2022年全等三角形全章复习讲义 .pdf

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1、全等三角形专题一全等三角形基本性质【知识点 1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状 完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点 ；重合的边叫做对应边 ；重合的角叫做对应角 。【知识点 3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题 1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与是对应边， BC 与是对应边，CA 与是对应边；(2) A 与是对应角， ABC 与是对应角， BAC 与是对应角【方法

2、总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习 1】如图，图中有两对三角形全等，填空：(1) BOD ；(2) ACD . DABCOEABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页C A B BA【例题 2】已知图 2 中的两个三角形全等，则度数是（）A.72 B.60 C.58 D.50 【例题

3、 3】如图，若111ABCABC，且11040AB ，则1C【练习 1】如图，ACBA C B，BCB30 ，则ACA的度数为（）A 20B30 C35D40【练习 2】如图，ABD 绕着点 B 沿顺时针方向旋转90到 EBC ，且 ABD 90。（1） ABD 和 EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若 AB3cm,BC 5cm, 你能求出DE 的长吗？（3）直线 AD 和直线 CE有怎样的位置关系？请说明理由专题二全等三角形的判定 - （以图形常见类型为标准）三角形全等的判定方法1、如图： ABC 与 DEF 中2、如图： ABC 与 DEF 中A B C C1 A1

4、B1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页_ ABC DEF （ SSS ） ABC DEF （SAS ）3、如图： ABC 与 DEF 中4、如图： ABC 与 DEF 中_ ABC DEF （ASA ） ABC DEF （AAS ）5、如图： Rt ABC 与 Rt DEF 中，90_ Rt ABC Rt DEF（HL ）【题型一】公共边类型的全等三角形图形 1 图形 2 图形 3 注意隐含条件AD AD 隐含条件ABBA 隐含条件AC CA 【例 1】在ABC中， AB=AC,AD平分 BAC ，求证：ABDA

5、CDABCDABCDBCADDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页【针对训练】1. 已知：如图BD CD, 1 2,求证：B C. 2. 如图，已知：ADAB，CDCB. 求证：BDAC. 3. 已知：在ABC中，M在BC上，D在AM上，DCDBACAB,（如图）求证：MCMB4. 如图所示，已知CDCBADAB,，E是AC上一点 . 求证：AEDAEB. 5.如图，在ABC中,M 在 BC 上， D 在 AM 上， ABAC , DB DC 。求证： MBMC 6.【例 2】如图 , ABC DCB, ACB

6、 DBC, 求证： AC DB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页【针对训练】1. 已知：（如图）21,DA. 求证：DOAO2. 如图： AC BC,AD BD,AD BC,CE AB,DF AB,垂足分别是E,F，求证： CE DF. 【例 3】已知：如图， AB CD ，ABCD 求证： AD BC 【题型二】边加减类型的全等三角形图形 1 图形 2 图形 3 图形 4 ABCDCDAEFBADBEFC(1) ABFECD(4) ABF EDC(2) ABEFDC(3) BE=CF BE+EF=CF+EF

7、BF=CE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页【例 4】已知点 B,E,C,F在同一条直线上，ABDF,AC DE,BE CF. 求证：A D.【例 5】如图，已知：.,CFBEDEACDFAB求证：DFAB/. 【例 6】如图，已知：BFCEDFAECDAB,.求证：（1）DEAF;(2)AE DF. 【例 7】已知：如图， A、C、F、D 在同一直线上，AFDC ，ABDE ，BC EF，求证：ABC DEF【针对训练】1. 已知 A,B,C,D 在同一条直线上，ABCD，DE AF，且 DE AF，求证：AFC

8、 DEB. B C D E FA BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CEADBECF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页2. 已知 B,E,F,D 在同一条直线上，ABCD, B D,BF DE. 求证：（1）AECF, (2) AE CF，(3) AFE CED 3.已知：如图，ABDC,AC DB,BE CE. 求证： AEDE . 【题型三】公共角类型的全等三角形右图中全等的三角形有写出他们所有的对应边与对应

9、角【例 7】如图， AB=AC,BE和 CD相交于 P，PB=PC,求证： PD=PE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页【针对训练】1. 如图，已知：21，AEAD.求证：OCOB. 2、已知：如图，PM PN ， M N求证： AM BN3. 如图，已知：BECD， B C，求证： 1 2。4.已知：如图，ABAC，BD AC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BECD5.已知：如图 ABC 中， BD AC ，CE AB，BD、CE 交于 O 点，且 BD CE 求证： OB OC.

