伯努利不等式：设x-1,且x0,n是不小于2的整数,则(1+x)n1+nx.证明:先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：当n=1,上个式子成立,设对n-1,有:(1+x)n-11+(n-1)x成立,则(1+x)n=(1+x)n-1(1+x)1+(n-1)x(1+x)=1+(n-1)x+x+(n-1)x2=1+nx+nx2-x21+nx就是对一切的自然数,当x-1,有(1+x)n1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：若r 0或r 1，有(1+x)r 1 + rx若0 r 1，有(1+x)r 1 + rx这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：如果r=0，1，则结论是显然的如果r0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)r-(1+rx), 那么f(x)=r*(1+x)r-1-r, 则f(x)=0 x=0;下面分情况讨论：1. 0 r 0，f(x) 0；对于 1 x 0。严格递增，因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)r 1+rx。2. r 1，则对于x 0，f(x) 0；对于 1 x 0，f(x) 0。严格递减，因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)r 1+rx命题得证专心-专注-专业