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1、精品资料欢迎下载七大函数 1、一次函数 2、二次函数 3、反比例函数 4、指数函数 5、对数函数 6、幂函数 7、三角函数七大性质 1、定义域 2、值域 3、最值 4、周期性 5、奇偶性 6、单调性 7、对称性壹一次函数（正比例函数）1、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0时，即： y=kx （k 为常数， k0）则此时称 y 是 x 的正比例函数。2、一次函数的性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式： y=kx+b。（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（ 0，b)，与 x 轴总是交于（

2、 -b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。（3) k ，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。当 b0 时，直线必通过一、二象限；当 b0 时，直线必通过三、四象限。当 b=0时，直线通过原点。(4) 特别地，当 b=O时，直线通过原点O （0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k0 时，直线只通过一、三象限；当k0 时，直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰二次函数名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

3、精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1函数)0(2acbxaxy叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。2根与系数的关系 - 韦达定理（1）若一元二次方程002acbxax中，两根为1x，2x。求根公式242bbacxa，补充公式axx21。韦达定理abxx21，acxx ?21。（2）以1x，2x为两根的方程为021212?xxxxxx（3）用韦达定理分解因式2122xxxxaacxabxacbxax3任何一个二次函数)0(2acbxaxy都可配方为顶点式：abac

4、abxay44)2(22，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2abacab，对称轴是直线abx2。（2）最大（小）值当0a，函数图象开口向上，y有最小值，abacy442min，无最大值。当0a，函数图象开口向下，y有最大值，abacy442max，无最小值。（3）当0a，函数在区间)2,(ab上是减函数，在),2(ab上是增函数。当0a，函数在区间上),2(ab是减函数，在)2,(ab上是增函数。4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归

5、纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根不等式的解集20axbxc0a12x xxxx或2bx xaR20axbxc0a12x xxx叁反比例函数1、定义：一般地，形如xky（k 为常数，0k）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：（1）x 是自变量， y 是 x 的反比例函数；（2）自变量 x 的取值范围是0 x的一切实数

6、，函数值的取值范围是0y；（3）反比例函数有三种表达式：xky（0k），1kxy（0k），kyx（定值）（0k）。（4）函数xky（0k）与ykx（0k）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时， x 也是 y 的反比例函数。2、反比例函数解析式的特征：反比例函数xky（0k）k的符号0k0k图像定义域和值域0 x，0y；即（，0）U（0，+ ）0 x，0y即（， 0）U（0，+ ）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大。肆指数函数（一）指数与指数幂的运算

7、1根式的概念：一般地，如果axn，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n1，且 nN*2实数指数幂的运算性质名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）rasrraa（2）rssraa )(（3）srraaab)(均满足), 0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1, 0(aaayx且叫做指数函数，其中定义域为xR 2、指数函数的图象和性质注意：利用函数

8、的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a ，b 上，) 1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f ；（2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数) 1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；伍对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果Nax)1, 0(aa，那么数 x叫做以a为底N的对数，记作：Nxalog（ a 底数，N 真数，Nalog 对数式）xNNaaxlog；2两个重要对数：1常用对数：以 10 为底的对数Nlg；2自然对数：以无理数71828. 2e为底的对数Nln（二）对数的运算性质如果0a，且1a，0M，0

9、N，那么：1Ma(log)NMalogNalog；2NMalogMalogNalog；3naMlognMalog)(Rn注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b）利用换底公式推导下面的结论（1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且) 1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数条件a1 0a1 0a1 图像32.521.5

10、10.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域x0 x 0 值域R R 单调性在 R上递增在 R上递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（ 1， 0）过定点（ 1，0）名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(

11、上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y轴正半轴，当 x趋于时，图象在 x轴上方无限地逼近x轴正半轴3、幂函数的图像幂函数（ 1) 幂函数（ 2) 幂函数（ 3) 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数 x叫做函数)(Dxxfy的零点。 2 、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与 x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与 x轴有交点函数)(xfy有零点 3 、函数零点的求法：1（代数法）求方程0)(xf的实数根

12、；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点柒三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx函数性质名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

13、 -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载三角函数（记忆）1、同角三角函数的基本关系式：tancossin，cotsincos，1cottan，1cossin22图象1、定义域RR,2x xkk2、值域1,11,1R3、最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值4、周期性225、奇偶性奇函数偶函数奇函数6、单调性在 2,222kkk上，是增函数；在32,222kkk上，是减函数在

