最新七大函数,七大性质.doc

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1、精品资料七大函数,七大性质.七大函数 1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数七大性质 1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性壹一次函数（正比例函数）1、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，即：y=kx （k为常数，k0） 则此时称y是x的正比例函数。2、一次函数的性质：（1） 在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2） 一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。（3)

2、 k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限； 当b0时，直线必通过三、四象限。 当b=0时，直线通过原点。 (4)特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰二次函数1函数叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。2根与系数的关系-韦达定理（1）若一元二次方程中，两根为，。 求根公式， 补充公式 。 韦达定理，。（2）以，为两根的方程为（3）

3、用韦达定理分解因式3任何一个二次函数都可配方为顶点式：，性质如下：（1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。（2）最大（小）值 当，函数图象开口向上，有最小值，无最大值。 当，函数图象开口向下，有最大值，无最小值。（3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根 有两个相等实数根没有实数根不等式的解集 叁反比例函数1、定义：一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：（1）x是自变量，y是x的反比例函数；（2

4、）自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；（3）反比例函数有三种表达式：（）， （）， （定值）（）。（4）函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。2、反比例函数解析式的特征：反比例函数（）的符号图像 定义域和值域，；即（，0）U（0，+），即（，0）U（0，+）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。肆指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*2实数指数幂的运算性质（1） （2） （3） 均满足

5、（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中定义域为xR2、指数函数的图象和性质条件a10a10a0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5) ,则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.8. 分数指数幂 (1)（，且）. (2)（，且）.9. 根式的性质（1）.（2）当为奇数时，； 当为偶数时，.10. 有理指数幂的运算性质(1). (2). (3).注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式 . 对

6、数的换底公式 (,且,且, ). 推论 (,且,且, ).11. 对数的四则运算法则若a0，a1，M0，N0，则(1); (2); (3).注：设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若,则函数(1) 当时,在和上为增函数.(2) 当时,在和上为减函数.推论：设，且，则 （1）. （2）. 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法：

7、首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数； f(-x)=-f(x)为奇函数； f(-x)-f(x)=0为偶； f(x)+f(-x)=0为奇； f(-x)f(x)=1是偶； f(x)f(-x)=-1为奇函数.（1） 若定义域关于原点对称 （2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数 常用性质： 1是既奇又偶函数； 2奇函数若在处有定义，则必有； 3偶函数满足； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称； 5除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数奇函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 （2）

8、奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数6 任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，若对任意且 总有则称在区间M上单调递增 总有则称在区间M上单调递减 应用：（一）常用“定义法”来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反（3） 复合函数单调性-同增异减（右图） 3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T，使得内一切值时

9、总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（自己证明）（2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。（自己证明） （推论）若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期（3） 若；则是周期函数，2是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性1、函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 02、函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) 3、函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)4、若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数， 且2| ab|是其一个周期。二不同函数对称性1、函数y = f (a+x)与y = f (bx)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称2、互为反函数的两个函数关于直线y=x对称