三角形内外角平分线定理(2页).doc

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1、-三角形内角与外交平分线定理一、内角平分线定理已知：如图所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C作角平分线AD的平行线。 证明1：过C作CEDA与BA的延长线交于E。 则： BA/AE=BD/DC; BAD=AEC；（两线平行，同位角相等） CAD=ACE；（两线平行，内错角相等） BAD=CAD；（已知） AEC=ACE；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-4乙所示，AD是AB

2、C的内角BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DEAB于E，DFAC于F； BAD=CAD；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/SDAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/SABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/AC=BD/DC 结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。二、外角平分线定理已知：如图所示，AD是ABC中BAC的外角CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的

3、平行线。 证明1：过C作CEDA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC DAF=CEA；（两线平行，同位角相等） DAC=ECA；（两线平行，内错角相等） DAF=DAC；（已知） CEA=ECA；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-5乙所示，AD是ABC内角BAC的外角CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D作DEAC于E，DFBA的延长线于F； DAC=DAF；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/AC=BD/DC 结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看BAD和DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高3如图，在ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.图3.1-8-第 2 页-