2022年数列的求和涵盖所有高中数列求和的方法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载根据常见的几种不同的递推公式求数列的通项公式 (1) 已知满足 an满足 an 1=3nan，且 a1=1，求 an (2) 数列an中，a1=1，an+1=an+2n，求 an (3) 数列an满足 an 1=2an3，a1=1, 求 an (4) 数列an满足 an 1=2an3n+1，a1=1,求 an (5) 数列an满足a1=1,a2=35, an+2=35an+132an(n=1,2,-) ，求 an (6) 数列an满足a1=1, an=an132an an1 (n=2,3，-)，求 an 答： (1)迭乘法n (n)na123(2)迭加法nann21(3)待定系

2、数法123nna（4）同除指数2123nnna（5）待定系数法233 ( )3nna（5）同除乘积，倒数成等差321nan数列的求和一、教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点：特殊数列求和的方法三、教学过程：（一）主要知识：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2) 1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法：222221(1 ) ( 21

3、 )1236nkn nnkn2333331(1)1232nkn nkn3错位相减法：比如.,2211的和求等比等差nnnnbabababa4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22n nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6合并求和法：如求22222212979899100的和。7

4、倒序相加法：8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；（三）例题分析：例 1求和：个nnS11111111122222)1()1()1(nnnxxxxxxS思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：)110(9110101011112kkkka个)101010(91)110()110()110(9122nSnnn81109109)110(10911nnnn)21()21()21(224422nnnxxxxxxSnxxxxxxnn2)111()(242242（1）当1x时，nxxxx

5、nxxxxxxSnnnnnn2) 1() 1)(1(21)1(1)1(22222222222（2）当nSxn4,1时总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11qq或讨论。2错位相减法求和例 2已知数列)0()12( ,5,3 , 112aanaan，求前 n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5， 2n-1 与等比数列120,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaaS2) 12(5332nnanaaaaSnnnanaaaaSa)12(22221)1 (:21132当nnnnaaaSaa) 12()1()1(21)1( ,121时21)1()

6、 12() 12(1aananaSnnn当2,1nSan时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载3.裂项相消法求和例 3.求和)12)(12()2(534312222nnnSn思路分析 :分式求和可用裂项相消法求和. 解: )121121(211)12)(12(11) 12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211 (21)121121()5131()311(2121nnnnnnnnaaaSnn练 习 :求nnanaaaS32321答案 : )1() 1(

7、) 1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn4.倒序相加法求和例 4 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCCnnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1 (210有nnnnnnnnCCCCnS2)1()1(210等式成立5其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例 5已知数列nnnnSnaa求,)1(2,。思路分析：nnna)1(22，通过分组

8、，对n 分奇偶讨论求和。解：nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212) 1(2)2321 (2,2则)1(2)12()2321 (2nnmmmSn若)12(22)12()1(222)12(, 1222212mmmmmmaSSSmnmmmmn则22)1() 1(224222nnnnmm)(2)() 1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn预备 ：已知nnnaaaaxaxaxaxf,)(321221且成等差数列， n 为正偶数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载又nfnf)1(,)1 (2，试比较)

9、21(f与 3 的大小。解：naaaaafnaaaafnnn13212321) 1() 1(2222)(121dnaandnnnaann12122) 1(111naadndnaannnnfxnxxxxf)21)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2， n 为正偶数，3)21(f（四）巩固练习：1求下列数列的前n项和nS：（1）5，55，555，5555，5(101)9n，；（ 2）1111,1 3 24 3 5(2)n n；（3）11nann；（4）23,2,3,naaana；（5）1 3,24,35, (2),n n

10、；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89解： （1）555555555nnS个5(999999999)9n个235(101)(101)(101)(101)9n23550510101010(101)9819nnnn（2）11 11()(2)22n nnn，11111111(1)()()()2324352nSnn1111(1)2212nn（3）1111(1)(1)nnnannnnnnnn11121321nSnn(21)( 32)(1)nn11n（4）2323nnSaaana，当1a时，123nS(1)2n nn，当1a时，2323nSaaanna，23423naSaaa1nna，

11、两式相减得23(1)na Saaa11(1)1nnnnaaananaa，212(1)(1)nnnnanaaSa（5）2(2)2n nnn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载 原式222(1232)2(123n)n(1)(27)6n nn（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S，又2222sin 89sin 88sin 87sin 1S，289S，892S2已知数列na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS解：奇数项组成以11a为首项，公差为12 的等差数列，偶数项组成以24a为首项，公比为4 的等比数列；当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，1121(1 65)4(1 4)(1)(32)4(21)221423nnnnnnnS，当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，2(1 65)4(1 4 )(32)4(21)221423nnnnnnnS，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数四、小结：1掌握各种求和基本方法；2利用等比数列求和公式时注意分11qq或讨论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页