九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》学案.docx

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1、九年级上册一元二次方程的根与系数的关系学案九年级上册一元二次方程的根与系数的关系学案分析 九年级上册一元二次方程的根与系数的关系学案分析 一、教材首先谈谈我对教材的理解，一元二次方程的根与系数的关系是人教版初中数学九年级上传册其次十一章21.2的内容，本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后接着探讨一元二次方程根的状况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决很多问题，同时在中学数学的学习中有着更加广泛的应用。二、学情接下来谈谈学生的实际状况。新课标指出学生是教学的主体，所以要成为

2、符合新课标要求的老师，深化了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生，随着年龄的增长以及试验几何向论证几何的逐步推动，学生们的逻辑推理实力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。三、教学目标依据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：(一)学问与技能学生知道一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。(二)过程与方法学生能够借助问题的引导，发觉、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特别到一般地相识事物的规律。(三)情感看法价值观通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培育视察分析

3、和综合、推断的实力。激发发觉规律的主动性，激励勇于探究的精神。四、教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说肯定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容确定是密不行分的。那么依据授课内容可以确定本节课的教学重点为一元二次方程根与系数的关系的证明，难点为发觉一元二次方程根与系数的关系。五、教法和学法为了体现课改中“以学生为主体，练习为主线”的教化理念，在课程的引入和新授中充分地考虑在学生已有学问与新学问间架起一座桥梁，通过创设肯定的问题情境，注意由学生自己探究，让学生参加韦达定理的发觉、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。本节课我采纳讲授法、探讨法、启发法等教学方法。

4、激励学生动脑、动口、动手，参加教学活动，感悟学问的形成过程，充分调动学生学习的主动性、主动性。六、教学过程下面我将重点谈谈我对教学过程的设计。(一)新课导入首先是导入环节，那么我先提问：一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系呢?引导学生复习回顾一元二次方程的一般形式以及求根公式。设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，并为本节课根系关系的推导做打算。(二)新知探究接下来是教学中最重要的新知探究环节，我主要采纳讲授法、探讨法、启发法等。 一元二次方程根与系数的关系（1）导学案（新版新人教版） 第6课时一元二次方程根与系数的关

5、系（1）教版一、学习目标驾驭一元二次方程根与系数的关系；能运用一元二次方程根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；会求一元二次方程两根的倒数和与平方数、两根之差二、学问回顾1一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式为（）2解一元二次方程的方法有干脆开方法、配方法、公式法、因式分解法3一元二次方程根的状况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根三、新知讲解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根x1，x2，那么，此定理又叫做韦达定理在运用根与系数的关

6、系时，应留意：不是一般式的要先化成一般式；在运用时，留意“-”不要漏写；能用韦达定理的前提条件是.一元二次方程根的分布对于一元二次方程根的分布的探讨，通常有以下几种状况：有两个正根的条件：（当a0时，简化为）；有两个负根的条件：（当a0时，简化为）；两根异号的条件：（当a0时，简化为c0）；两根异号，且正根肯定值大的条件：（当a0时，简化为）；两根异号，且负根肯定值大的条件：（当a0时，简化为）四、典例探究 1不解方程求两个根之和与积【例1】不解方程，求方程3x2+2=14x两根的和与积 总结：在运用根与系数的关系时，应留意：不是一般式的要先化成一般式；前提条件是；在运用时，留意“-”不要漏掉

7、练1（2022碑林区校级模拟）方程2x26x5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（）A3和B3和C3和D3和2已知一元二次方程的两根求系数【例2】（2022春富阳市校级期末）关于x的方程x2px+q=0的两个根是0和3，求p和q的值 总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常依据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验此方法要比干脆将根代入求系数便利快捷得多练2（2022枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4，则m+n的值是（）A10B10C6D2 3已知一元二次方程的一个根求另一个根

8、【例3】（2022北塘区二模）已知一元二次方程x26x+c=0有一个根为2，则另一根为总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；（2）依据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，干脆求另一根练3（2022秋秭归县校级期中）已知2是一元二次方程x24xc=0的一个根，求另一个根及c的值 4依据一元二次方程的系数推断两根的正负【例4】（2022南汇区二模）方程2x2+3x5=0的两根的符号（）A同号B异号C两根都为正D两根都为负总结：不解方程判别根的符号，须要把“根的判别式”和“根与系数的关系

9、”结合起来进行确定；首先计算判别式，看是大于0还是等于0，假如是等于0，则两根相等，同号；假如判别式大于0，则计算的值，假如，可推断方程的根为一正一负；假如，再计算的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负练4（2022秋夷陵区校级月考）方程ax2+bxc=0（a0、b0、c0）的两个根的符号为（）A同号B异号C两根都为正D不能确定五、课后小测一、选择题1（2022溧水县一模）一元二次方程2x23x5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）ABCD2（2022金华）一元二次方程x2+4x3=0的两根为x1、x2，则x1x2的值是（）A4B4C3D33（2022浠水县校级模

10、拟）已知x1、x2是方程x2+3x1=0的两根，则（）Ax1+x2=3，x1x2=1Bx1+x2=3，x1x2=1Cx1+x2=3，x1x2=1Dx1+x2=3，x1x2=14（2022衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A2B2C4D35（2022广西）已知实数x1，x2满意x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=06（2022平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=2x2，则p的值为（）A2B1C1或1D17（2022东西湖区

11、校级模拟）已知x=2是方程x26x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A2B3C4D88关于方程式49x298x1=0的解，下列叙述正确的是（）A无解B有两正根C有两负根D有一正根及一负根二、填空题9（2022滨湖区一模）已知方程x25x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为10（2022南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是11（2022春遂宁校级期中）已知关于x的方程x24x+2=0的两个根是m和n，则mn=，m+n=三、解答题12（2022东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=p，x

