勾股定理逆定理 (2).ppt

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1、勾股定理的逆定理(2)判定一个三角形是否直角三角形有几种方法判定一个三角形是否直角三角形有几种方法回顾回顾方法一：可以根据角度方法一：可以根据角度方法二：如果三角形的三边长方法二：如果三角形的三边长a,b,c满足满足222cba那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形满足 的三个 ，称为勾股数。222cba正整数你能写出常用的勾股数3，4，5 ； 5，12，13； 8，15，17 ； 7，24，25 約公元前 1700 年，巴比倫人經已發現了此定理！巴比倫泥板普林頓 322 號请你与你的同伴合请你与你的同伴合作，看看可以找出多作，看看可以找出多少组勾股数。少组勾股数。abc1 1

2、12 2 20 0 01 1 11 1 19 9 91 1 16 6 69 9 93 3 34 4 45 5 56 6 63 3 33 3 36 6 67 7 74 4 48 8 82 2 25 5 54 4 48 8 80 0 00 0 04 4 46 6 60 0 01 1 16 6 66 6 64 4 49 9 91 1 13 3 35 5 50 0 00 0 01 1 12 2 27 7 70 0 09 9 91 1 18 8 85 5 54 4 41 1 17 7 72 2 26 6 65 5 59 9 97 7 73 3 36 6 60 0 03 3 31 1 19 9 94 4

3、48 8 81 1 12 2 27 7 70 0 00 0 02 2 22 2 29 9 91 1 13 3 35 5 54 4 41 1 19 9 96 6 60 0 07 7 79 9 99 9 91 1 12 2 24 4 49 9 96 6 60 0 00 0 04 4 48 8 81 1 17 7 76 6 69 9 96 6 64 4 48 8 80 0 04 4 49 9 96 6 61 1 18 8 81 1 16 6 61 1 16 6 60 0 04 4 45 5 57 7 75 5 52 2 24 4 40 0 00 0 01 1 16 6 67 7 79 9 92 2

4、29 9 92 2 29 9 92 2 24 4 40 0 01 1 16 6 61 1 12 2 28 8 89 9 92 2 27 7 70 0 00 0 01 1 17 7 77 7 71 1 13 3 32 2 22 2 29 9 99 9 90 0 05 5 56 6 61 1 10 0 06 6 6a2b2c21 1 14 4 44 4 40 0 00 0 01 1 14 4 41 1 16 6 61 1 12 2 28 8 85 5 56 6 61 1 11 1 11 1 19 9 94 4 43 3 39 9 93 3 36 6 61 1 11 1 13 3 33 3 36 6

5、 66 6 68 8 89 9 92 2 23 3 32 2 28 8 80 0 06 6 62 2 25 5 52 2 23 3 30 0 04 4 40 0 00 0 00 0 00 0 02 2 21 1 11 1 16 6 69 9 92 2 20 0 01 1 14 4 44 4 42 2 20 0 09 9 92 2 20 0 01 1 11 1 18 8 82 2 22 2 25 5 50 0 00 0 00 0 00 0 01 1 16 6 61 1 15 5 51 1 18 8 86 6 68 8 81 1 13 3 34 4 43 3 37 7 76 6 68 8 86 6

6、 68 8 81 1 15 5 51 1 18 8 84 4 44 4 42 2 22 2 25 5 59 9 94 4 40 0 09 9 91 1 12 2 29 9 96 6 60 0 00 0 01 1 10 0 01 1 17 7 76 6 61 1 12 2 23 3 31 1 13 3 36 6 61 1 17 7 72 2 29 9 90 0 00 0 00 0 00 0 05 5 52 2 24 4 48 8 86 6 68 8 81 1 11 1 12 2 25 5 53 3 38 8 86 6 68 8 81 1 19 9 92 2 21 1 16 6 60 0 00 0

7、 06 6 63 3 38 8 84 4 40 0 01 1 11 1 15 5 56 6 60 0 00 0 00 0 01 1 13 3 36 6 60 0 00 0 00 0 00 0 02 2 23 3 31 1 13 3 36 6 61 1 15 5 59 9 91 1 13 3 36 6 61 1 14 4 41 1 19 9 99 9 90 0 04 4 40 0 00 0 02 2 24 4 46 6 61 1 11 1 15 5 52 2 21 1 16 6 66 6 66 6 60 0 01 1 19 9 92 2 21 1 13 3 36 6 60 0 00 0 02 2

8、 20 0 02 2 25 5 55 5 56 6 62 2 25 5 55 5 57 7 76 6 60 0 00 0 00 0 00 0 02 2 28 8 81 1 16 6 60 0 04 4 41 1 18 8 85 5 57 7 79 9 90 0 04 4 41 1 15 5 57 7 76 6 60 0 00 0 02 2 25 5 59 9 92 2 21 1 18 8 83 3 35 5 52 2 21 1 17 7 72 2 29 9 90 0 00 0 00 0 00 0 03 3 31 1 13 3 36 6 64 4 44 4 41 1 11 1 10 0 04 4