14、2,2kkk上，是增函数；在 2,2kkk上，是减函数在,22kkk上，是增函数7、对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无对称轴名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1sincsc，1cossec，1tansec22，1cotcsc22注意：提高解题速度。勾股数（ 3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，1

15、5，17）2、诱导公式：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 。公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(3、三角函数公式：三角恒等变换：（1）角的

16、变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：两角（和与差）的三角函数关系sin()=sin coscos sincos()=cos cossin sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin coscos2=cos2-sin2=2cos2-1 =1-2sin22tan1tan22tan积化和差公式sin cos=21sin(+)+sin(-)，cos sin=21sin(+)-sin(-) cos cos=21cos(+)+cos(-)，s

17、in sin= -21cos(+)-cos(-) 半角公式2cos12sin，2cos12coscos1cos12tan=和差化积公式sin+sin= 2cos2sin2sin- sin=2sin2cos2cos+cos=2cos2cos2cos- cos= -2sin2sin2tan+ cot=2sin2cossin1tan- cot= -2cot2，1 sin=(2cos2sin)21+cos=2cos22， 1-cos=2sin22升幂公式1+cos=2cos22，1-cos=2sin221sin=(2cos2sin)2 1=sin2+ cos2，sin=2cos2sin2降幂公式si

18、n222cos1，cos222cos1sin2+ cos2=1，sin cos=2sin21三倍角公式3sin4sin33sin；cos3cos43cos3；名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；3是23的二倍；3是6的二倍；22是4的二倍。2304560304515oooooo；)(；)4(24；)4()4()()(2；等等（2）

19、函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottantanseccossin12222（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理

20、化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。常用形式转换（1）)4tan(tan1tan1a；)4tan(tan1tan1a（ 2）)tantan1)(tan(tantana（3）sinsin1=|cos|sin1（4）|2cos2sin|sin1（5）2sin2cossin1cottan（6）xxxxxxctgxtgx2sin2cos2cossincossin22（7）sincos1sincos12cos2sin22sin22cos2sin22cos2222cot)2cos2(sin2sin2)2sin2(cos2cos2（8） cos20 cos40 cos80 = 20sin80co

21、s40cos20cos20sin20sin80cos40cos40sin218120sin160sin8120sin80cos80sin41（9）22sincossin，其中tan1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322

22、-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32-2oyxy=cotx3222-2oyx2、函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。图像的平移1、对函数yAsin( x) k (A0, 0, 0, k0) , 其图象的基本变换有：(1) 振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A1, 伸长；A1, 缩短(2) 周期变换 ( 横向伸缩变换) ：是由的变化引起的1，缩短；1, 伸长(3) 相位变换 ( 横向平移变换) ：是由的变化引起的0

23、, 左移；0，右移(4) 上下平移 ( 纵向平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0, 下移由 ysinx 的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换 )先将 ysinx 的图象向左 (0)或向右 (0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，便得 ysin(x)的图象 .途径二：先周期变换(伸缩变换 )再平移变

24、换。先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(0)，再沿 x 轴向左 (0)或向右 (0平移|个单位，便得ysin(x)的图象。2、由 yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。3、对称轴与对称中心：对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

25、第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载4、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负 .利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；5、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。6、五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由 x 取 0、2、23、2来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域1,1 1,1R

26、RAA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0 非奇非偶当,0 奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数（Zk）2,12kk；上为增函数12,2kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1, kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数（Zk）1、角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad180 57.30=571811800.01745（rad）2、弧

27、长公式：rl|. 扇形面积公式：211| |22slrr扇形3、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P （ x,y ）P与原点的距离为r ，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；yrcsc.4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinroxya的终边P（ x,y )名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共

28、17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy5、三角函数线正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 6、注意要点：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）. xysin与xycos的周期是. )sin( xy或)cos( xy（0）的周期2T. 2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效）. )sin( xy的对称轴方程是2kx（Zk），对称中心（0 ,k）；)cos( xy的对称轴方程

29、是kx（Zk），对称中心（0 ,21k）；)tan( xy的对称中心（0,2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan, 1tan)(2Zkk； tan, 1tan)(2Zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 ,而)( xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. 函数xytan在R上为增函数。（错误说法）只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，

31、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载xycos为周期函数（T）；212cos xy的周期为（如图）。注：并非所有周期函数都有最小正周期。三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（ x ）的振幅 |A| ，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位）（当 A0， 0 时以上公式可去绝对值符号），由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做

