2022年高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案 2.pdf

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1、数列求通项公式的方法一、叠加法1适用于：1( )nnaaf n+=+ -这是广义的等差数列累加法是最基本的两个方法之一。2若1( )nnaaf n(2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n两边分别相加得111( )nnkaaf k例 1 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1) 12(2)1(221)(2 1 1) 12(1)(2)21(1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列na的通项公式为2nan

2、。例 2. 已知数列na中, 0na且)(21nnnanaS, 求数列na的通项公式 . 解: 由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS, 化简有nSSnn212, 由类型 (1) 有nSSn32212, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页又11aS得11a, 所以2)1(2nnSn, 又0na,2) 1(2nnsn, 则2) 1(2)1(2nnnnan练习 1，已知数列na的首项为 1，且*12 ()nnaan nN写出数列na的通项公式. 答案：12nn练习 2. 已知数列na满足31a

3、，)2() 1(11nnnaann，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和14nan练习 3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1( ,3 ,2, 1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121评注：已知aa1,)(1nfaann，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na. 若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差

4、数列求和; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、叠乘法1. 适用于：1( )nnaf n a -这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例 3. 已知数列na满足321a，nnanna11，求n

5、a。解： 由条件知11nnaann， 分别令)1( , 3 ,2, 1nn， 代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32练习 1. 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(21)52(21)5 2(11)5 32 (1)3253325!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn所以数列na的通项公式为(1)123 2

6、5!.n nnnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页练习 2. 设na是首项为 1 的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2，3，） ，则它的通项公式是na=_. 解：已知等式可化为：0) 1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa, 即11nnaann2n时，nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1. 评注：本题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到na与1na的更为明显的关系式，从而

7、求出na. 练习. 已知1, 111annaann, 求数列 an 的通项公式 . 答案：na) 1()!1(1an-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式, 11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab, 则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法适用于1( )nnaqaf n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数， 其定义域是自然数集的一个函数。1形如0( ,1cdcaann, 其中aa1) 型（1）若 c=1 时，数列 na 为等差数列 ; （2）若 d=0 时，数列 na 为等比数列 ; 精选学习资料

8、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页（3）若01且dc时，数列 na 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 . 待定系数法：设)(1nnaca, 得) 1(1ccaann, 与题设,1dcaann比较系数得dc) 1(, 所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cdan构成以11cda为首项，以 c 为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann. 规律：将递推关系dcaann 1化为)1(11cdaccdann, 构造成公比为 c的等比数列1c

9、dan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann例 4. 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为 2，公比为 2 的等比数列12nna，即21nna四逐项相减法 （逐差法 1） ：有时我们从递推关系dcaann 1中把 n 换成 n-1有dcaann1, 两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为 c 的等比数列1nnaa, 进而求得通项公式 . )(121aacaannn, 再利用类型 (1) 即可求得通项公式 . 我们看到此方法比较复杂 . 精选学习资料 - - - -

10、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页例 5 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解：121(2),nnaan121nnaa两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为 2，公比为 2的等比数列，再用累加法的练习已知数列na中，,2121,211nnaaa求通项na。答案：1)21(1nna2形如：nnnqapa1 (其中 q 是常数，且 n0,1)若 p=1 时，即：nnnqaa1，累加即可 . 若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向： i. 两边同除以1np. 目的是

11、把所求数列构造成等差数列即：nnnnnqppqapa)(111, 令nnnpab，则nnnqppbb)(11, 然后类型 1，累加求通项 . ii.两边同除以1nq . 目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111, 令nnnqab, 则可化为qbqpbnn11. 然后转化为类型 5 来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa. 通过比较系数， 求出， 转化为等比数列求通项 . 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例 6 已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - -

12、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页解法一（待定系数法）：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列14 3nna是首项为1 114 35a，公比为 2 的等比数列，所以114 35 2nnna，即114 35 2nnna解法二（两边同除以1nq） ： 两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa，下面解法略解法三（两边同除以1np） ： 两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略练习. 已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘

