3.2 频率与概率.pdf

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1、 环境与市政工程学院 水文学 第3章 水文学统计基本原理与方法本章提纲 3.1 水文统计概述 3.2 频率与概率 3.3 经验频率曲线 3.4 随机变量的统计参数 3.5 理论频率曲线 3.6 频率曲线的分析与抽样误差 3.7 相关分析 3.2 频率与概率 3.2.1 定义 3 n m )A(P （2）概率：事件在客观上出现的可能性，即该事件的发 生率，亦称为机率。 （1）频率：指在具体重复的实验中，某随机事件A出现的 次数（频数）m与试验总次数n的比值，即： n m AW)( 是经验值、试验结果是经验值、试验结果 是理论值、估计值、推论结果是理论值、估计值、推论结果 3.2 频率与概率 4

2、根据事件出现的可能性是否能够预先估计，可分为： 事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估 计出来，如： 1) 投硬币出现正面和反面的机率； 2) 投掷骰子出现某一个点子的概率 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先估 计出来，必须通过大量的重复试验之后才能估计出它出现 的可能性。如： 1) 河流决堤；排水管网堵塞；城市内涝；地区洪水等 2) 河流出现大型污染事件 3.2 频率与概率 5 概率的基本特性： 1) P(A)=1，A属于必然事件； 2) P(A)=0，A属于不可能事件； 3) 0P(A)1，A属于随机事件； 1)(0AP 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7

3、6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 3.2 频率与概率 6 （3）频率与概率的关系 频率是经验值，概率是理论值； 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； 样本容量越大，结果越准确； 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成 样本系列，推求频率作为概率的近似值。 )()(limAPAW n 3.2 频率与概率 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生， 这类事件称为互斥事件； 7 （3）条件定理：设A、B同为随机试验C的两个事件，将在事件B发生的条件下，事件A 发生的概率称为事件A在条件B下事件A条件概率，即为P(AB)。 （1）相加定理：互斥的各事

4、件中，至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率总和。 3.2.2 概率运算定律 独立事件：多个事件中，某一事件的出现并不影响其它事件的出现， 此类事件称为独立事件； （2）相乘定理：几个独立事件一并出现的概率等于各个事件出现的概率之积。 3.2 频率与概率 8 3.2.3 随机变量的概率分布 (1)随机变量的概率分布规律 随机变量的取值总是伴随着相应的概率，而概率的大小随着随机变量的取值而变化， 这种随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量的概率分布规律。 离散型随机变量的概率分布：一般以分布列表示，如： xx1x2xn P(x= xn)P1P2Pn 0 n P 1 n P 3.2 频率

5、与概率 9 3.2.3 随机变量的概率分布 (1)随机变量的概率分布规律 连续型随机变量的概率分布： 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 3.2 频率与概率 10 例某测站有62年的降水资料，试分析年降水量的概率分布规律。将62年降水 量按大小每隔x200mm划分为一组，并统计各组组值出现的次数，同时计算 各组相应的频率、频率密度、累积次数、累积频率的值。 x P 组内平均频率密度 年 降 水 量（mm） 分 组 组 距 x = 200 次 数（a）频 率（%） （1/mm） 组 上 限 值组 下 限 制组 内累 积 组 内 P 累 积 P （1

6、）(2)(3)(4)(5)(6)(7) 2299.9 2099.9 1899.9 1699.9 1499.9 1299.9 1099.9 899.9 699.9 2100.0 1900.0 1700.0 1500.0 1300.0 1100.0 900.0 700.0 500.0 1 2 3 7 13 18 15 2 1 1 3 6 13 26 44 59 61 62 1.6 3.2 4.8 11.3 21.0 29.1 24.2 3.2 1.6 1.6 4.8 9.6 20.9 41.9 71.0 95.2 98.4 100.0 0.000080 0.000160 0.000240 0.00

7、0565 0.001050 0.001455 0.001210 0.000160 0.000080 合 计62100.0 3.2 频率与概率 11 3.2 频率与概率 12 3.2.4 累积频率和重现期 (1) 累积频率 例某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如下表所示，试确定水位H2.0m和 H2.7m的概率？ 某站水位频率计算 表3.2 序号水位H（m）频数f（a）频率W（%）累积频率P （%） 1 2 3 4 5 4.0 3.5 2.7 2.0 1.9 2 10 16 9 3 5 25 40 22.5 7.5 5 30 70 92.5 100 40100 %70)0 . 4

8、()5 . 3()7 . 2()7 . 2(WWWHP %5 .92%70%5 .22)7 . 2()0 . 2()0 . 2(HPWHP 3.2 频率与概率 13 3.2.4 累积频率和重现期 (1) 累积频率 水文特征值属于连续型随机变量，在分析水文系列的概率分 布时，不用单个的随机变量取值xxi的概率，而是用xxi （或xxi ）的概率P(xxi)（或P(xxi) ），即累积频率。 累积频率是指等量值和超量值累计出现的次数与总观测次数 之比。 采用累积频率预示面临的水文情势安全度比采用单一的频率 更为确切。 单一频率只反映单个水文特征值出现的可能，并未考虑所有 水文特征出现的可能性。 3

9、.2 频率与概率 14 3.2.4 累积频率和重现期 (2) 重现期 频率比较抽象，为了便于理解，实用上通常采用重现期概念。 重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次。 频率和重现期的关系，有两种表示方法： 当研究洪峰流量、洪水位、暴雨时，使用的设计频率P50%，则： 当研究枯水流量枯水位时，为了保证灌溉、发电等用水需要，假设设计频率P常采用大于50% 的值，则： 10年一遇、100年一遇、P=1%的意义 P T 1 P T 1 1 3.2 频率与概率 15 3.2.5 设计标准 (1) 制定各种设计频率标准缘由？ 【P】 XP 1) 地区差异； 2) 工程重要性的差异。 (2) 标准作用？ 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 3.2 频率与概率 16 3.2.5 设计标准 (3) 标准举例 3.2 频率与概率 理解频率与概率的相同、不同以及二者关系 课堂小结 掌握概率基本特性 理解并掌握随机变量的概率分布 了解多种与水文相关的设计标准 理解累积频率、重现期定义、二者转换及意义