32、振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0 |1）或缩短（ |1）到原来的1|倍，得到y sin x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x) 由 y sinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动个单位，得到 y sin（x ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x) 由 y sinx 的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当b0）平行移动b个单位，得到 y sinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移（用 y+(-b) 替换 y）由 y sin

33、x 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ）（A0， 0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。三角函数解三角形常用公式1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2sincRC；:sin:sin:sina b cC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有222

34、2cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90Co；若222abc，则90Co；若222abc，则90Co高中数学函数知识点梳理yxy= cos|x|图象1/2yxy=| cos2 x+1/2 |图象名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - -

35、- - - - - - 精品资料欢迎下载1.函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数 , 则在公共定义域内, 和函数)()(xgxf也是减函数；如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数)(xgfy是

36、增函数 . 2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 注：对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax；两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 注：若)()(axfxf, 则函数)(xfy的图象关于点)0 ,2(a对称；若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周

37、期为a2的周期函数 . 3.多项式函数110( )nnnnP xa xaxaL的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 (即奇数项 ) 的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 (即偶数项 ) 的系数全为零. 函数( )yf x的图象的对称性(1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2) 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性(1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对

38、称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . (3) 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . (4) 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象 . 5.互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1. 若函数)(bkxfy存在反函数 , 则其反函数为)(11bxfky, 并不是)(1bkxfy, 而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数 . 6.几个常见的函数方程(1) 正比例函数( )f xcx,()

39、( )( ),(1)fxyf xf yfc. 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x fyfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( )( ),(1)f xyf x fyf. (5) 余弦函数( )c

40、osf xx, 正弦函数( )sing xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 7.几个函数方程的周期(约定 a0) （ 1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（ 2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxf xafx, 则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且121

41、2( )1( ()()1,0|2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 8.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）. 9.根式的性质（ 1）()nnaa. （ 2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 10.有

42、理指数幂的运算性质(1)(0, ,)rsrsaaaar sQ. (2)()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 11.对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log ()loglog

43、aaaMNMN; (2)logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 注：设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0;若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验 . 12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0 x,1xa, 则函数log()axybx名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - -

44、- - - - 精品资料欢迎下载(1) 当ab时 , 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数 . (2) 当ab时 , 在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数 . 推论：设1nm，0p，0a，且1a，则（ 1）log()logmpmnpn. （2）2logloglog2aaamnmn. 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再

45、计算f(-x)与 f(x) 之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数； f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0为偶； f(x)+f(-x)=0为奇；f(- x) f(x)=1是偶；f(x) f( -x)=-1为奇函数 . （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3xy在) 1, 1上不是奇函数常用性质： 10)(xf是既奇又偶函数； 2奇函数若在0 x处有定义，则必有0)0(f； 3 偶函数满足)()()(xfxfxf； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 50)(xf除外的所有函数的奇偶性满足：（ 1）奇函数奇函数=奇函数偶函数

46、偶函数=偶函数奇函数偶函数=非奇非偶（ 2）奇函数奇函数=偶函数偶函数偶函数=偶函数奇函数偶函数=奇函数6任何函数)(xf可以写成一个奇函数2)()()(xfxfx和一个偶函数2)()()(xfxfx的和。2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，若对任意且总有则称在区间 M上单调递增总有则称在区间 M上单调递减应用：（一）常用“定义法”来证明一个函数的单调性一般步骤：（ 1）设值（ 2）作差（ 3）变形（ 4）定号（ 5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法( 以后学 ) 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理

47、归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-同增异减（右图） 3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0 的常数 T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kT（T的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期（自己证明）

48、（2）若定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线 x = b成轴对称（ab），则 y = f (x)是周期函数，且2| a b| 是其一个周期。（自己证明）（推论）若定义在R 上的偶函数)(xf的图象关于直线ax)0(a对称，则)(xf是周期函数，a2是它的一个周期（3）若)()(xfaxf；)(1)(xfaxf；)(1)(xfaxf；则)(xf是周期函数，2a是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性1、函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0 2、函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件

49、是 f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax) 3、函数 y = f (x)的图像关于y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (x) 4、若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线 x = b成轴对称（ab），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a b| 是其一个周期。二不同函数对称性1、函数 y = f (a+x)与 y = f (bx) 的图像关于直线x = (b-a)/2 成轴对称2、互为反函数的两个函数关于直线y=x 对称名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -

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