任意角的三角函数定义ppt课件.ppt

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1、一、背景知识一、背景知识 任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各论各种三角形种三角形，才独立于天文学之外对三角，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；知识作了较系统的阐说；1416世纪，三角世纪，三角学曾一度成为欧

2、洲数学的主要内容，研究学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。建立和推导等等。1631年，三角学输入中年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三角三角”。“八线八线”是指在单是指在单位圆上的八种三角函数线：位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角正矢线、余矢线。随

3、着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。工程和无线电学中有着广泛的应用。温故而知新温故而知新sinBCAAB tanBCAAC cosACAAB cotACABC ACB对边邻边斜边在直角三角形在直角三角形ABCABC中，角中，角A A的取值范围是？的取值范围是？ （0 0o o，9090O O）sin120sin120o o=?=?cos150cos150o o=?=?tan315tan315o o=?=?问题问题: :任意角的三角函数定义

4、任意角的三角函数定义xyo的终边的终边P（x，y）rsinyr cosxr tanyx 思考：思考：1 1、对于确定的角、对于确定的角，比值，比值( (如果有的话如果有的话) )与与P P点点在在终边上的位置终边上的位置有无关系？有无关系？2 2、可以看作一个函数？、可以看作一个函数？怎么对应？怎么对应？3 3、对于、对于正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切的定义，任意的角的定义，任意的角都是有意义的吗？都是有意义的吗？4 4、不同角在象限上的、不同角在象限上的符号符号如何？如何？例题导练例题导练:( 3,4),sin,cos,tan.P 例1 已知角 的终边上有一点例1 已知角 的终边上有一点求

5、的值求的值22:( 3)45OPr解解4sin5yr 所以,所以,3cos5xr 4tan3yx 练习练习2416.(4 , 3 )(0),:sin ,cos ,tanPPaa a 角 的终边经过点角 的终边经过点 求的值.求的值.22OP=(4 )( 3 )5,(0)33(1)0,5 ,sin,554433cos,tan,554433(2)0,5 ,sin,554433cos, tan,55443430sin,cos,tan,5540raaaayaararaxayaraxayaararaxayaraxaaa 解：解：当时当时当时当时当时,当时,当当343sin,cos,tan.554 时,时

6、,7 2. 4求求角角的的各各个个三三角角函函数数值值例例分析：分析：此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。XYO47解：解：7,4,(1, 1), x1, y1P 如如右右图图所所示示角角是是第第四四象象限限角角它它的的终终边边是是第第四四象象限限的的角角平平分分线线 在在这这条条角角一一部部分分线线上上任任取取一一点点即即22

7、r1( 1)2 则则根据三角函数的定义得：根据三角函数的定义得：7y12sin4r22 ，7x12cos4r22 7y1tan14x1 ，P（1，-1） 三角函数三角函数定义域定义域 由于角的集合以实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数。 在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域定义域如下：,2kkZ sinyr cosxr tanyx RR任意角三角函数值在各象限的符号几个特殊角的三角函数值角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan2 32 2 000000001111 1 不不存存在在不不存

8、存在在03 4 6 2222112323332123课堂练习课堂练习1 1、已知角、已知角 终边上的一点终边上的一点P P的坐标如下，求的坐标如下，求 角角的各个三角函数值。的各个三角函数值。（1 1）P P（1 1，-7-7）; ; （2 2）P P（-5-5，2 2）; ; （3 3）P P（1 1，0 0）. .2 2、已知角、已知角 的值如下，求角的值如下，求角的各个三角的各个三角函数值。函数值。 335(1)a; (2)a; (3)a-.422 例例2 2 确定下列三角函数值的符号：确定下列三角函数值的符号：711(1)cos; (2)sin( 465 ); (3)tan123 77

9、(1) cos0. 2 112解：是第二象限的角，解：是第二象限的角，(2)-465 =-2 360 +255-465sin( 465 )0. ，即是第三象限的角，即是第三象限的角，11511(3)233311tan0.3 , ,即是第四象限的角，即是第四象限的角， 探索探索 三种三角函数能否找到一种三种三角函数能否找到一种几何表示几何表示呢？呢？sin(yMPMPrOP 正弦线正弦线) )cos(xOMOMrOP 余弦线余弦线) )tan(yATATxOA 正切线正切线) )xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()例例1 作出下列各角的

10、正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线332（1） ；（；（2） 例例2、用正弦线和余弦线证明：、用正弦线和余弦线证明：1cossin22例例3求证：当为锐角时，求证：当为锐角时，tansin1.sin0,cot0.().2.( 6 , 8 )0).1/5. 1/5. 1/57/5. 1/51/53.,sin2 ,cos2sin/2cos/2.0.1.2.3ABCDPaaaABCDABCD若且则角 是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角设角 的终边过点则sin -cos 的值为(或或若 为第一象限角 则和中必取正值的有个个个个sincostan4.()sincostan

11、.1,3.1, 3.1,1,3.3, 1,35.sincos0,().,.,.,.,(2 ,3 )(0),sincos_sin_,cos_,tan_xxxyxxxABCDABCDPtt t 函数+的值域是若则 在第一 二象限角第一 三象限角第一 四象限角第二 四象限角6.若角 终边过点则的符号为_探索：找出的基本关系与与tancossin例1化简21 sin 4402cos 80cos80221 sin (36080 )1 sin 80解：原式例2化简1 2sin40 cos402(sin40cos40 )|cos40sin40 | cos40sin4022sin 40cos 402sin40 cos40解：原式