12、1x2=q 13（2022秋番禺区校级月考）已知方程x2kx6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值 14（2022防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根2，m求m，n的值 典例探究答案：【例1】不解方程，求方程3x2+2=14x两个根的和与积分析：先把方程化为一般式，然后依据根与系数的关系求解解答：解：设x1，x2是方程的两实数根，方程化为一般式为3x2+4x+1=0，依据题意得，x1+x2=，x1x2=点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=练1（2022碑林区校级模拟）方程2x26x5=0的两

13、根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（）A3和B3和C3和D3和分析：依据根与系数关系，已知方程2x26x5=0的两根为x1与x2x1+x2=；x1x2=即可解答：解：已知方程为2x26x5=0的两根为x1与x2，依据根与系数的关系：x1+x2=3；x1x2=故选D点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键娴熟驾驭x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q【例2】（2022春富阳市校级期末）关于x的方程x2px+q=0的两个根是0和3，求p和q的值分析：依据根与系数的关系得到03=p，0（3）=q，然后解两个方程即可解答

14、：解：依据题意得03=p，0（3）=q，所以p=3，q=0点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系练2（2022枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4，则m+n的值是（）A10B10C6D2分析：依据根与系数的关系得出2+4=m，24=n，求出即可解答：解：关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4，2+4=m，24=n，解得：m=2，n=8，m+n=10，故选A点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能依据根与系数的关系得出2+4=m，24=n是解此题的关键【例3】（2022北塘区二模

15、）已知：一元二次方程x26x+c=0有一个根为2，则另一根为分析：设方程另一根为t，依据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可解答：解：设方程另一根为t，依据题意得2+t=6，解得t=4故答案为4点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系练3（2022秋秭归县校级期中）已知2是一元二次方程x24xc=0的一个根，求另一个根及c的值分析：设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值解答：解：设方程另一个根为x1，依据题意得x1+2=4，x1（2）=c，x1=2+，c=（2）（2+）=43=1点评：本题考查了一元二次方程ax2+

16、bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=【例4】（2022南汇区二模）方程2x2+3x5=0的两根的符号（）A同号B异号C两根都为正D两根都为负分析：依据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析解答：解：设方程的两根是a，b，依据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=0，ab=0，依据两数的积为负数，则两数必异号，则a，b异号故选B点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则推断方程的两根的符号练4（2022秋夷陵区校级月考）方程ax2+bxc=0（a0、b0、c

17、0）的两个根的符号为（）A同号B异号C两根都为正D不能确定分析：首先由=b2+4ac0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=0可知两根异号解答：解：ax2+bxc=0（a0、b0、c0），=b2+4ac0，方程有两个不等的实数根，设方程ax2+bxc=0（a0、b0、c0）的两个根为x1，x2，x1x2=0，两根异号故选B点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=同时考查了根的判别式课后小测答案：一、选择题1（2022溧水县一模）一元二次方程2x23x5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）AB

18、CD解：依据题意得x1+x2=故选D2（2022金华）一元二次方程x2+4x3=0的两根为x1、x2，则x1x2的值是（）A4B4C3D3解：x1x2=3故选D3（2022浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x1=0的两根，则（）Ax1+x2=3，x1x2=1Bx1+x2=3，x1x2=1Cx1+x2=3，x1x2=1Dx1+x2=3，x1x2=1解：x1、x2是方程x2+3x1=0的两根，x1+x2=3，x1x2=1故选A4（2022衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A2B2C4D3解：设一元二次方程的另一根为x1，则依据一元二次方程根与系数的关系，

19、得1+x1=3，解得：x1=2故选A5（2022广西）已知实数x1，x2满意x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=0解：以x1，x2为根的一元二次方程x27x+12=0，故选：A6（2022平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=2x2，则p的值为（）A2B1C1或1D1解：一元二次方程x2+px=2，即x2+px2=0的两根为x1，x2，x1+x2=p，x1x2=2，又x1=2x2，x2=1，当x2=1时，x1=2，p=1；当x2=1时，x1=2，p=1故选

20、C7（2022东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x26x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A2B3C4D8解：设关于x的方程x26x+m=0的另一个根是t，由根与系数的关系得出：t+2=6，则t=4故选：C8关于方程式49x298x1=0的解，下列叙述正确的是（）A无解B有两正根C有两负根D有一正根及一负根解：由判别式0，知方程有两个不相等的实数根，又由根与系数的关系，知x1+x2=20，x1x2=0，所以有一正根及一负根故选D二、填空题9（2022滨湖区一模）已知方程x25x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为5解：方程x25x+2=0的两个解分别为x1、x2，x1+x2=

21、5，故答案为：510（2022南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3，m的值是4解：设方程的另一个解是a，则1+a=m，1a=3，解得：m=4，a=3故答案是：3，411（2022春遂宁校级期中）已知关于x的方程x24x+2=0的两个根是m和n，则mn=2，m+n=4解：m和n是方程x24x+2=0的两个根，m+n=4，mn=2故答案为：2，4三、解答题12（2022东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=p，x1x2=q证明：a=1，b=p，c=q=p24qx=即x1=，x2=，x1+x2=+=p，x1x2=.

22、=q13（2022秋番禺区校级月考）已知方程x2kx6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值解：设方程另一根为x2，由题意得2x2=6，解得x2=3，2+（3）=k，k=1即它的另一个根为3，k的值为114（2022防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根2，m求m，n的值解：关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根2，m，解得，即m，n的值分别是1、2 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页