10、6.如图，已知点D、 E 分别是线段AB、AC 上的点， ABAC ，AD AE.求证：CDE BED. A E D B C O 1 2A C B D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页DFCOAEB【题型四】对顶角类型的全等三角形图形 1 图形 2 【例 8】如图 1，已知： AB=CD ，AD=CB. 求证： B=D. 【针对训练】已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD 求证：ADBC；【例 9】如图，两条直线AC,BD 相交于 O，BO=DO,AO =CO，直线 EF 过点 O 且分别交AB、CD

11、于点E,F，求证： OE =OF【针对训练】1、如图 4，AB DE，AB=DE， 1= 2.求证： BG =DF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页2.如图已知： AB =CD，AD =BC，O 是 BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和 BC 的延长线于E，F.求证：AE=CF.【题型五】旋转类型的全等三角形图形 1 图形 2 图形 3 图形 4 【例 10】已知：如图 (1) ，AB=AD ，BC=DE ， 1=2. 求证： (1)AC=AE； (2) CAE= CDE. 【针对训练】1.如图，点E 在

12、ABC 的外部，点D 在 BC 边上， DE 交 AC 于点 F，若1= 2 = 3，AC =AE，求证： AB=AD 。D F C O B A E EDCBANMFEDCBAEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页2. 已知：如图， ABAD ，AC AE， 1 2求证： BC DE【例 11】已知：如图 (2)， E= F=90，B= C，AE=AF ，给出下列结论： 1= 2；BE=CF ； CAN ABM ； CD=DN. 其中正确的结论是_.【例 12】如图，已知AB=AD ，B=D，1=2，证明：

13、BC=DE【针对训练】1.如图，在ABE 中， ABAE,AD AC, BAD EAC, BC 、DE 交于点 O. 求证： (1) ABC AED ； (2) OB OE . OCEBDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页2.如图，已知：ED，AMEMCNDN. 求证：点B是线段AC的中点 . 【例 13】已知 A、C、B 共线，ACD 和 BCE 为等边三角形，直线BD 、AE 交与 F，AE、CD 相较于点 M， BD、 AE 相较于点N。如图 1，求证： AE=BD 求AFB 的度数求证： CM =CN

14、求证： MN AB 求线段 BF、EF、CF 的关系【题型六】大山型的全等三角形【例 14】已知：如图， AB CD,ED BD ，AB=CD，BC =DE ，求证： AC CE.NMFECDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页【针对训练】1、已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM. 2已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC 求证：EDAC3.已知，如图14 ，在ABC 中， AD BC，AD=BD ， E 是 AD 上一点， ED=CD，连结 BE 并延长交AC

15、于 F，求证： BE =AC ，BE AC. 4.已知， 如图 7， AD 为 ABC 的高，E 为 AC 边上一点， BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC ，FD=CD. 求证：（1） BE AC；（ 2）若把条件BF=AC 和结论 BE AC 互换，那么这个命题成立吗？5.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD90），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页6.如图所示：在 ABC 和 DB

16、C 中，ACB = DBC =90,E 是 BC 的中点， EF AB,垂足为 F，且 AB=DE. （1）求证： BD =BC; （2）若 BD =8cm，求 AC 的长 . 【题型七】以等腰直角三角形为背景的全等三角形【例 15】如图，在ABC 中， ACB90， ACBC，直线 l 经过顶点 C，过 A、B 两点分别作 l 的垂线 AE、BF，E、F 为垂足（1）当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证： EFAEBF（2）如图，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系ADBD；ADBD；ADBDCEBAFD精选学习资料 -

17、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页【题型八】角的平分线的性质1如图， CD AB，BE AC，垂足分别为D，E，BE，CD 相交于点 O，OB=OC求证 1=22如图， OC 是 AOB 的平分线， P 是 OC 上的一点， PDOA 交 OA 于 D，PEOB 交 OB 于 EF 是OC 上的另一点，连接DF，EF求证 DF=EF3如图，在ABC 中， D 是 BC 的中点， DEAB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页DF AC，垂足分别是E，

18、F，BE=CF求证： AD 是 ABC 的角平分线4如图 , 在 ABC 中, A90, BD 平分 B, DEBC 于 E, 且 BEEC, (1)求 ABC 与 C 的度数；(2)求证： BC2AB. 【题型九】倍长中线与截长补短法1在 ABC 中， AB=5，AC=3，AD 为 BC 边的中线，则AD 的长的取值范围是（） . A.14 B.35 C.23 D.0AC，D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=CE , BCD=CBE，BE、CD 相交于 O 点，求 BOC 的度数 . 6ABC 中，D 是 BC 中点， DEDF，E 在 AB 边上，F 在 AC 边上， 判断并证明BE

19、+CF 与 EF 的大小？ .7已知：如图，在 ABC 中， A=90 ，AB=AC， 1=2， 求证： BC=AB+AD（分别用截长法和补短法各证一次）8已知，如图，在正方形ABCD 中 AB=AD ， B D90 （1）如果 BEDFEF，求证：EAF45 ； FA 平分 DFE（2）如果 EAF45 ，求证： BEDFEF FA 平分 DFEABCDEFABCDEFA 2 1 C B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页（3）如果点F 在 DC 的延长线上，点E 在 CB 的延长线上，且DFBE EF，求

20、证：EAF45 ； FA 平分 DFE（画图并证明）【题型十】压轴题中的坐标系与三角形全等1已知： C 点的坐标为（ 4，4） ，A 为 y 轴负半轴上一动点，连CA ，CBCA 交x 轴于 B。求证： CACB； 问 OBOA 是否为定值，是定值并求其定值。2已知 A（ 4，0） ，B（0，4） ，C（0， 4） ，过 O 作 OMON 分别交 AB 、AC 于 M、N 两点。求证： OM ON；ABCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页连 MN ，MN 交 x 轴于 Q，若 M 点的纵坐标为3，求 M 与 N 的坐标。ABCOXYMNQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页