二元一次方程组应用题经典题有答案5.docx

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1、实际问题及二元一次方程组题型归纳(5)学问点一：列方程组解应用题的根本思想列方程组解应用题是把“未知转化为“的重要方法，它的关键是把量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必需满意：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.学问点二：列方程组解应用题中常用的根本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比拟直观，画线段,用图便于理解及分析。其等量关系式是:两者的行程差开场时两者相距的路程；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特

2、点是相向而行。这类问题也比拟直观，因而也画线段图扶植理解及分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速。留意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法及船顺水航行, 逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题：(1)利润售价本钱(进价)；(2)；(3)利润本钱进价利润率；(4) 标价本钱(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；留意：“商品利润售价本钱中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的非常之几或百分之几

3、十销售。例如八折就是按标价的非常之八即五分之四或者百分之八十4储蓄问题：(1)根本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金及利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息及本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)根本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息 (1利息税率) 年利率月利率12 。留意：免税利息=利息 5配套问题：解这类问题的根本等量关系是：总量各局部之间的比例=每一套各局部之间的比例。6增长率问

4、题：解这类问题的根本等量关系式是：原量(1增长率)增长后的量；原量(1削减率)削减后的量.7和差倍分问题：解这类问题的根本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.8数字问题：解决这类问题，首先要正确驾驭自然数, 奇数, 偶数等有关概念, 特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为21(或21)，偶数可表示为2n等，有关两位数的根本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.10几何问题：解决这类问题的根本关系式有关几何图形的性质, 周长, 面积等计算公式11年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是恒久不会变的12优化方案

5、问题：在解决问题时，常常需合理支配。须要从几种方案中，选择最正确方案，如网络的运用, 到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最正确方案。留意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比拟几种方案得出最正确方案。学问点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题:弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数:可干脆设元，也可间接设元；3找出题目中的等量关系；4列出方程组:依据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必需写“答，而

6、且在写答案前要依据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应当舍去；(2)“设, “答两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应当列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应留意的问题 弄清各种题型中根本量之间的关系； 审题时，留意从文字，图表中获得有关信息； 留意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组及解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，防止及路程单位混淆； 在找寻等量关系时，应留意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题肯定要留意检验。 类型一：列二元一次方程组解决行程问题1甲, 乙两地相距160千米，一辆汽车和一

7、辆拖拉机同时由甲, 乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机接着前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次动身半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车, 拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意： (1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. (2)有两个等量关系： 相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程160千米; 同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.依据题意，列方程组 解这个方程组，得:.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：依据题意画出示意图

8、，再依据路程, 时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。【变式1】甲, 乙两人相距36千米，相向而行，假如甲比乙先走2小时，那么他们在乙动身2.5小时后相遇；假如乙比甲先走2小时，那么他们在甲动身3小时后相遇，甲, 乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。类型二：列二元一次方程组解决工程问题2一家商店要进展装修，假设请甲, 乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲, 乙

9、两组工作一天，商店应各付多少元？(2)甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨：此题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：假设请甲, 乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：假设先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8=3520,由第二层含义可得方程6123480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得： 解得 答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一

10、天商店应付140元。 (2)单独请甲组做，需付款300123600元，单独请乙组做，需付款241403360元，故请乙组单独做费用最少。答：请乙组单独做费用最少。总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必需统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需依据题目的特点合理选用；工程问题也常常利用线段图或列表法进展分析。【变式】小明家打算装修一套新住房，假设甲, 乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；假设甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.假设只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 类型

11、三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲, 乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价风格整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，那么两件商品的进价分别是多少元？ 思路点拨：做此题的关键要知道：利润进价利润率解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元。 【变式1】2021湖南衡阳李大叔去年承包了10亩地种植甲, 乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲, 乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 【变式2】某商场用36万

12、元购进A, B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价元/件12001000售价元/件13801200注：获利 = 售价 进价求该商场购进A, B两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了打算小明一年后上中学的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25的教化储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？利息所得税利息金额20%，教化储蓄没有利息所得税思路点拨： 设教化储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以依据题意可列出表格： 解：设存一年教化储蓄的钱为x元，存

13、一年定期存款的钱为y元，那么列方程：，解得：答：存教化储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元. 总结升华: 我们在解一些涉及到行程, 收入, 支出, 增长率等的实际问题时，有时候不简单找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析详细问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之出现出来. 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？注：公民应缴利息所得税=利息金额20% 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上中学的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一

14、种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都一样，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题5某服装厂生产一批某种款式的秋装，每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现方案用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路点拨：此题的第一个相等关系比拟简单得出：衣身, 衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣

15、袖的数量等于衣身的数量的2倍(留意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，依据题意，得： 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题许多，如螺钉和螺母的配套, 盒身及盒底的配套, 桌面及桌腿的配套, 衣身及衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身及两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底