13、以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb, 应用例 7 解法得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(323形如bknpaann 1 (其中 k,b 是常数，且0k) 方法 1：逐项相减法（逐差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为) 1()(1ynxapyxnann; 解题基本步骤：1、确定( )f n=kn+b 2、设等比数列)(yxnabnn，公比为 p 3、列出关系式) 1()(1ynxapyxnann, 即1nnpbb4、比较系数求 x,y 5、解得数列)(yxnan的通项公式6、解得数列na的通项公式精选学习资料 - - - -

14、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页例 7 在数列na中，,23, 111naaann求通项na. （逐项相减法）解：，,231naann2n时，) 1(231naann，两式相减得2)( 311nnnnaaaa. 令nnnaab1, 则231nnbb利用类型 5的方法知2351nnb即13511nnnaa再由累加法可得213251nann. 亦可联立解出213251nann. 练习. 在数列na中，362,2311naaann, 求通项na. （待定系数法）解：原递推式可化为ynxayxnann) 1()(21比较系数可得： x=-6,y=9

15、, 上式即为12nnbb所以nb是一个等比数列，首项299611nab, 公比为21.1)21(29nnb即：nnna)21(996故96)21(9nann. 5. 形如21nnnapaqa 时将na作为( )f n求解分析：原递推式可化为211()() nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例 8已知数列na满足211256,1,2nnnaaaaa， 求数列na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页比较系数得3或2，不妨取2， （取-3

16、结果形式可能不同，但本质相同）则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为 4，公比为 3 的等比数列1124 3nnnaa，所以114 35 2nnna练习 1. 数列na中，若2,821aa, 且满足03412nnnaaa, 求na. 答案：nna311. 练习 2. 已知数列:,且满足的各项都是正数naNnaaaannn),4(21, 110，求数列na的通项公式 an. 解：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaannnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2 则令又bn=1，所以12

17、12)21(22,)21(nnnnnbab即. 方法 2：本题用归纳 -猜想- 证明，也很简捷，请试一试. 解法 3：设 cnnb，则c2121nnc, 转化为上面类型（ 1）来解五、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 9 已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa为等差数列， 首项111a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页公差为12，112(1),21nnnaan六、对数变换法适用于rnnpaa1(其中 p,

18、r 为常数 ) 型 p0 ，0na例 10.设正项数列na满足11a，212nnaa（n2）. 求数列na的通项公式. 解： 两边取对数得：122log21lognnaa，)1(log21log122nnaa， 设1l o g2nanb，则12nnbbnb是以 2 为公比的等比数列，11log121b11221nnnb，1221lognan，12log12nan，1212nna练习 数列na中，11a，12nnaa（n2） ，求数列na的通项公式 . 答案：nna2222例 11 已知数列na满足512 3nnnaa ，17a，求数列na的通项公式。解：因为5112 37nnnaaa，所以10

19、0nnaa，。两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny（同类型四）比较系数得，lg 3lg 3lg 2,4164xy由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg1lg 71041644164a，得lg 3lg 3lg 2lg04164nan，所以数列lg 3lg 3lg 2lg4164nan是以lg 3lg 3lg 2lg 74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)541644164nnan，因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

20、 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11111111116164444111115161644445415151164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg(lg 7)54164464lg(7 332 )5lg(332 )lg(7 332 )lg(332 )lg(732)nnnnnnnnnnan则11541515164732nnnnna。七、换元法适用于含根式的递推关系例 12 已知数列na满足111(14124)116nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令1 24nnba ，则21(1)24nnab代入11(14124)16nnnaaa得221111(1

21、)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以 3nb是以11312431 24 132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21( )32nnb，即211 2 4( )32nna，得2 111( )( )3 423nnna。八、逐差法 2（逐项相减法）1、递推公式中既有nS，又有na分析：把已知关系通过11,1,2nnnS naSSn转化为数列na或nS的递推关系，然精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

