任意角的三角函数的定义.ppt

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1、三角三角三角三角5.2.1 任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义初中锐角三角函数定义初中锐角三角函数定义( (正弦，余弦，正切正弦，余弦，正切) ) 思考思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义角的范围已经推广，那么我们如何定义 任意角任意角 的的三角函数呢？三角函数呢？ 斜边邻边Acos斜边对边Asin邻边对边AtanAB邻邻 边边 斜斜 边边对对边边C 任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 已知已知 是是任意角，任意角，P(x，y)，P (x，y)是角是角 的的终边与两个半径不同的同心圆的交点，终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得则由相似三角形对应边

2、成比例得 xyxy,ryry,rxrx由于点由于点 P，P 在同一象限内，在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得所以它们的坐标符号相同，因此得 ，xyxyryryrxrxPPyxOxyryxr 所以当角所以当角 不变时，不论点不变时，不论点 P 在角在角 的的终边上的位置如何，终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只这三个比值都是定值，只依赖于依赖于 的大小，与点的大小，与点 P 在在 角角 终边上的位终边上的位置无关置无关.设角设角 的终边上的任意一点的终边上的任意一点P（x，y），），点点 P 到原点到原点的距离为的距离为 r. 于是我们有如下定义：于是我们有如下定义：rxrx比值比

3、值 叫做叫做角角 的余弦的余弦. .记作记作 cos ryry比值比值 叫做叫做角角 的正弦的正弦. .记作记作 sin xyxy比值比值 叫做叫做角角 的正切的正切. .记作记作 tan 依照上述定义，对于每一个确定的角依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别，都分别有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应关系都是以角关系都是以角 为自变量的函数，分别称作角为自变量的函数，分别称作角 的的余弦函数、正弦函数和正切函数余弦函数、正弦函数和正切函数计算三角函数值的步骤：计算三角函数值的步骤：S1 画角画角 在直角坐标系中，作转角在直角坐标系中

4、，作转角 ；S2 找点找点 在角的终边上任找一点在角的终边上任找一点P，使，使 OP 1 1， 并量出该点的纵坐标和横坐标；并量出该点的纵坐标和横坐标；S3 求值求值 根据三角函数定义，求出角根据三角函数定义，求出角 的三角函数值的三角函数值 三角函数求值三角函数求值例例 1 已知角已知角 终边经过点终边经过点 P（2，- -3）如图，如图， 求求角角 的三个三角函数值的三个三角函数值OyxP（2，-3）解解 已知点已知点 P（2， -3），则则133222 OPr；23tan13132132cos13133133sinxyrxry例例 2 试确定三角函数在各象限的符号试确定三角函数在各象限的

5、符号解解 由三角函数的定义可知，由三角函数的定义可知，sin ，角，角 终边上点的纵坐标终边上点的纵坐标 y 的正、负的正、负与角与角 的正弦值同号；的正弦值同号；rycos ，角，角 终边上点的横坐标终边上点的横坐标 x 的正、负的正、负与角与角 的余弦值同号；的余弦值同号；rxtan ，则当，则当 x 与与 y 同号时，正切值为正，同号时，正切值为正，当当 x 与与 y 异号时，正切值为负异号时，正切值为负xy记忆口诀：记忆口诀：全全正，正，正弦，正弦，正切，正切，余弦余弦+ + +xyosin- - -xcosyo+ +- -+ +- -tanxyo+ + +- - -三角函数在各象限的

6、符号如下图所示：三角函数在各象限的符号如下图所示： ( (2) ) 因为因为 130 是第二象限角，是第二象限角，所以所以 cos 130 0.练习练习1 1 确定下列各三角函数值的符号：确定下列各三角函数值的符号：34tan)4sin( (1) ； (2) cos130 ； (3)( (3) ) 因为因为 是第三象限角，是第三象限角，34解解 ( (1) ) 因为因为 是第四象限角，是第四象限角， 434tan所以所以 0.)4sin(所以所以 0.例例3 使用函数型计算器，计算下列三角函数值：使用函数型计算器，计算下列三角函数值：(1) sin67.5 ， cos372 ， tan (86

7、 )；(2) sin1.2， cos ， tan 43651. 以原点为圆心，半径为以原点为圆心，半径为 1 的圆称为的圆称为单位圆单位圆.2. 如图，角如图，角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P，则根据三角函数定义可知，点则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标的坐标 x， y 分别为分别为 cos 和和 sin ，即，即 P( cos , sin ).O M x A(1,0)(1,0)y1 P 由于由于 cos x OM； sin y MP，于是我们把于是我们把规定了方向的线段规定了方向的线段OM 称作角称作角 的的余弦线余弦线，MP 称作角称作角 的的正弦线正弦线 . 单位圆与三

8、角函数线单位圆与三角函数线(cos , sin )练习练习 2 2（1 1） 在单位圆中在单位圆中作出下列各角的正弦线、余弦线作出下列各角的正弦线、余弦线 （1） ； （2） 332yxOyxO3PM32PM如何画如何画正切线？正切线？yxOATT所以所以 AT ( AT ) 称作角称作角 的的正切线正切线 ，因为)(tanTAATxy附注 通过单位圆研究三角函数的几何演示过程可在主界面单击“单位圆研究三角函数.gsp”文件观看.练习练习 2 2（2 2） 在单位圆中在单位圆中作出下列各角的正切线作出下列各角的正切线 （1） ； （2） 332yxOyxO3M32MTATA 本节课所学知识点：本节课所学知识点：1 1任意角三角函数的定义（代数表示）任意角三角函数的定义（代数表示）2 2任意角三角函数值的求法（两种方法）任意角三角函数值的求法（两种方法）3 3任意角三角函数值的符号（记住口诀）任意角三角函数值的符号（记住口诀）4 4任意角三角函数的几何表示（三角函数线任意角三角函数的几何表示（三角函数线） 教材教材P138，练习，练习 A 组，练习组，练习B 组组