9、 42 2 26 6 64 4 44 4 41 1 18 8 81 1 10 0 00 0 03 3 31 1 13 3 36 6 61 1 11 1 12 2 23 3 36 6 6勾股数勾股数 满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数） 毕达哥拉斯学派明确地给出了勾股数的一组公式：毕达哥拉斯学派明确地给出了勾股数的一组公式：一组勾股数的正整数解：一组勾股数的正整数解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特点是斜边与其中一股的差为，其特点是斜边与其中一股的差为1。 古希腊学者柏拉图（古希腊学者柏拉图（Plato,约前约前427前前34

10、7）也给）也给了另一组公式：了另一组公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此时斜，此时斜边与其中一股之差为边与其中一股之差为2。 我国古代数学巨著我国古代数学巨著九章算术九章算术中中,也提出了一组求勾股数的式子也提出了一组求勾股数的式子,这组式子相当于：任意给定两个这组式子相当于：任意给定两个正整数正整数m，n(mn)，那么这三个，那么这三个正整数就是一个整勾股数组。正整数就是一个整勾股数组。 公元公元3世纪，我国著名数学家刘徽从世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。几何上也证明了这一结论。 被誉为被誉为“代数学鼻祖代数学鼻祖”的数学家丢番图的数学家丢番图（Diophantu

11、s,约约330246）全部解的公式是）全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2 ，其中其中m，n（mn）是互质且一奇一偶的任意正整数。是互质且一奇一偶的任意正整数。 1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前年到公元前l600年之间。年之间。观察下列表格：观察下列表格：列举列举猜想猜想3 3、4 4、5 53 32 2=4+5=4+55

12、5、1212、13135 52 2=12+13=12+137 7、2424、25257 72 2=24+25=24+251313、b b、c c13132 2=b+c=b+c请你结合该表格及相关知识，求出请你结合该表格及相关知识，求出b b、c c的值的值. .即即b=b= ，c=c= 勾股小常识：勾股数勾股小常识：勾股数 1、 a+b =c，满足，满足(a,b,c)=1则则a,b,c,为为基本勾数如：基本勾数如：3、4、5;5、12、 13;7、24、25 2、如果、如果a,b,c是一组勾股数，则是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：为正整数）也是一组勾股数，如：

13、6、8、10；9、12、15 3、若、若a,b,c是一组基本的勾股数，则是一组基本的勾股数，则a,b,c不能同时为奇数或同时为偶数不能同时为奇数或同时为偶数 4、一组勾股数中必有一个数是、一组勾股数中必有一个数是5倍数倍数 5、2mn,m-n,m+n为勾股数组，为勾股数组，mn0,m,n一奇一偶一奇一偶请找出到请找出到50(包括包括50)的自然数中的数共的自然数中的数共有几组？说说你的方法？有几组？说说你的方法？勾股定理的推广：勾股定理的推广：v费尔马大定理费尔马大定理(费尔马是费尔马是17世纪法国数学家世纪法国数学家 )v广勾股定理广勾股定理除了三元二次方程除了三元二次方程x2 + y2 =

14、z2（其中（其中x、y、z都是未知数）都是未知数）有正整数解以外，其他的三元有正整数解以外，其他的三元n次方程次方程xn + yn =zn（n为已知正整数，且为已知正整数，且n2）都不可能有正整数解。）都不可能有正整数解。 (1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边 中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中 的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍 7.如图，

15、有一块地，已知，如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADE=90，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。求这块地的面积。ACBD1.如图，两个正方形的面积分别为如图，两个正方形的面积分别为64，49，则则AC=( )ADC64492.由四根木棒，长度分别为由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若去其中三根木棒组呈三角形，有若去其中三根木棒组呈三角形，有( )中取法，其中，能构成直角三角形的是中取法，其中，能构成直角三角形的是（ ） 1.如图，如图，A=D=90O，AB=CD=12cm,AD=BC=25cm,E是是AD上一点，且上一点，且AE：ED=16：9。试判断试判断BEC是直角，并说明理是直角，并说明理由。由。 ABCDE 直角三角形三边上的等边三角形的面积之间有什么关系？ABCDEF图1图2。？CPBPAPABAP，BCAC，C，ABABC试说明理由吗连结上任意一点是中22如图如图1，分析：由结论中的平方能联想到什么？分析：由结论中的平方能联想到什么？勾股定理适用于直角三角形，构造直勾股定理适用于直角三角形，构造直角三角形是关键。如何构造呢？角三角形是关键。如何构造呢？