16、，可以正好制成一批完整的盒子？ 【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应安排多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。 【变式3】一张方桌由1个桌面, 4条桌腿组成，假如1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决增长率问题6. 某工厂去年的利润总产值总支出为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年削减了10%，今年的利润为780万元，去年

17、的总产值, 总支出各是多少万元？ 思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，那么有总产值万元总支出万元利润万元去年xy200今年12090780依据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值总支出和表格里的量和未知量，可以列出两个等式。解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，依据题意得：，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进展分析。【变式1】假设条件不变，求今年的总产值, 总支出各是多少万元？【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城

18、市的城镇人口及农村人口。类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题7.2021年北京丰台区中考一摸试题“爱心帐篷厂和“暖和帐篷厂原方案每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂确定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心帐篷厂和“暖和帐篷厂一周内制作的帐篷数分别到达了原来的1.6倍, 1.5倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心帐篷厂和“暖和帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出量和未知量，依据题意知未知量有两个，所以列两个方程，依据方案前后，倍数关系由量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。解：设原方案“爱心帐篷厂生产帐篷x千顶,“暖和帐篷

19、厂生产帐篷y千顶，由题意得：， 解得：4=6答：“爱心帐篷厂生产帐篷8千顶,“暖和帐篷厂生产帐篷6千顶. 【变式1】 (2021年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时是世界自然基金会在2007年提出的一项建议号召个人, 社区, 企业和政府在每年3月最终一个星期六20时30分21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候改变，提倡低碳生活中国内地去年和今年共有119个城市参与了此项活动，且今年参与活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年, 今年分别有多少个城市参与了此项活动 【变式2】 游泳池中有一群小挚友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。假如每

20、位男孩看到蓝色及红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩及女孩各有多少人吗？ 类型八：列二元一次方程组解决数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100yx解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得：，解得：答：这两个

21、两位数分别为45，23.【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？ 【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，假如把十位上的数字及个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，假如百位数字减1，个位数字加1，那么所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。类型九：列二元一次方程组解决浓度问题9现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精及水的比是37，乙种酒精溶液的酒精及水的比是41，今要得到

22、酒精及水的比为32的酒精溶液50，问甲, 乙两种酒精溶液应各取多少？ 思路点拨：此题欲求两个未知量，可干脆设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：1甲种酒精溶液及乙种酒精溶液的质量之和50；2混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；3混合前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；4混合前两种溶液所含纯酒精之和及水之和的比混合后溶液所含纯酒精及水的比。解：法一：设甲, 乙两种酒精溶液分别取x , y .依题意得：， 答：甲取20，乙取30法二：设甲, 乙两种酒精溶液分别取10x 和5y ，那么甲种酒精溶液含水7x ，乙种酒精溶液含水y ，

23、依据题意得：， 所以 1020,530.答：甲取20，乙取30总结升华：此题的第1个相等关系比拟明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得简单多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以干脆设未知数，但并不是一模一样的，问什么就设什么。有时候须要设间接未知数，有时候须要设协助未知数。举一反三：【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水及85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药

24、加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？类型十：列二元一次方程组解决几何问题10如图，用8块一样的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 思路点拨：初看这道题目中没有供应任何相等关系，但是题目供应的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x, y的二元一次方程组。解：设长方形地砖的长,宽，由题意得：， 答：每块长方形地砖的长为45, 宽为15。总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应留意仔细分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。举一反三：【变式1】用长48厘米

25、的铁丝弯成一个矩形，假设将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，那么得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，那么长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题11今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？ 思路点拨：解此题的关键是理解“6年后这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，依据这两个相等关系列方程。解：设现在父亲x岁，儿子y岁，依据题意得：， 答：父亲现在30岁，儿子6岁。总结升华：解决年龄问题

26、，要留意一点：一个人的年龄改变增大, 减小了，其他人也一样增大或减小，并且增大或减小的岁数是一样的一样的时间内。【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发觉，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题： 12某地生产一种绿色蔬菜，假设在市场上干脆销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产实力是：假如对蔬菜进展粗加工，每天可以加工16吨；假如进展细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进展.

27、受季节条件的限制，公司必需在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进展粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进展精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上干脆销售；方案三：将局部蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进展加工，获利最大，是生产经营者始终思索的问题. 此题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精, 粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探究，相互沟通，尝试解决，并在探究和解决问题的过程中，体会应用数学学问解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500140=630000(元).方案二获利

28、为：7500(615)+1000(140615)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进展精加工，吨蔬菜进展粗加工，那么依据题意，得：，解得： 所以方案三获利为：750060+450080=810000(元).因为630000725000810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元。总结升华：优化方案问题首先要列举出全部可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的详细结果，再进展比拟从中选择最优方案.举一反三：【变式】某商场方案拨款9万元从厂家购进50台电视机，厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)假设商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你探讨一下商场的进货方案；(2)假设商场销售一台甲, 乙, 丙电视机分别可获利150元, 200元, 250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？