三角形内外角平分线性质定理.pptx

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1、三角形内外角平分线性质定理三角形内外角平分线性质定理本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已节内容现在在初中课本中已“淡化淡化”，但是这几个，但是这几个结论在高中的结论在高中的“立体几何立体几何”和和“平面解析几何平面解析几何”中中有时会用到有时会用到.因此因此,在本节中首先把这几个定理内容介在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目然后利用这三个定理来解决一些题目.其其中对于中对于“平行线分线段成比例平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度介绍几条稍有难度的题目，而的题目，而“三角形内外角平

2、分线性质定理三角形内外角平分线性质定理”的题的题目直接围绕定理展开，难度不大目直接围绕定理展开，难度不大.第1页/共25页平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 定理的基本图形：如图，因为ADBECF，所以AB：BC=DE：EF;AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF第2页/共25页推论的基本图形推论的基本图形:平行线分线段成比例定理推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线），所得的对应线段成比例 第3页

3、/共25页第4页/共25页例例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例对应成比例.(文字语言文字语言)已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(符号语言)CBADEF(图形语言)分析分析：由平行线分线段：由平行线分线段成比例定理的推论可直成比例定理的推论可直接得到接得到AD:AB=AE:AC.为了证明为了证明AE:AC=DE:BC，需要构造一组平行线，使需要构造一组平行线，使AE、AC、DE、BC成为成为由这组平行线截得的线段由这组

4、平行线截得的线段.故作故作EF/AB.证明：过点E作EF/AB,交BC于点F,DE/BC,AD:AB=AE:AC.EF/AB,BF:BC=AE:AC.且四边形DEFB为平行四边形.DE=BF.DE:BC=AE:AC.第5页/共25页CBADEG已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(图形语言)法2：为了证明 ，需用平行线分线段成比例定理.故作CG/AB,且与DE的延长线交于点G.证明:过点C作CG/AB,且与DE的延长线交于点G.DE/BC,AD:AB=AE:ACCG/AB,DE:DG=AE:AC四边形DEFB为平行四边形，DG=BC.第6页/共25页例例1：证明：证明：（平

5、行于三角形一边的直线截其他两边，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）所得的对应线段成比例）同理可得同理可得:第7页/共25页例例2 2：证明：证明：（平行于三角形的一边，并且和其他两边（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。）角形三边对应成比例。）第8页/共25页例例3证明：证明：第9页/共25页玉林高中数学科玉林高中数学科第10页/共25页三角形内角平分线定理：三角形内角平分线定理：ABCD三角形外角平分线定理：三角形外角平分线定理：ABCDE三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其

6、夹角的外角平分线外分对边之比。三角形内角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的平分线内分对边之比。第11页/共25页三角形内心性质：三角形内心三角形内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）角平分线的交点（内切圆的圆心）1、角平分线上的任意点到角两边的距离相等；2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。第12页/共25页三角形三角形重重心心：三角形的三条边的中线交于一点。三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。该点叫做三角形的重心。1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21；2、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；三角形重心性质：3、重心和三角形3

7、个顶点组成的3个三角形面积相等；4、重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即第13页/共25页三角形三角形旁旁心心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心；2、每个三角形都有三个旁心；三角形旁心性质：3、旁心到三边的距离相等；ABCDE第14页/共25页三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对三角形内角平分线

8、定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。边之比。边之比。边之比。已知：如图已知：如图8-48-4甲所示，甲所示，ADAD是是ABCABC的内角的内角BACBAC的平分线。的平分线。求证：求证：BA/AC=BD/DC;BA/AC=BD/DC;思路思路1 1：过：过C C作角平分线作角平分线ADAD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明证明1 1：过：过C C作作CECE DADA与与BABA的延长线交于的延长线交于E E。则：则：BA/AE=BD/DC;BA/AE=BD/

9、DC;BAD=BAD=AECAEC；（两线平行，同位角相等）；（两线平行，同位角相等）CAD=CAD=ACEACE；（两线平行，内错角相等）；（两线平行，内错角相等）BAD=BAD=CADCAD；（已知）；（已知）AEC=AEC=ACEACE；（等量代换）；（等量代换）AE=ACAE=AC；BA/AC=BD/DCBA/AC=BD/DC。结论结论1 1：该证法具有普遍的意义。：该证法具有普遍的意义。第15页/共25页思路思路2 2：利用面积法来证明。：利用面积法来证明。已知：如图已知：如图8-48-4乙所示，乙所示，ADAD是是ABCABC的内角的内角BACBAC的平的平分线。分线。求证：求证：

10、BA/AC=BD/DCBA/AC=BD/DC证明证明2 2：过：过D D作作DEDE ABAB于于E E，DFDF ACAC于于F F；BAD=BAD=CADCAD；（已知）；（已知）DE=DFDE=DF；BA/AC=SBA/AC=S BAD/SBAD/S DACDAC；（等高时，三角形面积之（等高时，三角形面积之比等于底之比）比等于底之比）BD/DC=SBD/DC=S BAD/SBAD/S ABCDACABCDAC；（同高时，三角形面；（同高时，三角形面积之比等于底之比）积之比等于底之比）BA/AC=BD/DCBA/AC=BD/DC第16页/共25页结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边

11、作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？第17页/共25页三角形外角平分线定理：三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分夹角的外角平分线外分对边之比。对边之比。三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例.第18页/共25页已知：如图已知：如图8-58-5甲所示，甲所示，ADAD是是ABCABC中中BACBAC的外角的外角CAFCAF的平分线。的平分线。求证：求证：BA/AC=BD/DCBA/AC

12、=BD/DC思路思路1 1：作角平分线：作角平分线ADAD的平行线，用平行线分线段成比例的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。定理证明。证明证明1 1：过：过C C作作CECE DADA与与BABA交于交于E E。则：。则：BA/AE=BD/DCBA/AE=BD/DC DAF=DAF=CEACEA；（两线平行，同位角相等）；（两线平行，同位角相等）DAC=DAC=ECAECA；（两线平行，内错角相等）；（两线平行，内错角相等）DAF=DAF=DACDAC；（已知）；（已知）CEA=CEA=ECAECA；（等量代换）；（等量代换）AE=ACAE=AC；BA/AC=BD/DCBA/AC=BD/D

13、C。结论结论1 1：该证法具有普遍的意义。：该证法具有普遍的意义。角度看问题的方法了吗？角度看问题的方法了吗？第19页/共25页思路思路2 2：利用面积法来证明。：利用面积法来证明。已知：如图已知：如图8-58-5乙所示，乙所示，ADAD是是ABCABC内角内角BACBAC的外角的外角CAFCAF的平分线。的平分线。求证：求证：BA/AC=BD/DC.BA/AC=BD/DC.证明证明2 2：过：过D D作作DEDE ACAC于于E E，DFDFBABA的延长线于的延长线于F F；DAC=DAC=DAFDAF；（已知）；（已知）DE=DFDE=DF；BA/AC=SBA/AC=S BAD/BAD/

14、DACDAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=SBD/DC=S BAD/BAD/DACDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）；（同高时，三角形面积之比等于底之比）BA/AC=BD/DCBA/AC=BD/DC结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看BAD和DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换第20页/共25页内角平分线性质定理证明证明：证明：ABDC第21页/共25页外角平分线性质定理证明证明：证明：过C作AD的平行线交AB于点E。BDCDABAE，1AECCADACE1CADAECACEAEACBDCDABAC第22页/共25页第23页/共25页END第24页/共25页感谢您的观看。第25页/共25页