22、- - -第 11 页，共 19 页后采用相应的方法求解。例 13已知数列na的各项均为正数，且前n 项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,a aa 成等比数列，求数列na的通项公式。解：对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa当 n=1 时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a或12a当 n2 时，1111(1)(2)6nnnSaa-整理得：11()(3)0nnnnaaaana各项均为正数，13nnaa当11a时，32nan，此时2429aa a 成立当12a时，31nan，此时2429aa a 不成立，故12a舍去所以32nan练习。 已知数列na中, 0na且2)

23、1(21nnaS, 求数列na的通项公式 . 答案：nnnaSS1212) 1() 1(nnaa12nan2、对无穷递推数列例 14 已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)nnnaaaanana用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnana n故11(2)nnanna所以13222122! (1)43.2nnnnnaaanaan naaaaa由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa ，又精选学习资料 - - - - - - - -

24、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页知11a，则21a，代入得!1 3 4 52nnan。所以，na的通项公式为!.2nna数列的通项公式与求和112342421,1(1,2,3,)3(1),.(2)nnnnnnanSaaS na a aaaaa数列的前 项为且，求的值及数列的通项公式求1112,1(1,2,).:(1);(2)4nnnnnnnnanSaaSnnSnSa数列的前 项和记为已知，证明数列是等比数列*121(1)()3(1),;(2):.nnnnnanSSanNa aa已知数列的前 项为，求求证 数列是等比数列练习 1 练习 2 练习 3 精选学

25、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页11211,.2nnnnaaaaann已知数列满足求112,.31nnnnnaaaaan已知数列满足求111511,().632nnnnnaaaaa已知数列中, 求111:1,.31nnnnnaaaaaa已知数列满足，求数列的通项公式练 8 若等比数列na的前n项和 S2，则2232221naaaa练习 4 练习 5 练 习 6 练习 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页练习 9 求和： 5，55，55

26、5，5555，5(101)9n，；练习 10 求和：1111447(32)(31)nn练习 11 已知求和：111112123123n练 习 12 设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；（）求数列nnab的前 n 项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页答案练习 1 答案：练习 2 证明：(1) 注意到： a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得：S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS

27、(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1不等于 0 所以S(n)/n是等比数列(2) 由(1) 知，S(n)/n是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列。所以 S(n)/n=1*2(n-1)=2(n-1) 即 S(n)=n*2(n-1) (*) 代入 a(n+1) S(n)*(n+2)/n得23421416,3927111 4( )23 3nnaaanan234()173n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页

28、a(n+1)=(n+2)*2(n-1) (n属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2(n-2) (n属于 N且 n1) 又当 n=1 时上式也成立所以 a(n)=(n+1)*2(n-2) (n属于 N) 由(*) 式得：S(n+1)=(n+1)*2n =(n+1)*2(n-2)*22 =(n+1)*2(n-2)*4 对比以上两式可知： S(n+1)=4*a(n 练习 3 答案：1) a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2) 3Sn=an-1 3S(n-1)=a(n-1)-1 相减：

29、3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2 所以an 为等比数列！练习 4 累加法，答案：练习 5 累乘法，答案：练习 6 待定系数法，答案：练习 7 倒数法，答案：nan123nan32113()2( )23nnna132nan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页413n练习 8 公式法，答案：练习 9 答案：555555555nnS个5(999999999)9n个235(101)(101)(101)(101)9n23550510101010(101)9819nnnn练习 1

30、0 ，列项相消法，答案31nn练习 11，, 列项相消法1/(1+2+3+ +n)=1/n(n+1)/2=2/n(n+1) 所以原式 =1+2/2*3+2/3*4+ +2/n(n+1) =1+2*(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/n-1/(n+1) =1+2*1/2-1/(n+1) =2-2/(n+1) 练习 12 （错位相减法）答案：解：（）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，解得2d，2q所以1(1)21nandn，112nnnbq （）1212nnnanb122135232112222nnnnnS，3252321223222nnnnnS，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页22122221222222nnnnS，221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页